1
2.2.2 直线的两点式方程
课程标准 学习目标
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的两点式.
2.掌握直线的两点式方程与截距式方程 1.能根据斜率公式导出直线的两点式方程.
2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程.
3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解
知识点一 直线的两点式方程
已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),由点斜式可得直线的方程为 ,当y1≠y2时,方程可以写成 ,该直线方程叫作直线的两点式方程,简称两点式.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线一定存在两点式方程. ( )
(2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可以是𝑦-𝑦1𝑦2-𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1,也可以是𝑦-𝑦2𝑦1-𝑦2=𝑥-𝑥2𝑥1-𝑥2. ( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. ( )
2.(1)若直线l上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则满足x1=x2或y1=y2时,直线l的方程是什么?
(2)如果将直线的两点式方程𝑦-𝑦1𝑦2-𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),两个方程是否相同?
知识点二 直线的截距式方程
若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,由两点式可得直线l的方程为𝑦-0𝑏-0=𝑥-𝑎0-𝑎,整理得 .此方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定,称此方程为直线的截距式方程,简称截距式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
2.2.2 直线的两点式方程
学
习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标. 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.
2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养.
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？
1．直线的两点式和截距式方程
名称 两点式方程 截距式方程
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.
示意图
直线方程 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 xa＋yb＝1
适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点
思考：方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？
[提示] 不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．
2．线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则 x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的两点式方程也可以用y－y1x－x1＝y2－y1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)表示． ( )
(2)任何直线都可以用方程xa＋yb＝1表示． ( )
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
知识点一 直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 斜率存在且不为0
知识点二 直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 xa＋yb＝1 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则 x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.
1.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示.( × )
2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )
3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ )
4.直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ )
题型一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
考点 直线的两点式方程
题点 利用两点式求直线方程
解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得y－－4－2－－4＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝5＋02＝52，b＝－4＋－22＝－3，所以M52，－3，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
直线方程两点式怎么用
直线方程的两点式是描述直线的常见数学表示方法之一。通过给定直线上的两个点，我们可以使用两点式来确定直线方程。在本文中，我们将详细介绍如何使用直线方程的两点式。
直线方程的一般形式
直线的一般方程形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。然而，在直线方程的两点式中，我们可以使用给定的两个点的坐标来确定直线方程。
两点式的表达
两点式方程的形式为 (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0，其中 (x1, y1) 和 (x2,
y2) 是直线上的两个点的坐标。
使用两点式确定直线方程
以下是使用两点式确定直线方程的步骤：
1. 确定给定的两个点的坐标。假设这两个点分别为 A(x1, y1) 和 B(x2,
y2)。
2. 将点 A 和点 B 的坐标代入两点式方程中，得到形如 (x - x1)(y2 - y1) -
(y - y1)(x2 - x1) = 0 的方程。
3. 展开方程并进行化简，最终得到直线方程的一般形式。例如，可以将方程转化为 Ax + By + C = 0 的形式。
4. 根据需要，可以进一步化简直线方程。可以将直线方程写为斜截式、截距式或一般式等形式，以方便对直线进行分析和计算。
示例
让我们通过一个示例来更好地理解如何使用直线方程的两点式。
假设我们有两个点 A(1, 2) 和 B(3, 4)。我们将使用这两个点来确定直线方程。
代入两点式方程 (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0：
(x - 1)(4 - 2) - (y - 2)(3 - 1) = 0
展开并化简方程：
2x - 2 - 3y + 6 = 0
化简后的方程为 2x - 3y + 4 = 0。这就是通过两点式确定的直线方程。 结论
直线方程的两点式是一种常用的数学表示方法，可以通过给定的两个点来确定直线方程。通过将这两个点的坐标代入两点式方程，我们可以得到直线的一般形式。进一步地，我们可以将直线方程转换为其他常见的形式，以满足实际需求。
