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第一节 数学期望

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《数学期望》课件

《数学期望》课件
注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策

第一节 数学期望(概率论与数理统计)

第一节 数学期望(概率论与数理统计)
5
x 5
E ( M ) xf M ( x)dx

0 5xe
137 60

x
(1 e
x 4
) dx
E ( M ) 13760 11 1 E( N ) 5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
e
dy
y
xe
x2 2
dx


1
x2 2
e
dx x ye

y2 2
dy
1



e
x2
dx
1

其中 e dx
x2

称为 概率积分
( e dx )
x2 2




e
( x 2 y 2 )
X ,Y 相互独立，则
E (max{ X , Y })
E (min{ X , Y })
四、数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) 常数
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写

随机变量的数学期望 ppt课件

随机变量的数学期望 ppt课件
概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
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32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy

第一节数学期望ppt

第一节数学期望ppt

0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0

0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2

E( X ) x
1
( x )2

Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,

(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1

p)n1l

g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有

第一节 数学期望

第一节 数学期望
pk
1 2
1 22
1 23
1 23
1 1 1 1 (1) E ( ) 0 1 1 ( 2) E ( ) pk 1 k 1 1 x k
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 0 2 11 2 1 2 2 1 3 2 67 96


k 1


e e - (k - 1)! k -1 0 (k - 1)! e - e
k
k! k -1
3、离散型随机变量函数的数学期望 定理 1： P95 设 =g(), g() 是连续函数， （1）若 的分布律为 Pk P{ xk }
设随机变量在a， b上服从均匀分布．
1 其密度函数为 f x b a 0 a xb 其它
b
则的数学期望为E()=(a+b)/2
解： E ( )


-
xf(x)dx
a
1 x dx b-a
ab 2
2）指数分布
设随机变量服从参数为 的指数分布． e x x 0 密度函数为
10 0.6
10 0.3
试问哪一个人的射击水 平较高？
解： 甲、乙的环数可写为 E 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5
E 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比 乙的好。
2、常见的离散型随机变量的数学期望P94 1）0—1分布 服从参数为p的（0-1）分布， 分布律为 0 1
k 1
k 1
记 E( ) xk pk
k 1


则称 E()为 R.V 的数学期望，简称为期望或均值。 若级数

5.5第1节数学期望

5.5第1节数学期望
dz
2. 几种常见分布的数学期望 (1). 均匀分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
1 f ( x) = b − a 0 a<x<b
1 1 1 = + − α β α +β +∞ αβ 1 1 E ( Z3 ) = ∫ z [ ( e− β z − e − α z ) ]dz = + α − β α β 0 α2 +β2 显然： E ( Z 3 ) > E ( Z 2 ), E ( Z 2 ) − E ( Z1 ) = >0 αβ (α + β ) 所以得：在备用的联接方式下其寿命最长
∑x
i
f ( x i ) ∆x i
∫
∞
−∞
x ⋅ f ( x )dx 绝对收敛，则称此积分的值 E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx
−∞ ∞
i
f ( xi ) ∆ xi
为连续型随机变量 X 的数学期望， 记为：
这正是
∫
∞
−∞
x f ( x ) dx
小区间[ x i , x i+1 )
的渐近和式.
(α > 0, β > 0)
3
解： 依题意，当 z > 0 时其数学期望分别为： +∞ 1 E ( Z1 ) = (α + β ) ∫ z e − (α + β ) z dz = α +β 0 +∞ +∞ +∞
E ( Z2 ) =
∫ zα e
0
−α z
dz +
∫ z βe
0
−β z
dz −
∫ z (α + β )e

数学期望


5.
(教材P124-(B)-第2题/习题课教程P98例8） 例8 设X ～ N(0,1),Y ～ N(0,1), X 与Y相互独立, 求 E ( X 2 Y 2 ). 解: E ( X 2 Y 2 )
E[ g( X )] g( x ) f ( x ) d x.


