数学概率例题

高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13， 所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______． 答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13． 所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。

20 道条件概率例题例题1袋中有 5 个红球和 3 个白球，从中不放回地依次摸出两个球。

已知第一次摸出红球，求第二次摸出红球的概率。

解：第一次摸出红球后，袋中还有 4 个红球和 3 个白球，所以第二次摸出红球的概率为4/7。

例题2一个盒子里有 6 个黑球和 4 个白球，从中随机取出两个球。

若已知第一个球是黑球，求第二个球也是黑球的概率。

解：第一个球是黑球后，盒子里还有 5 个黑球和 4 个白球，所以第二个球是黑球的概率为5/9。

例题3有三张卡片，分别写着数字1、2、3。

从中随机抽取一张，放回后再抽取一张。

已知第一次抽到数字2，求第二次抽到数字 3 的概率。

解：因为是有放回抽取，所以第一次抽到数字 2 后，第二次抽取时每张卡片被抽到的概率仍为1/3，所以第二次抽到数字 3 的概率为1/3。

例题4一批产品中有合格品和次品，合格品率为80%。

从中随机抽取一件产品，已知是合格品，求该产品是一等品的概率（设合格品中一等品率为60%）。

解：由条件概率公式，所求概率为合格品中的一等品率，即60%。

例题5箱子里有红色球和蓝色球，红色球占总数的40%。

从箱子里随机取出一个球，已知是红色球，求这个球上标有数字 5 的概率（设红色球中有30%标有数字5）。

解：根据条件概率公式，所求概率为红色球中标有数字 5 的比例，即30%。

例题6某班级男生占总人数的60%。

在男生中，喜欢数学的占70%。

从班级中随机抽取一名学生，已知是男生，求该学生喜欢数学的概率。

解：所求概率为男生中喜欢数学的比例，即70%。

例题7有两个盒子，盒子 A 中有 3 个红球和 2 个白球，盒子 B 中有 4 个红球和3 个白球。

从盒子 A 中随机取出一个球放入盒子B，然后从盒子 B 中随机取出一个球。

已知从盒子 B 中取出的是红球，求从盒子 A 中取出的也是红球的概率。

解：设从盒子 A 中取出红球为事件A，从盒子 B 中取出红球为事件B。

先求P(A) = 3/5，P(B|A) = (4 + 1)/(7 + 1) = 5/8。

【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3） ＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】 设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22， 因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－ ＝ ，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝ ，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江） 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数． 若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝ ，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ， 化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理） 某学生在上学路上要经过 4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即 的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东） 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西） 如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无 信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ． －1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离 大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理） 若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州） 在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是 。

1、一个盒子里有10个红球和5个蓝球，从中随机摸取一个球后不放回，再摸取一个球。

若第一次摸到红球，则第二次摸到蓝球的概率是？A. 1/3B. 1/4C. 5/19（答案）D. 5/182、某城市有60%的家庭拥有汽车，拥有汽车的家庭中80%至少有一辆SUV。

随机选择一个家庭，若该家庭拥有汽车，则它至少拥有一辆SUV的概率是？A. 0.6B. 0.48（答案）C. 0.8D. 0.43、一家医院接收了100名流感患者，其中60人患有A型流感，40人患有B型流感。

已知患有A型流感的患者中，70%需要住院治疗；患有B型流感的患者中，40%需要住院治疗。

若随机选择一名患者且该患者需要住院治疗，则他患有A型流感的概率是？A. 0.6B. 0.7（答案）C. 0.4D. 0.54、一个班级里有20名男生和15名女生，男生中有80%喜欢数学，女生中有60%喜欢数学。

随机选择一名学生，若该学生喜欢数学，则他是男生的概率是？A. 8/19B. 12/19C. 8/13（答案）D. 15/235、一家电子产品商店售出了100台平板电脑，其中60台是安卓系统，40台是苹果系统。

已知安卓系统平板电脑中，有10%出现了故障；苹果系统平板电脑中，有5%出现了故障。

若随机选择一台平板电脑且该平板电脑出现了故障，则它是安卓系统的概率是？A. 0.6B. 0.4（答案，考虑故障率与销量的综合影响）C. 0.1D. 0.56、一个篮子里有12个鸡蛋，其中4个是坏的。

