必修五解三角形高考题型总结复习

一．构成三角形个数问题1．在ABC 中，已知a x,b 2,B 45 ，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A．2 x 2 2 B. x 2 2 C ． 2 x 2 D. 0 x 22．如果满足ABC 60 ，AC 12 ，BC k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________．3．在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）二．求边长问题4．在ABC 中，角A, B,C 所对边a,b,c ，若a3,C 1200 ，ABC 的面积15 3S ，4则c（）A．5 B ．6 C ．39 D ．75．在△ABC中，0a 1, B 45 ,S2，则b =_______________.ABC三．求夹角问题6．在ABC 中，ABC , 2, 3 ，则sin BAC （）AB BC 410 10 3 10 5 A．10 B ． 5 C ．10 D ．57 ．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别a, b, c, S 为表示△ABC 的面积，若1 2 2 2a cos Bb cos Ac sin C, S (b c a ) ，则∠B=( )4A．90° B ．60° C ．45° D ．30°四．求面积问题8．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c . 若 2 cos , , 1a b A B c ，则3 △ABC的面积等于（）9．锐角ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，已知（Ⅰ）求sin C 的值；1 cos2C .4（Ⅱ）当 a 2，2 sin A sin C 时，求 b 的长及ABC 的面积．10．如图，在四边形ABCD 中，AB 3, BC 7 3, CD 14, BD 7, BAD 120 ．（1）求AD 边的长；（2）求ABC 的面积．11．（本小题满分12 分）已知ABC 中, 角A, B,C 对边分别为a,b, c , 已知c 2,C ．3 （1）若ABC 的面积等于3, 求a,b（2）若sin C sin( B A) 2 sin 2A, 求ABC 的面积．12．在ABC 中，角A, B, C 对边分别为a,b,c 已知外接圆的面积；C ．若a 2,b 3，求ABC 的3五．判定三角形形状问题13．在ABC 中，a，b ，c分别为角A ，B ，C 所对边，若 a 2b cos C，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形14．ABC 中三边上的高依次为1 1 1, ,13 5 11，则ABC 为（）A．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形15．在ABC 中，若0 tan A tan B 1，那么ABC 一定是（）A．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状不确定16．在△ABC 中， 2cos B a c2 2c，（a，b，c 分别为角A，B，C 的对边），则△ABC的形状为( )A．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形17．在ABC 中，如果a bcos B cos A，则该三角形是A．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．以上答案均不正确六．综合问题18．在锐角△ABC中，a,b,c 是角A，B，C的对边，且3a 2csin A .（1）求角C的度数；（2）若c7 ，且△A BC的面积为3 32，求a b 的值。

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

解三角形一、知识点总结 1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -；sincos cos sin tan cot 222222A B C A B C A B C+++===；；. 2．面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R CcB b A a 2sin sin sin ===或变形：::sin :sin :sin a b c A BC = (解三角形的重要工具) 形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cos C =abc b a 2222-+5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7． 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ） 正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。

两边和夹角 (如a 、b 、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A ．2.三角恒等变换给值求值问题典例2：（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质π5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω，A 解析式 典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换 典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈3π6π12写性质 根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤 注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+， 求ω 先求周期T ，再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，注意区分是在增区间还是减区间上 求解析式写出解析式解题思路及步骤 注意事项写出变换法则 把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数 代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2【解析】先变周期：先变相位：选D ．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为， 所以，所以，得（舍去）或12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.令AB c=，BC a=，则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结 （一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．2.诱导公式：对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式： （1）升幂公式：sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决 定，tan b aϕ=).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： 振幅：A ，周期：2πωT =，频率：12f ωπ==T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．9.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=； 化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形：222cos 2b c a bc+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）()c b a r S ++=21（r 为三角形内切圆半径）。

解三角形若在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为面积，则有 （1）A+B+C= .（2）若A+C=2B ，则B= .（3）在△ABC 中，大边对 ，大角对 . （4）在△ABC 中，任意两边之和 第三边. （5）正弦定理：sin sin aBC=== ，=a ，=b ，=c .（6）余弦定理：=2a ； 2b = 2c = .（7）A 为钝角，则a 、b 、c 满足的条件为 ，A 为直角，则a 、b 、c 满足的条件为 ，A 为锐角，a 、b 、c 满足的条件为 ，A=60°，则a 、b 、c 满足的条件为 （判断三角形形状的方法）.（8）三角形ABC 的面积=S 12ab =12ac =12bc .解三角形一．选择题。

1.(2010年广东卷文)ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o ，则b =( )A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- 2．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 14．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．1:3:2 D ．2:3:17．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B >. 8. （海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18 B. 3/4 C. 3/2 D. 7/8二．填空题。

