人教B版(理科数学)离散型随机变量及其分布列名师精编单元测试

第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）X 3456P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．12（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24kP X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）A ．1124B ．712C ．23D ．1324（2022·江苏淮安·高二期末）3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）A ．()()1,1E X D X =-=-B ．()()1,1E X D X ==C ．()()1,4E X D X =-=D ．()()1,1E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（）A ．()0,0.6B ．()0,0.7C ．()0.6,1D ．()0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X12Pab则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．13B ．112C ．12D ．16（2022·山东东营·高二期末）7．设01m <<，随机变量的分布列为：ξ0m1P3a 13213a -则当m 在()0,1上增大时（）A ．()D ξ单调递增，最大值为12B ．()D ξ先增后减，最大值为13C ．()D ξ单调递减，最小值为29D ．()D ξ先减后增，最小值为16（2022·全国·高二课时练习）8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：ζ－102Pa2a3a则下列方差中最大的是（）A ．()D ζB ．()D ζC ．()21D ζ-D ．()21D ζ-二、多选题（2022·全国·高二课时练习）9．设离散型随机变量X 的概率分布列为X1-0123P110151101525则下列各式正确的是（）A ．()1.50P X ==B ．()11P X >-=C ．()2245P X <<=D ．()3010P X <=（2022·全国·高二课时练习）10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ．()35E X =D ．()3275D X =三、填空题（2022·安徽·歙县教研室高二期末）11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.X012p0.40.2a（2022·广东佛山·二模）12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456>6P0.150.10.250.20.150.10.050则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.四、解答题（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投篮的命中率为14，在B处投篮的命中率为45，求他初赛结束后所得总分X的分布列．（2022·福建省福州第二中学高二期末）14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.B能力提升（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率1323方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()E X.（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32p -，其中304p <<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考答案：1．C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由11112626a a ++++=，解得19a =.故选：C.2．A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：()()()()24511152452424P X P X P X P X ++<≤==+=+===．故选:A 3．D【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,故选：D 4．B【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，()()()()()()221,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()()221213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，令()233 1.39E X p p =-+>，解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，则()()()22211]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，当12b =，()D X 有最大值为14．故选：A ．6．B【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得112ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成立.故选：B.7．D【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知1211333a a -++=，解得1a =，所以11()0333m m E ξ+=++=所以()222111111()()(1)333333m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213(1)[()]9924m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当12m =时，()D ξ有最小值16.故选：D 8．C【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则16a =，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()11171026326E ζ=⨯+⨯+⨯=，所以22215151553()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2221717172910266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()292149D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19111010P X >-=-=，故B 错误；()()22435P X P X <<===，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．故选：AC 10．BD【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()1146210C C 2481C 4515P X ====，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：X12P13815215所以，()8412415155E X +===，()222414842320125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．11．20【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，()22()()(())0.8,5125()250.820D XE X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =，()45P B =，则()34P A =，()15P B =，X 的可能取值为：0，2，3，4.所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146245545525P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()134P X ==，()34412445525P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X234P310062514122514．