随机取出两个鸡蛋，若第一个取出的是好鸡蛋，则第二个取出的是坏鸡蛋的概率是？A. 4/11（答案）B. 4/12C. 3/11D. 1/37、一家餐厅提供了100份外卖，其中60份是披萨，40份是汉堡。

已知披萨订单中，有80%包含了饮料；汉堡订单中，有50%包含了饮料。

若随机选择一份外卖且该外卖包含了饮料，则它是披萨的概率是？A. 0.6B. 0.48（答案，利用条件概率公式计算）C. 0.5D. 0.88、一个盒子里有5张红牌和3张黑牌，随机抽取两张牌。

第四章 4．1例1 设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量．假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）．例2 将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以 X 表示空盒子数目，求 E (X )例3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 N 个人的血， 可以有两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需要N 次．（2）按 k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人得血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验．这样， k 个人的血总共要化验 k+1次．假如每个人化验呈阳性的概率为 p 且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当 p 较小时，选取适当的 k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．例4 设随机变量X 的密度函数为求 E （X ）例5 如何确定投资决策方向某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资例6 设随机变量的分布律为例7 设随机变量(X,Y )的联合概率密度Xp1-022.03.05.0⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其它,021,210,)(x x x x x f )1(2-+X X E 求例8例9 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布．设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益期望最大例 设 ( X , Y ) 的分布律为4．2例1 设X 为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X)例2：设随机变量X 具有数学期望XY1231-012.01.01.01.01.01.0003.0()()3231 ,12(,) 0 1,y x x x x yf x y E Y EXY ⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其他求数学期望。

概率计算练习题一、基础练习题1. 某班级共有50名学生，其中35人会弹钢琴，25人会拉小提琴，15人既会弹钢琴也会拉小提琴。

现从该班级中随机选择一名学生，求该学生既不会弹钢琴也不会拉小提琴的概率。

2. 有一批产品，其中20%是次品。

从中随机抽取3个产品，求恰好有一个是次品的概率。

3. 一批产品中有30%的次品。

从中随机抽取5个产品，求至少有一个是次品的概率。

4. 一批产品中40%的产品是甲品质，30%是乙品质，30%是丙品质。

甲品质产品被使用后有4%的概率出现故障，乙品质产品故障的概率为7%，丙品质产品故障的概率为15%。

现从该批产品中随机选择一件，求其出现故障的概率。

5. 一批产品中有20%的次品。

从中抽取10个产品，求抽出的产品中次品数大于等于2的概率。

二、进阶练习题1. 某班级共有80名学生，其中40人学习钢琴，30人学习小提琴，20人学习吉他。

已知学习钢琴和学习小提琴的学生共有15人，学习小提琴和学习吉他的学生共有10人，学习钢琴和学习吉他的学生共有5人，共有3人同时学习钢琴、小提琴和吉他。

现从该班级中随机选择一名学生，求该学生学习吉他的概率。

2. 一批产品中有30%的次品，已知次品中有20%是甲类次品，60%是乙类次品，20%是丙类次品。

从该批产品中随机抽取一件，若抽到的是次品，请依次求此产品为甲类次品、乙类次品、丙类次品的概率。

3. 一家快餐店的产品销售情况统计如下：25%的顾客购买汉堡，30%的顾客购买薯条，40%的顾客购买汽水。

已知购买汉堡和薯条的顾客占总顾客数的20%，购买薯条和汽水的顾客占总顾客数的15%，购买汉堡和汽水的顾客占总顾客数的10%，同时购买汉堡、薯条和汽水的顾客占总顾客数的5%。

