《线性代数》第三章线性方程组

线性方程组复习题（4）

一、填空题：

1. 设矩阵A=0 00000 10100 0101，则矩阵A的秩为 ，线性方程组OXA的基础解系的向量个数为 .

2. 若A为nm矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是_________.

3. 若A为nm矩阵，则齐次线性方程组0AX有非零解的充分要条件是_________.

4. 设A为n阶方阵，且1)(nAr， 21,是AX=0的两个不同解，则21，一定

线性

5.设123456333A， 则齐次线性方程组0Ax 的基础解系所含向量个数为_____ ___。

6．在n元齐次线性方程组0Ax中，若秩(),RAk 且12,,,r是它的一个基础解系，则r= ___ 。

二、 选择题：

1. 当( )时，齐次线性方程组02020kxzxkyzkxyz，仅有零解

(A) 0k (B) 1k (C) 2k (D) 2k

2..设A为nm矩阵,0b,且nAr)(,则线性方程组bAx___ . （A). 有唯一解；（B). 有无穷多解； （C). 无解； （D). 可能无解。

3. 当( )时，齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx，有非零解

(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或2

4. 设A为n阶方阵，且秩12()1.,An是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX0的通解为( )

A、1k B、2k C、)(21k D、)(21k

模板资料 资源共享 第三章 线性方程组

第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。当系数矩阵行列式||0A，或方程组的个数与未知量个数不相等时，克莱姆法则就无法给出解的存在性。另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其计算量也非常大，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。

§1 解的有关概念

对于一般线性方程组

11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，

记()ijmnAa，12(,,,)TnXxxx，12(,,,)TmBbbb，则线性方程组可写成矩阵形式AXB。记(|)AAB，称为线性方程组的增广矩阵。

如果0X满足0AXB，则称0X为线性方程组AXB的解；如果对任意X，AXB均不成立，称线性方程组AXB无解。有解的线性方程组也称为相容的线性方程组，无解的线性方程组称为不相容的线性方程组。

定义1：设有线性方程组11 (I)AXB和22 (II)AXB，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。

如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。

求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。从而写出方程组的解。

§2 线性方程组的解法

定义2：下列变换称为方程组的初等变换：

1) 交换两个方程位置；

2) 某一方程的非零k倍；

3) 某一方程的k倍加到另一方程上。

性质1：方程组的初等变换是同解变换。

按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。

性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。

事实上系数矩阵为简化阶梯形的线性方程组可直接写出方程组的解。由第二章又知任一非零矩阵可以的经过一系列初等行变换化为简化阶梯形，从而由性质2可以利用增广矩阵的初等行变换来求解线性方程组。

1 第三章 线性方程组

本章说明与要求:

本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为

mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 (I)

方程的个数m与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I)，需要研究以下两个问题：

(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？

(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？

。本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.

。本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.

§1 线性方程组的消元法

解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．

例1．求解线性方程组5212253321321321xxxxxxxxx (1)

解：交换第一、三两个方程的位置：

2531252321321321xxxxxxxxx

第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得： 2 1385435323232321xxxxxxx

第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得

774352332321xxxxxx (2)

第三个方程乘以(–71)，求得x3=–1，再代入第二个方程，求出x2=–1，最后求出x1=2．这样就得到了方程组(1)的解：

30 第三章 线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

定义3.1 多元一次方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111称为线性方程组.

方程组有m个方程, n个未知数ix(1,2,,in), 而ija(1,2,,in;mj,,2,1)是未知数的系数, jb(mj,,2,1)是常数项.

如果0jb(mj,,2,1), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.

数组nccc,,,21是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数nxxx,,,21,

可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.

通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.

例3.1 解线性方程组52452132321321321xxxxxxxxx.

解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243xxxxxx. 这种方程组称为阶梯形方程组.

从下向上消元, 得同解方程组310232321xxx.

再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31x, 52x, 33x.

解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.

定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.