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X1-01P0.20.50.3（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，所以Y 的分布列为Y2-1-012P0.040.20.370.30.09所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人(3)分布列答案见解析，()90E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35，不低于1000元的概率为25，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()221105210P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，()21232213100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭，()22112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X50100200P1101535110所以，()113105010020090105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：ξ111P0.9700.030()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：η19P0.9760.024∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23p =，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭，3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，1324p ∴<<，23139941616P p P ⎛⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭，12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，1916P =，212P =，2332P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()1231231232911172P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，2229139139132911116221622162272p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又1324p << ，∴23p =；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2323253239P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，()91570111162972P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()91591591511111111116291629162932P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()29272P ξ==，()91553162932P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ123P77211322972532()711295233012372327232144E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.。

高中数学选修2《随机变量及其分布》全章同步测试题第二章 随机变量及其分布 姓名 2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1．1 离散型随机变量1．若随机变量ξ表示抛掷两枚质地均匀的硬币时正面向上的硬币枚数，则ξ的可能取值为 （ ） Ａ．0,1,2 Ｂ．0,1 C.1,2 D.0,22．下列变量中，不是离散型随机变量的是 （ ） Ａ．我们掷5枚硬币，观察到的正面的个数X Ｂ．连续不断射击，首次命中目标的射击次数Y Ｃ．某人早晨在车站等车的时间ξＤ．连续10次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数η3．将一颗均匀骰子抛掷两次，记第一次的点数与第二次的点数之差为ξ，则“4>ξ”表示的试验结果为 （ ） Ａ．第一次6点，第二次2点 Ｂ．第一次5点，第二次1点 Ｃ．第一次1点，第二次6点 Ｄ．第一次6点，第二次1点4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有号码1、2、3、4、5，任意抽取2个球， 设抽出的两球的号码之和为X ，则X 的所有可能值的个数是 （ ） Ａ．25 Ｂ．10 Ｃ．7 Ｄ．65．某人射击命中率为0.9，当第一次击中目标则停止射击，否则，继续射击，射击次数为随机变量X ，则X 的值域为 （ ） Ａ．{1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ｂ．{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ｃ．{0,1,2,3…,n,… } Ｄ．{ 1,2,3,…,n,… }6．10个专家被邀请品尝某一新酒的味道，分0,1,2,3计分，所得的总分用随机变量ξ表示，则ξ的所有可能取值是______________________.7．将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试列出ξ的所有结果_______________. 8．有五把钥匙串成一串，其中只有1把是有用的，依次尝试开锁，若打不开，就扔掉，直到打开为止，则试验次数X 的取值是________________.9．①某座大桥一天经过的车辆数为X ，②某无线寻呼台一天内收到的寻呼次数为X, ③一天之内的平均温度为X ，④一射手对目标进行射击，击中目标记一分，未击中目标 记0分，用X 表示该射手在一次射击中的得分。

高考数学离散型随机变量及其分布列（理科专用）测试题一、单选题（共12题；共24分）1.设随机变量X 的概率分布列为，则a 的值为（ ） A.B.C.D.2.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4， ，又的数学期望为，则（ ）A.B. 0C.D.3.随机变量的分布列如下表，其中成等差数列,且，则（ ） A. B. C. D.4.设随机变量X 的分布列为， 则（ ）A. B. C. D. 5.设随机变量X 的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3,...,n,...)，则的值为（ ）A. 1B.C.D. 6.投掷两枚骰子，所得点数之和记为x ，那么X=4表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 7.设随机变量X 的分布列为， 则（ ）A. B. C. D. 8.某射手射击所得环数ξ的分布列如下: 已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y 的值为( ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8 9.设随机变量 的分布列为，，则等于（ ） A.B. C. D.10.设随机变量x 等可能取1、2、3...n 值，如果,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定 11.如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y12.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下： 则q 等于( )A. 1B. 1±C. 1－D. 1＋二、填空题（共5题；共5分）13.已知随机变量的分布列如下表，且，则 =________,________.14.已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D （X ）等于________．X 0 1 p m 2m15.设随机变量ξ的分布列P （ξ= ）=ak ，k=1，2，3，4，5，则P （ξ≥）=________16.已知随机变量的分布列如下表：其中 是常数，则 的值为________.17.随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 x 3 P p 1 p 2 p 3若p 1 ， p 2 ， p 3成等差数列，则公差d 的取值范围是________三、解答题（共5题；共55分）18.一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．19.某市为迎接“国家义务教育均衡发展综合评估”，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分. 其中 、 分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A (优秀)、B (良好)、C (及格)三个等级，调查结果如右表所示. 