傅里叶-莫茨金消元法

傅⾥叶详解⼀、傅⽴叶变换的由来关于傅⽴叶变换，⽆论是书本还是在⽹上可以很容易找到关于傅⽴叶变换的描述，但是⼤都是些故弄⽞虚的⽂章，太过抽象，尽是⼀些让⼈看了就望⽽⽣畏的公式的罗列，让⼈很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从⽹上看到⼀个关于数字信号处理的电⼦书籍，是⼀个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国⼈写的，写得⾮常浅显，⾥⾯有七章由浅⼊深地专门讲述关于离散信号的傅⽴叶变换，虽然是英⽂⽂档，我还是硬着头⽪看完了有关傅⽴叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟⼤家分享，希望很多被傅⽴叶变换迷惑的朋友能够得到⼀点启发，这电⼦书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从⽹上下载下来看⼀下，URL地址是：/doc/cd0f731fbe23482fb5da4c19.html /pdfbook.htm要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。

⼆、傅⽴叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。

当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。

傅里叶级数的推导2016年12月14日09:27:47傅里叶级数的数学推导第一，隆重推出傅里叶级数的公式，只是那个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。

但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处置、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着普遍的应用，这禁不住让人肃然起敬。

一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。

如下确实是傅里叶级数的公式：不客气地说，那个公式能够说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶何时灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。

单看那个①式，确实是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos 函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，只是为了积分方便，积分区间一样设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

可否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世此生呢？下面来详细说明一下此公式的得出进程：１、把一个周期函数表示成三角级数：第一，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多能够表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)那个地址t表示时刻，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。

但是，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。

傅叶里就想，可否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin 能够说是最简单的周期函数了。

于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）那个地址，t是变量，其他都是常数。

傅里叶级数知识点整理1.将函数f(x)展开成幂级数的条件：（1）函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数.（2）它的余项极限为0.2.将函数f(x)傅里叶展开的条件：只要求函数连续，即便不连续，允许只有有限个第一类间断点（跳跃、可去 <左右极限均存在>）.3.三角级数：（1）通式： （2）三角函数系：1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,….,cosnx, sinnx,……（3）三角函数系的正交性：三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零. ）和差证明k不等于n，可用积化（0cos cos =⎰-ππnxdx kx4.将函数傅里叶展开的方法：公式法∑∞=++=10)sin cos (2)(f n n n nx b nx a a x ⎰-=πππdx x f a )(10 ,...)3,2,1(cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ,...)3,2,1(sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ5.狄利克雷定理：设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第1类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.则f(x)的傅立叶级数收敛于)]0()0([21++-x f x f当x 是f(x)的连续点时,级数收敛于该点函数值;当x 是f(x)的间断点时,级数收敛于左极限与右极限的算术平均值∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a6.周期延拓：f(x)只在[-π,π]上有定义,并满足狄里克雷充分条件，可扩大定义域，使f(x)拓广为周期为2π的周期函数F(x).7.奇偶函数的傅里叶级数：f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间上积分的两倍=n a ⎰=ππ0sin )(2nxdx x f b n n=0,1,2…… f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间上积分的两倍⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n 0=n b n=0,1,2……8.函数展开成正余弦级数(1).奇偶延拓:奇延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的奇函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为奇延拓.偶延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的偶函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为偶延拓.(2).F(x)展开成正余弦级数正弦级数：把奇延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的正弦级数.余弦级数：把偶延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的余弦级数.(3).f(x)的正余弦级数展开式:正弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的正弦级数展开式在此范围内即为f(x)的正弦级数的展开式.余弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的余弦级数展开式在此范围内即为f(x)的余弦级数的展开式.(4)注：同样的函数,进行奇延拓和偶延拓,情况是不同的.但在(0,π)区间函数值是一样的9.常见级数的值：（了解） (5)141312112222+++++=σ (62π) )8.......(. (5)13112221πσ+++= (6)141212222+++=σ (242π) (5)1413121122223++-+-=σ (122π)。

冲激函数与傅⾥叶变换傅⾥叶变换是信号分析的基本⼯具，利⽤⼏条已知的变换结果和⼀系列性质，其值并不难求；但要是追问公式⾥的复指数和积分是怎么来的，想给出⼀个直观的解释恐怕就没那么简单了。