X ~ N（0， 1） ， 求 随 机 变 量 例6 已 知 随 机 变 量 Y X 2的 数 学 期 望 解 E(Y) E(X ) x
2 2
1 e 2
x2 2
dx 1
(教材P106例1.9，请记住结论!)
由于
p
0 .2
0 .1
0 .1
0 .1
0 .1 0 . 3
0 .1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 0 1 1 2 1 2 0 1 3 于是
1 1 1 Y E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 2 2 3 X
附 ： 函 数 ( s )
0
x e dx , (s 0)
0
s 1 x
或 ( s ) 2
x
2 s 1 x 2
e
dx ,
递推公式： ( s 1) s( s ) 一 般 地 (n 1) n（ ! n为 正 整 数 ） 1 (2) 1, (1) 1, （ ) 2 另外
E ( X ) k q k 1 p p k q k 1 p (q k )
k 1 k 1
k 1

k 1

11-1 数学期望

i , j =1 i , j =1 ∞ ∞
(2). 若( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ， 且
∞ −∞ −∞
∫ ∫ g ( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛，
∞ ∞ − ∞ −∞
∞
则：EZ= ∫
∫ g ( x, y) f ( x, y)dxdy 。
例5 设风速 V 在(0,a)上服从均匀分布，又设飞机机 翼受到的正压力 W 是 V 的函数：W = kV 2 ，(k>0)； 求 EW。
N 1 k 所以 EX = ( k + 1 − kq ) = N (1 + − q k ) k k
只要选 k 使 1 + 1/ k − q k < 1，即1/ k < q k ，就可使第 二个方案减少化验次数；当 q 已知时，若选 k 使 f (k ) = 1 + 1/ k − q k 取最小值，就可使化验次数最少。
∞
则 EY= ∫ g ( x) f ( x)dx 。
−∞
∞
−∞
定理 2：
若 ( X , Y ) 是二维随机变量， g ( x, y) 是二元连续函数，
Z = g ( x, y )
(1). 若 ( X , Y ) 的分布律为 P{ X = xi , Y = y j } = Pij ， 且 ∑ g ( xi , y j ) Pij 绝对收敛；则 EZ= ∑ g ( xi , y j ) Pij 。
2, ( x, y ) ∈ A 解： f ( x, y ) = 0, 其它；
∞ ∞ 0 0
0
x
x + y +1= 0
1 EX= ∫ ∫ xf ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 2dy = − 3 −∞ −∞ −1 −1− x 0 0 1 E(-3X+2Y)= ∫ dx ∫ 2(−3x + 2 y )dy = 3 −1 − x −1 ∞ ∞ 0 0 1 EXY= ∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 2 ydy = 12 −∞ −∞ −1 −1− x

第一节 数学期望


( x − µ )2 −
2σ 2
(− ∞ < x < +∞ )
则ξ的数学期望为E(ξ)=µ. 的数学期望为E(ξ)=µ E(
#
证明： E 证明： (ξ ) = ∫
=∫
=∫
+∞
+∞
-∞
x
1
1 2π σ
e
e
（x - µ）2 2σ 2
dx
-∞
[ µ + (x - µ )]
2π σ
（x - µ）2 2σ 2
#
2、常见的离散型随机变量的数学期望 1)(0-1)分布 1)(0-1)分布 (0-1)分布 分布， 若ξ服从参数为p的(0-1)分布， 则 证明： E(ξ)=0×(1-p)+1× 证明： E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p 2) 二项分布 E(ξ)=p ξ
k P{ξ = k} = Cn pk (1− p)n−k
∞ ∞
λ
k
k!
e −λ
证明： ξ ) = ∑ ξ k Pk = ∑ k E( 证明：
k =0 k =0
λ k e -λ
∞
=
k =1
∑
∞
e − λ = λ e -λ ∑ (k - 1)! k -1= 0 (k - 1)! = λe - λ e λ
#
λk
k! λ k -1
二、连续型随机变量的数学期望 1、定义： 定义：
第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
本节要点： 本节要点： 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量的函数的数学期望 二维随机变量的函数的数学期望 数学期望的性质
#
引例1 观察一名射手20次射击的成绩： 引例1：观察一名射手20次射击的成绩： 20次射击的成绩