例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B 等级的共有20+21+2=43所学校. 已知两项指标均为B 等级的概率为0.21.X －1 0 1P1－2q q 2（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关;师资力量(优秀) 师资力量（非优秀）基础设施建设（优秀）基础设施建设（非优秀）（2）在该样本的“学校的师资力量”为C等级的学校中，若，，记随机变量，求的分布列和数学期望.20.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取人对共享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（Ⅰ）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（Ⅱ）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为，求的分布列和数学期望.参考公式：.临界值表：21.衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：下面临界值表：（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？22.由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．答案一、单选题1. D2. A3. C4. C5.B6. D7. C8.B9.C 10. C 11. D 12.C二、填空题13. ；14.15.16. 17.三、解答题18.解：ξ的取值分别为3,4,5，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，所以ξ的分布列为19.（1）解:依题意得，得由，得由得.因为，所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关（2）解: , ,得到满足条件的有：，，，，故的分布列为1故20.解：（Ⅰ）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系.（Ⅱ）依题意，的可能取值为，，，且，，，故的分布列为：故所求的数学期望.21.解：（I）依题意，随机变量X的取值为0，1，2，3，且每个男生在这一时间段以看书为休闲方式的概率为，，，，．所以X的分布列为：所以．（Ⅱ）根据样本提供的2×2列联表可得所以我们有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段性别与休闲方式有关”22.（1）解：候车时间少于10分钟的人数为60×（+ ）=36（人）．（2）解：设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1﹣= ．（3）解：X的可能值为1，2，3，P（X=1）= = ，P（X=2）== ， P（X=3）= = ，所以X的分布列为∴EX= +2 +3× =。

高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。

2.1.2 离散型随机变量的分布列 测试一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ2．设离散型随机变量X 的分布列为：4答案：Ｃ3．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X 表示取到白球的个数，则X 的分布列为（ ）答案：Ｄ4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（ ）Ａ．110Ｂ．210Ｃ．810Ｄ．910答案：Ａ5．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（）Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.48答案：Ｄ6．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（）Ａ．299100⎛⎫⎪⎝⎭Ｂ．0.01Ｃ．516111100100dyCdx⎛⎫-⎪⎝⎭·Ｄ．2426111100100C⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·答案：Ｃ7．设随机变量1~62X B⎛⎫⎪⎝⎭，，则(3)P X=等于（）Ａ．516Ｂ．316Ｃ．58Ｄ．716答案：Ａ8．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（）Ａ．abＢ．a b+Ｃ．1ab-Ｄ．1a b--答案：Ｂ9．设随机变量~()X B n p，，则22()()DXEX等于（）Ａ．2pＢ．2(1)p-Ｃ．npＤ．2(1)p p-答案：Ｂ10．正态分布2()Nμσ，在下面几个区间内的取值概率依次为（）①(]33μσμσ-+，②(]22μσμσ-+，③(]μσμσ-+，Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3% Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%答案：Ｂ11．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是（ ） Ａ．0.01EX =Ｂ．10()0.010.99k k P x k -==⨯Ｃ．0.1DX =Ｄ．1010()0.010.99kk k P x k C -==⨯·答案：Ｄ12．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同答案：Ａ二、填空题13．若(0)1P X p ==-，(1)P X p ==，则(23)E X -= ．答案：23p -14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为 ．答案：0.2215．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为 个，方差为 ．答案：98.5，1.477516．设2~()X N μσ，，当x 在(]13，内取值的概率与在(]57，内取值的概率相等时，μ= ．答案：4三、解答题17．一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列．解：设二级品有2n个，则一级品有4n个，三级品有n个．一级品占总数的44 427nn n n=++，二级品占总数的22427nn n n=++，三级品占总数的17．又设X k=表示取到的是k级品(123)k=，，，则4(1)7P X==，2(2)7P X==，1(3)7P X==，X∴的分布列为：31718．如图，电路由电池A B C，，并联组成．电池A B C，，损坏的概率分别是0．3，0．2，0．2,求电路断电的概率．解：设A=“电池A损坏”，B=“电池B损坏”，C=“电池C损坏”，则“电路断电”A B C=··，()0.3()0.2()0.2P A P B P C===，，∴，()()()()0.30.20.20.012P A B C P A P B P C==⨯⨯=∴····．故电路断电的概率为0.012．19．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．解：设“第1次取到白球”为事件A，“第2次取到白球”为事件B，则1134253()5A AP AA==·，232563()2010AP ABA===，3()110(|)3()25P ABP B AP A===∴．即在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率为12．、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X，X ，且X 和X 的分布列为：试比较两名工人谁的技术水平更高． 解：16130120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=∵，25320120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=． 12EX EX =∴，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当.又2221613(00.7)(10.7)(20.7)0.81101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=∵， 2222532(00.7)(10.7)(20.7)0.61101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=． 12DX DX >∴，∴工人乙的技术比较稳定. ∴可以认为工人乙的技术水平更高.21．在函数222()x f x σ-=，()x ∈-+，∞∞的图象中，试指出曲线的位置，对称轴、渐近线以及函数的奇偶性、单调性和最大值分别是什么；指出参数σ与曲线形状的关系，并运用指数函数的有关性质加以说明．