二元一次方程组的解法——消元法

初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。

本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。

1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。

我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。

例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。

通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。

2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。

该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。

例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。

然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。

3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。

通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。

例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。

这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。

消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ． 二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。

解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。

dx + ey = f。

要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。

方法一，代入法。

代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。

我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。

举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。

x y = 1。

我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。

2 + 2y + 3y = 8。

5y = 6。

y = 6/5。

将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。

x = 11/5。

因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。

方法二，消元法。

消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。

通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。

以方程组。

2x + 3y = 8。

x y = 1。

为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。

然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。

方法三，克莱姆法则。

克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。

对于方程组。

ax + by = e。

cx + dy = f。

如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。

y = (af ec) / (ad bc)。

方法四，图解法。

图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。

通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。

总结。

解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。

“8.2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计濮阳县站前学校侯利华学习目标知识与技能会用代入法解二元一次方程组过程与方法经历用代入法贾二元一次方程组的训练，培养运算能力，体会化归思想情感、态度、价值观通过研究解决问题的方法，培养学生合作意识与探究精神学习重点用代入法解二元一次方程组.学习难点：对数学思想方法的理解，尤其是对用代入的方法实现消元的理解.突破这一难点的关键教学过程设计（一）情景导课背景材料：老师在我们学校代三个班的数学，所教学生共143人.问题1：你能提出什么数学问题？如何解决？学生可能提出的问题：（1）每个班有多少个学生？（2）男生、女生各多少个？……针对问题（2），增加条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14人.学生活动：解决问题；展示方法.教师点拨：（1）用建模思想引领思维，实际问题－数学问题.（2）一元一次方程会解但难列，因为要综合考虑问题中的各种等量关系；二元一次方程组易列，因为可以分别考虑两个等量关系，但不会解。

从而产生了新问题。

方程组对于解含多个未知数的问题很有效，它的优越性会随着问题中未知数的增加而体现得更加明显.【设计意图】（1）由于是借班上课，以此形式开课既能创造轻松的氛围、拉近师生之间的距离，又可以巧妙引出本节课的教学内容.（2）问题是学生自己提出的，因此他们解决这个问题的积极性更高，思维更开阔，各种方法的出现便会成为必然.（3）让学生体会到方程组在解决实际问题中的优越性.（二）解决问题问题2：怎么解二元一次方程组呢？追问：为什么要这样做？依据是什么？你的解题思路是什么？你的解题方法的名称是什么？为什么可以这样归纳？（学生思考、交流.）教师明确：转化思想──新问题转化成旧问题；消元思想──将未知数的个数由多化少，逐一解决.（学生展示自己的方法.）师生交流，达成共识，明确思路：变形—代入—求解—写解。

教师规范解题过程，进而形成概念：代入消元法──把二元一次方程组中的一个方程变形成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.【设计意图】我们一直强调让学生“知其然，而且要知其所以然”.但学生往往停留在对知识或方法的表层理解的水平上，究其原因，还是没有形成较强的问题意识，不习惯于多问个“为什么是这样的”、“这样做的依据是什么”等问题.因此，教学应不失时机地培养学生养成良好的问题意识.在问题的引导下，鼓励学生投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的时间和空间，从而让学生积极、主动地思考，随着思维的自然流淌，“顺势”自然地理解消元思想，解决问题的思路逐渐清晰. 通过探索实践，体验知识方法的形成过程，发现代入消元法的由来及过程，真正体会消元思想.练习1 你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。

二元一次方程组的六种消元方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解。

一、代入消元法1、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

2、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n 的形式。

（2）代入消元：把 y=mx+n 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程。

（3）解这个一元一次方程，求出 x 的值。

（4）回代求解: 把求得的 x 的值代入 y=mx+n 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

（5）把这个方程组的解，写成 {x=ay=b 的形式。

二、加减消元法1、当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。

（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。

（4）回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值。

（5）把这个方程组的解，写成 x=ay=b 的形式。

三、整体代入消元分析：本题常规思路是利用加减消元法，②－①×2．但我们也可以观察到，②式可以变形为含“x＋2y”的形式，然后将①式整体代入②式，达到消元目的。

四、常数加减消元分析：本题同样可以利用加减消元法，②＋①×2。

二元一次方程组乘除消元法
二元一次方程组乘除消元法
一、定义
乘除消元法，又称为除乘消元法，是一种解决方程组的算法，它通过使用除法和乘法来消除方程组中的未知量，从而得到最终的解。