第一节 数学期望


若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 在 局 局的前提 最终所得的赌金. 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金 200 0 所取可能值为: 则X 所取可能值为 3 1 其概率分别为: 其概率分别为 4 4 因而A期望所得的赌金即为 期望所得的赌金即为X的 期望” 因而 期望所得的赌金即为 的 “期望”值, 3 1 200 × + 0 × = 150(元 ). 等于 4 4 即为 X 的可能值与其概率之积的累加 的可能值与其概率之积的累加.
E ( X 2 ) = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 故甲射手的技术比较好
实例2 实例
如何确定投资决策方向? 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目， 某人有 万元现金，想投资于某项目， 万元现金 预估成功的机会为 30%，可得利润 万元 ， ，可得利润8万元 失败的机会为70%，将损失 2 万元． 万元． 失败的机会为 ， 若存入银行，同期间的利率为5% ， 若存入银行，同期间的利率为 问是否作此项投资? 问是否作此项投资 解 为投资利润， 设 X 为投资利润，则
第一节
数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、小结
引例1 分赌本问题(产生背景 产生背景) 引例 分赌本问题 产生背景
A, B 两人赌技相同 各出赌金 两人赌技相同, 各出赌金100元, 元 并约定先胜三局者为胜, 并约定先胜三局者为胜 取得 全部 200 元.由于出现意外情况 , 由于出现意外情况 局时,不得不终止赌博 不得不终止赌博, 在 A 胜 2 局 B 胜1 局时 不得不终止赌博 如果要分赌金,该如何分配才算公平 该如何分配才算公平? 如果要分赌金 该如何分配才算公平 A胜 2 局 B 胜 1 局 前三局: 前三局 AA AB BA BB 后二局: 后二局 A胜 B胜 故有, 在赌技相同的情况下, 故有 在赌技相同的情况下 A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 : 1, 1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
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且 Pk g( xk )绝对收敛，则
k 1
E Pk g( xk )
k 1

例5、设离散型随机变量X的分布律为：
X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
Y= X 2 求E(Y)
解：E (Y ) x 2 k pk
k 1 3
0 0.1 1 0.2 2 0.7 3
Xy 3y Y 3X -(y-X ) X y
Xy 3y Y g( X ) 3X -(y-X ) X y 2000 y 4000 下面求EY，并求使EY达到最大的y值， y 4000 3 x ( y x) 3y EY g( x ) f ( x )dx dx dx 2000 2000 2000 y 1 2 6 [ y 7000 y 4 10 ] 1000
1 22
1 23
1 23
1 1 1 1 (1) E ( ) 0 1 2 2 3 3 3 2 2 2 2 4 1 1 ( 2) E ( ) pk 1 k 1 1 x k
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 0 2 11 2 1 2 2 1 3 2 67 96
10 30 50 P 1/6 3/6 2/6
E =10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)
（2）旅客8：20分到达 的分布率为
10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)
E =10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) = 27.22(分)
1 [( y 3500 ) 2 3500 2 4 10 4 ] 1000 1 ( y 3500 ) 2 8250 1000
第四章
随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i 1,2,k ， n N ， 求平均成绩。
k i 1 i
解： 平均成绩为:
k 1 k ni ai ni ai N N i 1 i 1
若用 X 表示成绩，则
P { X ai }
P X k C p 1 p
k n k n k
k 0， 1， ， n

0 p1
则X的数学期望为E(X)=np
3）泊松分布 设 X 服从Poisson 分布． 其分布律为
k P X k e k!
k 0， 1， 2， 0
8 0.2
9 0.3
9 0.5
10 0.6
10 0.3
试问哪一个人的射击水 平较高？
解： 甲、乙的环数可写为
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5 EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比 乙的好。
2
X的密度函数为
x 2
2 2
1 f x e 2
x
则X的数学期望为E(X)=
证明： ( X ) E


-

-
x
1
1 2
e
-
（x-）2 2 2
e
dx
[ (x - )]
2
（x - ）2 2 2
设随机变量 X 在a， b 上服从均匀分布．
1 其密度函数为 f x b a 0 a xb 其它
b
则X的数学期望为E(X)=(a+b)/2
解： ( X ) E