解：由已知，2221()x f x e σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且101e <<．由指数函数的性质知()0f x >，说明曲线在x 轴的上方；又由()()f x f x -=知，函数()f x 为偶函数，其图象的对称轴为 y 轴；当2x 趋向于无穷大时，2221x e σ⎛⎫ ⎪⎝⎭趋向于0，即()f x 趋向于0，说明其渐近线为x 轴；其中，0x >时，（即在对称轴0x =的右侧），2221x e σ⎛⎫ ⎪⎝⎭随x 的增大而减小，此时()f x 单调递减；同理()f x 在0x <时单调递增；由偶函数的对称性知，0x =时，()f x ；σ决定了曲线的“高矮”：σ越大，曲线越“矮胖”，反之则越“瘦高”．22．某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）①求至少一路电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．（2）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数X的均值．解：（1）①10.140.080.020.010.25P=+++=；②3235134544512P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··．（2）00.1310.3520.2730.1440.0850.0260.01 1.79 EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，55 1.798.95EX=⨯=∴．。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数；B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 13 16aA ．12 B ．16 C ．13 D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 二、填空题：13、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____三、解答题：17、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 19.(2007年重庆卷第6题)从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；X -1 0 1 p0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p0.4 0.7 -0.1X 5 0 -5 p0.3 0.6 0.1②()1,2,3,4,5,P X k k k===④ ⑤(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题： 13、 ③④14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 41 81 161 ．．． n21 ．．．∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22.[解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

`课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：① 理解取有限个的离散型随机量及其分布列的概念，了解分布列于刻画随机象的重要性；②理解超几何分布及其推程，并能行的用.教材复习1.随机量：如果随机的果可以用一个量来表示，那么的量叫做随机量随机量常用希腊字母、等表示2.离散型随机量 : 于随机量可能取的，可以按一定次序一一列出，的随机量叫做离散型随机量若是随机量，a b ，其中 a 、b是常数，也是随机量3.型随机量:于随机量可能取的，可以取某一区的一切，的量就叫做型随机量4. 离散型随机量与型随机量的区与系: 离散型随机量与型随机量都是用量表示随机的果；但是离散型随机量的果可以按一定次序一一列出，而性随机量的果不可以一一列出5.离散型随机量的分布列:离散型随机量可能取的x1、 x2、⋯、 x i、⋯取每一个x i i 1,2,的概率P(x i ) p i，称表x1x2⋯x i⋯P p1p2⋯p i⋯随机量的概率分布，称的分布列6.离散型随机量分布列的两个性：任何随机事件生的概率都足: 0≤P( A)≤1，并且不可能事件的概率0 ，必然事件的概率 1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：1p i≥0， i 1,2, ⋯；2 p1p2⋯1于离散型随机量在某一取的概率等于它取个各个的概率的和. 即P( ≥ x k ) P(x k ) P(x k 1 )7.两点分布：若随机量服从两点分布，即其分布列：X01其中 P P( X1) 称成功概率(表中 0 p 1 ).P 1 p p 8.几何分布：在独立重复中，某事件第一次生，所作的次数也是一个正整数的离散型随机量．“k”表示在第 k 次独立重复事件第一次生. 如果把k次事件 A 生A k、事件 A 不生A k，p( A k)p ，p( A k) q( q 1 p) ，那么P(k ) P( A1 A2 A3 L A k 1A k )P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) L P( A k 1 )P(A k ) q k 1 p(k0,1,2, ⋯， q1p )于是得到随机量的概率分布如下：13k2⋯⋯`Ppqq 2 p q k 1 pp⋯⋯称 的随机 量服从几何分布，作 g( k, p)q k 1 p ，其中 k0,1,2, ⋯， q 1 p9.超几何分布： 一般地， 有 N 件 品， 其中有 M （ M ≤ N ）件次品， 从中任取 n （ n≤ N ）件 品，用 X 表示取出的 n 件 品中次品的件数，那么 P Xk（其中 k 非 整数）. 如果一个随机 量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数N , M , n 的超几何分布 .m12⋯C M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1MC M 2 C N n 2MC M m C N n m MC N n C N nC N n ⋯C N n10. 求离散型随机变量分布列的步骤： 1 要确定随机 量 的可能取 有哪些 . 明确取每个 所表示的意 ； 2 分清概率 型， 算 取得每一个 的概率（取球、抽取品等 要注意是放回抽 是不放回抽 ； 3 列表 ， 出分布列，并用分布列的性.11.几种常见的分布列的求法：1 取球、投骰子、抽取 品等 的概率分布，关是概率的 算 . 所用方法主要有化 法、数形 合法、 法等， 于取球、抽取 品等， 要注意是放回抽 是不放回抽.2 射 ：若是一人 射 ，且限制在n次射 中 生k 次， 往往与二 分布 系起来；若是首次命中所需射 的次数， 它服从几何分布，若是多人射 ，一般利用相互独立事件同 生的概率 行 算.3 于有些 ，它的随机 量的 取与所 的关系不是很清楚，此 要仔 ，明确 中的含 ，恰当地 取随机 量，构造模型， 行求解.典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题 1．（ 2013天津）一个盒子里装有 7 卡片 , 其中有 色卡片 4 , 号分1,2,3,4 ；白色卡片 3 ,号分 2,3, 4 . 从盒子中任取 4 卡片 ( 假 取到任何一卡片的可能性相同 ). (Ⅰ ) 求取出的 4 卡片中 ,含有 号3 的卡片的概率 . ( Ⅱ ) 在取出的 4 卡片中 , 色卡片 号的最大X , 求随机 量 X 的分布列和数学期望 .`考点二由统计数据求离散型随机变量的分布列问题 2．2010（）某食品厂了一条自包装流水的生情况，随机抽取流水上的40 件品作本称出它的重量（位：克），重量的分区490,495 ，495,500 ，⋯，510,515 ，由此得到本的率分布直方，如所示.1根据率分布直方，求重量超505 克的品数量.2 在上述抽取的40 件品中任取2 件， Y 重量超 505 克的品数量，求 Y 的分布列.3 从流水上任取 5 件品，求恰有 2 件品合格的重量超 505克的概率.考点二两点分布问题 3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球. 当两球全为红色玻璃球时，记X 0 ；当两球不全为红色玻璃球时，记为X 1 .试求 X 的分布列.考点三超几何分布452问题 4．2012（）已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球的分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取( 无放回，且每球取到的机会均等) 3个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和．1求 X 的分布列； 2 求 X 的数学期望 EX ．走向高考：1.（ 2012 ）设为随机变量，从棱长为 1的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0 ；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1．