现在从该快餐店中随机选择一位顾客，求该顾客购买汽水的概率。

4. 一篮子中有红、蓝、绿三种颜色的球，比例为5:4:1。

从篮子中随机抽取5个球，求抽取的球中至少有两个是红球的概率。

5. 某城市每天发生车辆事故的概率为0.03。

高一下数学概率知识点例题在高一下学期的数学学习中，概率是一个很重要的知识点。

概率可以帮助我们计算事件发生的可能性，是我们在日常生活中经常需要用到的数学概念。

接下来，本文将介绍几个常见的概率例题，帮助大家加深对概率知识的理解。

例题一：抛硬币小明手中有两个硬币，一个是正面和反面各一半的普通硬币，另一个是正面朝上的特殊硬币。

他随机选择一个硬币，并抛掷，结果是正面。

那么这个硬币是特殊硬币的概率是多少？解析：设事件A表示选择特殊硬币，事件B表示抛掷结果为正面。

我们需要计算的是条件概率P(A|B)，即在已知结果为正面的情况下，选择的硬币是特殊硬币的概率。

根据条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)首先计算P(B)，即抛掷结果为正面的概率。

根据题意，我们可知存在两种情况下抛掷结果为正面：选择普通硬币但是抛掷结果为正面，和选择特殊硬币且抛掷结果为正面。

由于选择特殊硬币的概率为1/2，特殊硬币抛掷结果为正面的概率为1。

以及选择普通硬币的概率为1/2，普通硬币抛掷结果为正面的概率为1/2。

因此，P(B) = (1/2) * 1 + (1/2) * (1/2) = 3/4。

接下来计算P(A∩B)，即选择特殊硬币且抛掷结果为正面的概率。

由于选择特殊硬币的概率为1/2，特殊硬币抛掷结果为正面的概率为1。

因此，P(A∩B) = (1/2) * 1 = 1/2。

将上述结果代入条件概率的定义中，可得：P(A|B) = (1/2) / (3/4) = 2/3所以选择特殊硬币的概率为2/3。

例题二：抽奖活动某抽奖活动中，参与者共有100人，其中10人中奖。

现在小红参与该抽奖活动，她中奖的概率是多少？解析：由于参与者共有100人，中奖人数为10人，所以每个参与者中奖的概率是相等的。

因此，小红中奖的概率为10/100 = 1/10 =0.1。

所以，小红中奖的概率为0.1。

例题三：骰子问题小明和小刚玩一个游戏，他们同时掷两个骰子。

高中数学中的概率计算案例详细例题解答概率是数学中非常重要的一个概念，在高中数学中也是一个必学的内容。

概率计算案例是帮助学生理解和掌握概率知识的重要途径之一。

本文将通过详细解答一些高中数学中的概率计算案例例题，帮助读者更好地理解和运用概率知识。

例题一：某班的学生中，男生占班级人数的40％，女生占总人数的60％。

如果在一个随机抽样中抽到一个男生的概率为0.25，那么这个班上男生人数是多少？解答：设班级总人数为x，男生人数为0.4x，女生人数为0.6x。

根据题意，抽到男生的概率为0.25，即男生人数除以总人数等于0.25，得到方程0.4x / x = 0.25。

解方程，可得男生人数为0.4x = 0.25x，化简得到0.4 = 0.25，再次化简可得x = 0.4 / 0.25，即x = 1.6。

所以，这个班上男生人数是1.6个人，由于人数不能为小数，所以可以得出这个班上男生人数为2人。

例题二：有一批产品，其中80%的产品合格，20%的产品不合格。

现在从中随机选择3个产品，求出其中至少1个合格的概率。

解答：首先，计算一个产品不合格的概率为0.2，合格的概率为0.8。

设B表示至少1个产品合格的事件，B'表示只有不合格产品的事件。

根据概率的加法定理，可以得到P(B) = 1 - P(B')。

而P(B')可以通过计算不合格产品全部选中的概率得到，即P(B') =P(不合格产品1) × P(不合格产品2) × P(不合格产品3) = 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008。