-
xf(x)dx
a
1 x dx b-a
ab 2
2）指数分布 设随机变量X 服从参数为 的指数分布． e x x 0 密度函数为 f x x0 0
e- k! k -1
k
则X的数学期望为E(X)= 证明：E(X ) X k Pk k
k 0 k 0

k 1


e e - (k - 1)! k -1 0 (k - 1)! e - e
k

4）几何分布
P X k qk-1 p 设 X~G(p)．其分布律为
dx
1 2
（x - ）2 2 2

-

1 2
e
（x - ）2 2 2
dx

-
(x - )
e
dx
() e 2
（x - ）2 2 2 -

3、随机变量函数的数学期望
若X的概率密度为 f(x) , 且Y=g(X), 若

则 g( x ) f ( x )dx 绝对收敛， EY
例4、按规定，火车站每天8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的， 且两者到站的时间相互独立，其规律为：
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6
8:30,9:30 3/6 8:50,9:50 2/6
(1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。 解：设旅客的候车时间为 （以分记） (1) 的分布律：
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6 8:30,9:30 8:50,9:50 3/6 2/6
风险决策时，可根据期望收益最大原则，选 择最优方案，但这样做有时并不一定合理
例、设有两个决策问题
问题1：方案A1：稳获100元；方案B1：获得
250元和0元的机会各为0.5
问题2：方案A2：稳获10000元；
二、连续型随机变量的数学期望 1、定义： P90 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)， 若积分


xf ( x )dx


绝对收敛，则称积分

xf ( x )dx
的值为X的数学期望。
记为E X =

xf ( x )dx
数学期望也称为均值。
例7
设随机变量 服从Cauchy 分布，其密度函数为 1 1 x f x 2 1 x 由于
则X的数学期望为E(X)=1/
证明： ( X ) E
-

xf ( x )dx
xde
-x

0
x e- x dx
e-x dx
0

0
[ xe ]
-x 0
0
1

e
- x 0

1

3）正态分布
X ~ N ，
2 2
例6、 设一汽车沿一街道行驶， 需经过三个均设 有红绿信号灯的路口，每盏信号灯以 1/2 的概率 允许或禁止汽车通过.信号灯的工作是相互独立 的.以 表示汽车首次停下时，它已通过的路口 数，求 (1)E() (2)E(1/1+ ) 解： 的分布律为： 0 1 2 3
pk
1 2
k 1
k 1
记 E(X ) xk pk
k 1


则称 E(X)为 R.V X 的数学期望,简称为期望或均值。 若级数
x
k 1

k
pk 不绝对收敛，则称 X 的数学期望
不存在。
例3
甲、乙两人射击，他们 的射击水平由下表给出 ：
X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
1 1 1 3 EX x dx x 0 2 2 3 1 4 2 3 8 6 3
2 2
2
2 0
E ( X EX )2 E ( X )2
2 0
1 (x ) dx 2
2
2 0
1 1 3 (x ) 2 3
1 2 2 3 6 3

k 1
k n C M C N kM P X k n CN
设 X ~H(N, M, n)．其分布律为
k 0， 1， ， min M， n
则X的数学期望为E(X)=(nM)/N
3、离散型随机变量函数的数学期望 定理 1： 设 =g(X), g(X) 是连续函数， （1）若 X的分布律为 Pk P{ X xk }
例 假设一部机器一天内发生故障的概率为
0.2(全天停止工作），若一周内5个工作日 里无故障，可获利润10万元；发生一次故障 可获利润5万元；发生两次故障可获利润0万 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万 元。求一周内期望利润是多少？ 解：设一周内发生故障次数为X 0 5 0 1 4 P{ X 0} C 5 0.8 0.2 P { X 1} C 5 0.8 0.2
2 2
x xe d - 2 xd e 0 0 2 x2 1 x 2 - 2 - ( ) x 2 2 xe e d 0 0 1 0 2 2 2

x2 - 2 2
2
x2 - 2 2
2、常见的连续型随机变量的数学期望P90 1）均匀分布


g( x) f ( x)dx

例10、随机变量X服从[0,2]上均匀分布， 求Esin X ,EX2 , E(X-EX)2
1 解： f x 2 0 0 x 2 其它
2
EsinX
0
1 sinx dx 2
1 0 cos x 2 0 2