必修5第一章：解三角形1、正弦定理：在中，、、分别为角、、对边，为外接圆半径，那么有．2、正弦定理变形公式：①，，；②，，；〔正弦定理变形常常用在有三角函数等式中〕③；④．3、三角形面积公式：．4、余定理：在中，有，，．5、余弦定理推论：，，．6、设、、是角、、对边，那么：①假设，那么为直角三角形；②假设，那么为锐角三角形；③假设，那么为钝角三角形．考点一：正弦定理应用例1(1) 在中，，那么等于〔〕A．1：1 B. 1：2021 C. 2021：1 D. 不确定(2) 在中，假设，那么在中，(3) 在中，角所对边，假设，那么=〔4〕在中，假设，推断形态.(5)在中，分别依据所给条件指出解个数①②③例2.中，且，试断三角形形态。

考点二：余弦定理例3(1) 满意，那么长等于〔〕A．2 B. 1 C. 1或2 D. 无解(2) 在中，角所对边，假设，那么角为〔〕A． B. C. 或 D. 或(3) 在中，假如，那么此三角形最大角余弦值是(4) 在中，假设，试推断三角形形态。

(5)在中，，求最大角和。

(6)设锐角角所对边，且（1）求大小〔2〕假设，求例4〔1〕. 在中，角所对边，，求。

(2) 在中，角所对边，假设，且，那么等于〔〕A． B. C. D.(3) 在中，三内角分别是，假设，那么此三角形肯定是〔〕A．直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形(4) 在直角中，为两锐角，那么中〔〕A ．有最大值和最小值0 B. 有最大值，但无最小值C. 无最大值也无最小值D. 有最大值1，但无最小值(5) 在中，假设，那么。

(6) 在中,角所对边，，外接圆半径为 ,求角.考点三：三角形面积公式应用例5(1) 在中，，那么等于〔〕A． B. C. D.(2) 在中，假设，那么面积等于(3) 在中，三边与面积关系为:,那么角=(4) 在中，,那么=(5)在中，，且①求角，②假设，求面积。

(6)在中，，，①求面积②假设，求值〔7〕在锐角中，角所对边，且〔1〕求〔2〕假设，且，求值。

解三角形复习一、知识点复习1、正弦定理及其变形a b c sin A sin B sin C 2R(R为三角形外接圆半径）（1）a2R sin A,b2R sin B,c2R sin C(边化角公式）a b c（2）sin A,sin B,sin C(角化边公式）2R2R2R（3）a:b:c sin A:sin B:sin Ca sin A a sin Ab sin B(4),,b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况:如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA<sinB<1，则B有两解；如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.3、余弦定理及其推论222a b c2bc cos A 222b a c2ac cosB 222c a b2ab cosC cos Acos Bcos C222b c a2bc222a c b2ac222a b c2ab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式1（1）底高S；ABC2111（2）SABCab C bc A ca sin Bsin sin222（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）a b c,b c a,a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）在ABC中，A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

sin A B2cosC A2,cos2BsinC2（4）二、典型例题题型1 边角互化[例 1 ]在ABC 中，若sin A : sin B : sin C 3 : 5:7，则角C 的度数为[例 2 ] 若a、b 、c是ABC 的三边，2 2 ( 2 2 2 ) 2f ( x) b x b c a x c ，则函数 f (x) 的图象与x轴【】A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点 D 、至少有一个交点题型2 三角形解的个数[ 例3] 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、a 7 ，b 14 ，A 30 ；B、b 25 ，c 30 ，C 150 ；C 、b 4 ，c 5，B 30 ；D、a 6，b 3 ，B 60题型3 面积问题例4．在ABC 中，sin A cos A 22 ，AC 2，A B 3 ，求tan A 的值和ABC 的面积题型4 判断三角形形状[例5] 在ABC 中，已知 2 2 2 2(a b ) sin( A B) (a b ) sin( A B), 判断该三角形的形状。

必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定明白得三角形例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。

考察点2：利用正弦定理判定三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判定三角形ABC 的形状。

例4在△ABC 中，若是lg lg lg sin a c B -==-，而且B 为锐角，试判定此三角形的形状。

例5在△ABC 中，求证2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++.例6在△ABC 中，a,b,c 别离是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22c b ab -=.考察点4：求三角形的面积例7在△ABC 中，a,b,c 别离是三个内角A,B,C 的对边，假设2,,cos425B aC π===,求△ABC 的面积S.例8已知△ABC 中a,b,c 别离是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π=, 求△ABC 的面积S 的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC 的内角A,B 极为对边a,b 知足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边别离为a,b,c,且c=10,cos 4cos 3A bB a ==，求a,b 及△ABC 的内切圆半径。

『易错疑难辨析』易错点 利用正弦定明白得题时，显现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在明白得与运用中常显现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，显现漏解或增解；（2）在判定三角形的形状时，显现漏解的情形。

例1（1） 在△ABC 中，6,30,;a b A B ===︒求（2） 在△ABC 中，2,60,;a b A B ===︒求易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题进程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。