所以，P(B) = 1 - 0.008 = 0.992。

因此，从中选择3个产品中至少1个合格的概率为0.992。

例题三：甲、乙、丙三人相继射击一个目标，已知甲、乙两人的命中率分别为0.8和0.7，丙人不重复射击，求丙人命中的概率。

解答：首先，计算甲人命中的概率为0.8，乙人命中的概率为0.7。

班级小组姓名成绩满分（120）一、感受可能性（一）必然事件、随机事件、不可能事件的区分（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.下列事件中：①掷一枚硬币,着地时正面向上；②在1标准大气压下，水加热到100℃会沸腾;③买一张福利彩票，开奖后会中奖；④明天会下雨.其中,必然事件有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.“抛一枚图钉,落地后钉尖朝上”这一事件是()A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件例1.变式2.下列事件为必然事件的是()A.小王参加本次数学考试，成绩是150分B.某射击运动员射靶一次，正中靶心C.打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻D.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球例1.变式3.下列事件中，属于确定事件的个数是()(1)打开电视，正在播广告；(2)投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；(3)射击运动员射击一次，命中10环;(4)在一个只装有红球的袋中摸出白球.A.0B.1C.2D.3（二）事件发生的可能性大小（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.天阴了，一定会下雨是事件，一定不会下雨是事件.例2.变式1.下列事件发生的可能性为0的是()A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟C.今天是星期天，昨天必定是星期六D.小明步行的速度是每小时80千米例2.变式2.口袋中有9个球,其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为100%的是()A.从口袋中拿出一个球,恰为红球B.从口袋中拿出2个球,都是白球C.拿出的6个球中至少有一个球是红球D.从口袋中拿出的球恰为3红2白例2.变式3.转动如图所示的转盘一次，当转盘停止转动时，记录指针所指向区域的颜色(若指针落在交界处，则重转一次).(1)所记录的颜色区域会有哪些可能的结果?(2)你认为指针指向哪种颜色区域的可能性大?哪种颜色区域的可能性小?(3)怎样改变各颜色区域的数目,可以使指针指向每种颜色区域的可能性相同?二、频率的稳定性（一）频率与概率（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.下列事件中,发生的可能性是1的是()A.367人中至少有两人的生日相同B.星期天是晴天C.男生比女生高D.从一副扑克牌中抽取一张是黑桃A例3.变式1.下列事件发生的可能性最小的是()A.打开电视时正在播放广告B.下个月8号宜昌城区下雨C.掷一枚硬币,落地后正面朝上D.明年七月宜昌城区下雪例3.变式2.下表是篮球运动员在一些篮球比赛中的罚球记录:(1)计算表中“罚中频率不低于0.8”有几次;(2)根据这些罚球，估计该运动员罚中球概率(精确到0.01).例3.变式3.某射击运动员在相同条件下射击160次，其成绩记录如下:(1)根据上表中信息将两个空格数据补全;2)估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1),并简述理由.（二）用频率估计概率（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.小华和小丽做游戏：抛掷两枚硬币,每人各抛掷10次,小华在10次抛掷中,成功率为20%,则她成功了次,小丽成功率为10%,则她成功了次.例4.变式1.将下面事件的字母写在最能代表它发生的可能性的点上.(1)有四张面值分别为10元，20元，50元和100元的钞票，从中任意抽出一张是面值大于10元的钞票;(2)投掷一枚骰子，得到向上的数字是8;(3)早晨太阳从东边升起;(4)投掷一枚硬币时,得到一个正面.例4.变式2.人们通常用来表示必然事件发生的可能性,则不可能事件发生的可能性为.例4.变式3.下列事件发生的可能性大小为：①10%；②50%；③95%，试将它们与下面的文字匹配.A.很可能发生，但不一定发生；B.发生的可能性极小，但仍有可能发生;C.发生与不发生的可能性相同.（三）用频率估计概率在实际生活中的应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.随意掷出一枚均匀的骰子，“6”朝上的可能性为.例5.变式1.请说出下列事件发生的可能性大小.(1)袋中装有除颜色外完全相同4个红球和1个黄球，从中任意摸出一个球恰为黄球;(2)掷一枚均匀的骰子(其六个面标有1,2,3,4,5,6共6个数字),其朝上的数字大于3;(3)10名同学站在屏幕后,其中男生7名，女生3名，从中任意挑一人恰是女生;(4)没有电池的手电筒灯泡发光.例5.变式2.某批零件产品质量检查结果如下表所示:(1)计算上表中优等品的频率;(2)该批零件优等品的概率估计值是多少?