《线性代数》教学课件—03线性方程组

ｊ：化教李　

线性代数的教学思路（十二）　

线性方程组解结构理论的教学昆路　

窦永平　

（兰州商学院经济研究所，甘肃兰州　７３００２０）　

擅要：本文讨论非数学专业线性代数线性方程组解结构理论　量　

的教学思路，并且应用关系映射反演思想方法简要论述线性方程　

组解结构理论。　关■词：线性代数　线性方程组　教学思路　

线性方程组解结构理论是线性代数的重要理论之一，并且也　

是非数学专业线性代数的重要教学内容。我们选择的教学内容包　括：（１）齐次线性方程组解向量的定义；（２）齐次线性方程组解空　

间的定理；（３）齐次线性方程组解空间的维数与基定理；（４）线性　方程组解结构定理；（５）应用ＲＭＩ方法简要论述线性方程组解结　

构理论。　在《线性代数的教学思路（Ｉ）》［４］给出的教学思路基础上，本　文给出非数学专业线性代数线性方程组解结构理论的教学思路。　

并且应用关系映射反演思想方法简要论述线性方程组解结构理　

论。教学实验证实，这一教学思路具有可行性和可操作性，并且是　

适宜的和有效的。更一般的理论研究和具体教学实验，请参看有　关文献［１　３－［５　０　

定义１设ＡＸ＝０是数域Ｆ上的一个含有ｎ个未知量的齐次　线性方程组．ＡＸ－－０的每一个解都可以看作Ｐ的一个向量，叫做　

方程组ＡＸ＝０的一个解向量。　定理６．７．３数域Ｆ上一个含有ｎ个未知量的齐次线性方程组　ＡＸ－－０的一切解ｓ：ｆｘ　ｆ　ＡＸ－－－Ｏ｝构成ｐ的一个子空间，叫做这个齐　

次线性方程组的解空间。一个齐次线性方程组的解空间的一个基　叫做这个方程组的一个基解系．　

证明参考文献『６］。ＲＭＩ方法的框图１如下：　

图１　

定理６．７．４数域Ｆ上一个含有ｎ个未知量的齐次线性方程组　

ＡＸ＝０的系数矩阵Ａ的秩是ｒ，那么ＡＸ－－０解空间的维数是ｎ－ｒ．并　且解空间的一个基可以由系数矩阵Ａ通过初等变换方法给出。　

证明设ＡＸ－－０的系数矩阵Ａ的秩等于ｒ．　那么通过行初等　

变换，必要时交换列，可以将系数矩阵Ａ化为以下形式的矩阵：　

·２７· 第三章 线性方程组

§1消元法

一 授课内容：§1消元法

二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.

三 教学重难点：用消元法解线性方程组.

四 教学过程：

所谓的一般线性方程组是指形式为

nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa....................................................22112222212111212111 （1）

的方程组，其中nxxx,,,21代表n个未知量，s是方程的个数，ija

（si,,2,1，nj,,2,1）称为方程组的系数，jb（sj,,2,1）称为常数项.

所谓方程组（1）的的一个解就是指由n个数 组成的有序数组（nkkk,,,21） ，当 nxxx,,,21分别用 nkkk,,,21 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.

解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵

ssnssnnbbbaaaaaaaaa21212222111211

来表示.

在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元 ·２８· 线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.

分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

30 第三章 线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

定义3.1 多元一次方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111称为线性方程组.

方程组有m个方程, n个未知数ix(1,2,,in), 而ija(1,2,,in;mj,,2,1)是未知数的系数, jb(mj,,2,1)是常数项.

如果0jb(mj,,2,1), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.

数组nccc,,,21是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数nxxx,,,21,

可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.

通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.

例3.1 解线性方程组52452132321321321xxxxxxxxx.

解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243xxxxxx. 这种方程组称为阶梯形方程组.

从下向上消元, 得同解方程组310232321xxx.

再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31x, 52x, 33x.

解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.

定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.

２０１５年８月　第２１卷第３期　安庆师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ａｕｇ．２０１５　Ｖ０Ｉ．２ｌ　ＮＯ．３　

网络出版时间：２０１５—８—２５　１５：４０网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３４．１１５０．Ｎ．２０１５０８２５．１５４０．０２９．ｈｔｍｌ　

“生动＂教学模式下线性代数的教学设计与实践　

——以线性方程组为中心展开　

刘　薇　（湖南财政经济学院基础课部，湖南长沙４１０２０５）　摘要：通过对线性代数课程内容的优化，以学生为主体，采用“生动”的教学方法进行线性代数教学，实践证明，　“生动”教学模式不仅解决了线性代数课时少、内容多的问题，而且营造了生动活跃的线性代数课堂，激发了学生学习线　性代数的积极性，提高了学生分析问题和解决问题的能力。　关键词：线性代数；生动；教学实践ＤＯＩ：１０．１３７５７／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ３４—１１５０／ｎ．２０１５．０３．０２９　中图分类号：０１３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—４２６０（２０１５）０３—０１１０—０４　

线性代数作为大学数学课程中的一门主干课　程，具有较强的逻辑性、抽象性以及广泛的实用性。　自各高等院校开设线性代数课程以来，大多数的教　学以理论讲授为主，而学生大多数是被动的学习，现　阶段高校教学改革后，线性代数课程目标的取向是　帮助学生追求智力的卓越发展，数学能力和数学素　养的提升Ｈｊ。“教师讲授，学生听记”的教学模式，达　不到理想的教学效果，也无法适应学生的学习要求。　针对线性代数课程课时少，内容多的问题，对线性代　数现有的教学内容进行优化，突出以学生为主体，将　“生动”的教学模式实践于教学，营造活跃的教学课　堂氛围，既带动了学生学习线性代数的积极性，又提　高了教师教授线性代数的教学质量。　１线性代数教学内容的优化　目前我国线性代数　课程的教学内容主要有行　列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关陛、特征　值与特征向量及二次型。初学者对分散的块状结构　感到线性代数知识点较多，内容不连贯，学习起来毫　无头绪，因此教师在教学过程中需要把握线性代数　的核心思想，理清课程的脉络，使学生对课程有一个　整体的把握。　线性代数课程有“形散而神不散”的特点，虽然　看起来内容较为松散，但实际上章节之间密切相关。　教学实践发现，线性方程组及矩阵的初等行变换是　线性代数的核心思想。以线性方程组作为突破口进　行教学，是一个行之有效的方法　ｊ。优化线性代数　教学内容即先由线性方程组，给出行列式、矩阵、向　量和向量组，再由矩阵的初等变换给出矩阵（向量　组）的秩、向量的线性相关性、线性方程组的解等理　论和概念。因此以线性方程组为主线构建的教学体　系逻辑ｌ生强，便于问答式、探究式“生动”教学法的实　施。线性代数课程内容优化体系结构如图１所示。