我⼀直在寻找理解变换公式的简单⽅法，然⽽结果要么是教科书⾥冗长的推导，要么就是完全图形化，不涉及公式本⾝的解释。

直到最近电分课和我在看的⼀本⽆线通信的书都讲到了冲激函数(δ函数)，我才感到对公式的理解稍微更进了⼀步，所以赶紧把⼀些零散的想法记录梳理⼀下。

1. 对⼆元函数的理解⼀般理解⼆元函数的含义时，采取的解释是函数值同时受两个⾃变量变化的影响。

但是也可以以另⼀种观点来看：⼆元函数表⽰的是⼀种数到函数的映射，⽽⼀元函数则是数到数的映射——这有⼀点泛函的味道。

再⽤直⽩的⽐喻来描述的话，可以将⼆元函数f(x,y)⽐作是产⽣函数的机器，通过设定⾃变量x来产⽣⼀个特定的，⾃变量是y的⼀元函数。

以电⼦学中常见的正弦信号复数表⽰举例，f(ω,t)=e jωt是⾃变量为w,t 的⼆元复变函数。

通过指定⼀个⾓频率ω0，f就变为⼀个表⽰⾓频率为ω0的⼀元函数f'(t)=e jω0t。

（注意这⾥说的复数表⽰和下⽂中不⼀样，这⾥的复指数是电⼦学⾥应⽤于⼴义欧姆定律的表⽰法，实际值需要取实部。

）1. 三⾓函数的复指数表⽰这节没什么好说的，纯属是正题的前置内容，了解的可以跳过。

通过欧拉公式Ae jωt=Acos(ωt)+Aj sin(ωt)易得Acos(ωt)=A/2 e jωt+A/2 e-jωt（sin的表⽰就先略过，有兴趣⾃⼰推）。

1. 冲激函数和取样性质这节也是前置知识。

单位冲激函数可以理解为⼀个积分为1，中⼼在x=0，宽度⽆穷⼩的脉冲。

冲激函数最重要的⼀条性质是取样性质，也即冲激函数δ(x-x0)与任⼀函数f(x)的乘积δ(x-x0)f(x)在x=-∞到x=+∞上的积分的值等于f(x0)。

直⽩地说即中⼼在x0上的单位冲激函数和f(x)相乘再对x积分后即得到f(x)在x0处的值。

傅里叶公式的基本原理及应用探析傅里叶公式是应用于信号处理和频谱分析领域的基本数学工具。

它的原理和应用至关重要，对于深入理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将对傅里叶公式的基本原理和应用进行探析，以帮助读者更好地理解和应用这一公式。

一、傅里叶公式的基本原理傅里叶公式是以法国数学家傅里叶命名的，它描述了一个信号可以由一系列正弦波的叠加表示。

更具体地说，傅里叶公式将一个连续函数分解成一系列基本频率的正弦波，这些正弦波的振幅和相位决定了原函数在不同频率上的贡献。

傅里叶公式可以用如下的数学表达式表示：\[F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i k x} dx\]其中，\(f(x)\)是原始函数，\(F(k)\)是频谱函数，表示在频率\(k\)处的幅度和相位，并且\(i\)是虚数单位。

根据傅里叶公式，我们可以将一个信号分解成多个正弦波的叠加，这样可以更好地理解信号的频率变化和波形特征。

傅里叶公式为我们提供了一种评估信号频谱的方法，是信号分析和处理的基础。

二、傅里叶公式的应用1. 信号处理傅里叶公式在信号处理中有着广泛的应用。

通过将一个信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域变换到频域，实现对信号频谱的分析。

这对于音频、图像、视频等信号的处理和优化具有重要作用。

傅里叶变换可以帮助我们了解信号中的频率分布情况，从而进行滤波、降噪、压缩等操作。

2. 通信系统在通信系统中，傅里叶变换被广泛应用于频域信号处理。

通过将信号从时域转换到频域，可以方便地进行频谱分析、带宽分配、信号调制等操作。

傅里叶变换还可以帮助我们评估通信系统的频率响应和时域特性，从而提高系统的传输效果和信号质量。

3. 图像处理在图像处理领域，傅里叶变换可以用于频域滤波和图像增强。

通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频谱图，进而通过滤波操作去除噪声和干扰，提高图像的质量和清晰度。

傅里叶变换在图像压缩、纹理分析、图像识别等方面也有广泛的应用。