二、基本步骤
1.选择一个方程组中的变量，对其中的每行进行除法，使其系数变成1；
2.选择另一个方程组中的变量，对其中的每行进行乘法，使其系数变成1；
3.将其中的乘积方程消去；
4.如果变量只有一个，则可以解决该方程，否则重复以上步骤，直到所有变量都只有一个。

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二元一次方程的解法代入消元法
x
这是一篇关于二元一次方程的解法代入消元法的文章。

本文介绍了什么是二元一次方程以及它的解法，特别是介绍了代入消元法这一方法，并介绍了其解题步骤。

什么是二元一次方程？
二元一次方程是指一个形如aX+bY=c的方程，其中X和Y是未知量，a、b、c是实常数（a和b不能同时为0）。

它可以用来描述两个变量之间的关系，如一个等式所表示的二元关系，它的解就是两个变量的值。

代入消元法是什么？
代入消元法是一种将二元一次方程组转化为更简单的形式来求
解方程组的方法。

它通过将两个未知数中的一个值代入另一个方程来求出另一个未知数，把两个方程消去，使未知数减少。

代入消元法的步骤
1. 确定方程组的系数和常数项，将它们化为一般式：ax+by=c
2. 确定要消去的未知数，通常选择其一，将其代入另一方程中
3. 计算出被代入方程的解，然后代入到另一方程中
4. 解出系数和常数项的值，从而求得方程组的解
结论
代入消元法是一种求解二元一次方程的有效方法，它可以通过将一个未知量代入另一方程，把两个方程消去，从而减少未知量的数量，
从而求得方程的解。

二元一次方程组解法：消元法
二元一次方程组解法：消元法
代入消元法
(1)基本思路：未知数又多变少。

(2)消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

(3)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

(4)代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用{联立起来即“联”
加减消元法
1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，。

石碁中学 七 年级 数学 科“研学后教、分层渗透”导学稿课题： 二元一次方程组的解法——代人消元法 课型： 新授课 使用时间：一、学习目标：、1、领悟二元一次方程组的解法核心是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解；2、掌握代入消元法，并能灵活应用。

二、学习重点、难点：三、学习过程：（表现目标——自主学习——合作交流——展示点评（释疑点拨）——巩固拓展—总结评价）四、学习方法：分层次教学，讲授、练习相结合。

五、时间分配：自主学习 交流研讨 ，展示 ，点拨：一）、把以下方程变形为：用一个未知数的代数式表示另一个未知数：例2：x ＋y ＝2 可变形为：x ＝2－y 或y ＝2－x（1）x ＋y ＝－3 （2）2x ＋y ＝1 （3） 2.5x y -=（4）2x ＝3y （5）341x y -=二）、新知探索1、请观察以下图，求出△、□各等于多少。

（小组交流一下解题思路）2、问题：若用字母x 表示△，y 表示□，上图可用方程组表示为：这个方程组应如何解呢？请你试试。

3、例题1：解方程组：⎩⎨⎧==+xy y x 2723解：将②代入①得： 3x+2×( )=7x =把x = 代入②，得y=2×y =∴⎩⎨⎧==y x 小结：班别： 学号： 姓名： ① ②⎩⎨⎧==y x 通过将②代入①,能消去未知数y,把二元一次方程变为 方程，从而解出方程，这样解二元一次方程组的方法叫练习一：解方程组（1）⎩⎨⎧=+=32y x x y （2）⎩⎨⎧==-xy x y 421 （3）⎩⎨⎧=++=721y x y x（4）⎩⎨⎧=++=8323y x y x（5）⎩⎨⎧-==-x y y x 5717345、例题3：解方程组⎩⎨⎧=+=+1737y x y x 解：由①得：ｙ＝ ③将③代入②，得：3ｘ＋（ ）＝17解方程得：将ｘ＝ 代入③，得：ｙ＝＝∴练习二：解下列方程组：① ②（5）⎩⎨⎧=+-=-10235y x y x （6）32034100x y x y -=⎧⎨-=⎩（7）⎩⎨⎧=+=-751424y x y x （8）⎩⎨⎧=+-=-73482y x x y三）、巩固练习：1、把x ＋y ＝1写成用x 表示y 的形式为 。