例5.变式3.王强与李刚两位同学在学习“概率”时,做抛骰子(均匀正方体)试验,他们共抛了54次,出现向上点数的次数如下表:(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率;(2)王强说:“根据试验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李刚分析说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断王强和李刚说法的对错.三、等可能事件的概率（一）一般概率的计算（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.袋中装有5个乒乓球,其中3个白的,2个黄的,它们除颜色外其余特征均相同,从中随意摸出一个球是白球的概率是.例6.变式1.从10,11,12,13,14,15,16,17,18,19这10个数中任取一个数,将它四次方后,其个位数字是6的概率为.例6.变式2.同时抛起两枚均匀的硬币,落地后正面都朝上的概率是,反面都朝上的概率是,一正、一反朝上的概率是.例6.变式3.从男、女学生共36人的班级中,选一名班长,任何人都有同样的当选机会,如果选得男生的概率为23,求男、女生人数各是多少.（二）概率的应用一（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.学校门口经常有小贩搞摸奖活动,某小贩在一只黑色的口袋里装有仅颜色不同的50只小球,其中红球1只,黄球2只,绿球10只,其余为白球,搅拌均匀后,每2元摸1个球,奖品的情况标注在球上.只要不是白球,均可中奖.如果花2元摸1个球,那么摸不到奖的概率是多少?例7.变式1.如图,若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子,则落在阴影部分的概率是()A.12 B.13C.23D.14例7.变式2.如图所示是一块黑白相间的正方形地板(图中每块方砖除颜色外完全相同),一只小猫在上面自由地走来走去,并随意停留在某块方砖上,那么这只小猫停留在黑色方砖上的概率是()A.12B.23C.1325D.1225例7.变式3.如图所示,是聪聪自己设计的自由转动的转盘,上面写有10个有理数,则转得正整数的概率是（）A.12 B.13C.25D.35（三）概率的应用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示是大家经常玩的扫雷游戏的简单示意图,点击中间的按钮,若出现的数字是2,表明数字2周围的8个位置有2颗地雷,任意点击8个按钮中的一个,则不是地雷的概率是()A.14B.18C.34D.23例8.变式1.如图,在两个同心圆中,三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分,若随意向圆中投球,球落在黑色区域的概率是.例8.变式2.如图,在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒,正方形内画有一个圆(圆的直径和正方形的边长相等).一只小鸡在围栏内啄食,则“小鸡正在圆圈内啄食”的概率为.例8.变式3.随意地抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样),那么这粒豆子停在灰色方格中的概率是.（三）游戏是否公平（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.小新和小丁想利用做一道数字题来决定谁去看球赛,他们叫老师给他们出一道题,若小新先做出来小新就去,若小丁先做出来小丁就去.这个游戏对双方公平吗?例9.变式1.小明和小红做如下游戏:任意掷出两枚均匀且完全相同的硬币,若朝上的面相同,则小明获胜;若朝上的面不同,则小红获胜,小红认为:朝上的面相同的有“两个正面”和“两个反面”两种情况;而朝上不同的面只有“一正一反”一种情况,因此游戏对双方不公平,你认为呢?例9.变式2.请你利用如图所示的转盘设计一个对双方公平的游戏.例9.变式3.桌子上有7张卡片,分别写着1-7个数,背面朝上,如果摸到单数,小丽赢,如果摸到双数,小明赢.(1)这个游戏公平吗?为什么?(2)小明一定会输吗?为什么?(3)请你设计一个公平的游戏方案.（四）等可能事件概率在生活中的应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.在一个袋中,装有五个除数字外其他完全相同的小球,球面上分别标有1,2,3,4,5这5个数字,从中任摸一个球,球面数字是奇数的概率是.例10.变式1.某电视台在2012年春季举办的青年歌手大奖赛活动中,得奖选手由观众发短信投票产生,并对发短信者进行抽奖活动.一万条短信为一个开奖组,设一等奖1名,二等奖3名,三等奖6名.王小林同学发了一条短信,那么他获奖的概率是.例10.变式2.将正面分别标有数字6,7,8,背面花色相同的三种卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张,求P(抽到偶数);(2)随机地抽取一张作为个位上的数字(不放回),再抽取一张作为十位上的数字,可能组成哪些两位数？组成的数恰好为“68”的概率是多少?例10.变式3.如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是()A.47 B.37C.27 D.17。