1 求概率P(0) ；2 求的分布列，并求其数学期望E( ) ．2.（ 2013）设袋子中装有a个红球， b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.1 当a3, b 2, c 1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量为取出此 2 球所得分数之和，. 求分布列； 2 略3.（ 2011）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为2100 元.令 X`1 求 B 的分布列；2 求此员工月工资的期望.4.（ 2011）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和 5 件，测量产品中微量元素x, y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081`12已知甲厂生产的产品共 98 件，求乙厂生产的产品数量；当产品中的微量元素 x, y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75时，该产品为优等品， 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.5.（ 2013）某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1个球，根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1200元蓝二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖2 红 1蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 .`1 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望 E X.。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )A ．25B ．10C ．7D ．6答案 C解析 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．若随机变量X 的分布列为则当P (X <A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．3．[2018·邯郸模拟]从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.4．[2018·安庆一中模拟]离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<X <113等于( )A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55答案 B解析 由于0.20＋0.10＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1. 得0.x 5＋0.1y ＝0.4，于是两个数据x ＝2，y ＝5. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <113＝P (x ＝2)＋P (x ＝3)＝0.1＋0.25＝0.35. 5．一次骨干教师培训中，共邀请了15名教师，其中男、女教师使用教材情况如下表：X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，发言者中使用B 版教材的女教师至多1人，1，发言者中使用B 版教材的女教师为2人.则X 的分布列为( )答案 D解析 P (X ＝0)＝C 02C 213C 215＋C 12C 113C 215＝104105.P (X ＝1)＝C 22C 215＝1105.6．[2018·安康质检]设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)答案 512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.7．[2018·临汾联考]口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．答案解析 X 的取值为又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为8．盒中有91个零件，如果取出次品不再放回，则在取得正品前已取出次品数ξ的分布列为________．答案解析 ξξ＝k (k ＝0,1,2,3)表示取k ＋1次零件，前k 次取得的都是次品，第k ＋1次才取到正品．P (ξ＝0)＝C 19C 112＝34，P (ξ＝1)＝C 13C 112·C 19C 111＝944， P (ξ＝2)＝C 13C 112·C 12C 111·C 19C 110＝9220， P (ξ＝3)＝C 13C 112·C 12C 111·C 11C 110＝1220. 故ξ的分布列为9．[2018·按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列． 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－233＋C 23⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×727＝128135. (2)由题知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为10．[2018·重庆模拟]定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．解 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12，(k ＝1,2,3)(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式可得P (C )＝P (A 1)＋P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3，由独立性可知 P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1 B 1 A 2 B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19，综上可知，ξ的分布列为]1．[2018·淄博一中模拟]设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23答案 B解析 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．已知离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k15，k ＝1,2,3,4,5，令Y ＝2X －2，则P (Y >0)＝( )A.715B.815 C.1115 D.1415 答案 D解析 由已知Y 取值为0,2,4,6,8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515＝13.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.3．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案 310解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (ξ＝1)＝C 13C 24＋C 23C 12C 14C 24C 26＝715， 又P (ξ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－15－715－130＝310. 4．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23.⎝⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为5摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．解设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i(i＝0,1,2,3)与B j(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能的值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1105，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2105，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝12105＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X的分布列为。

数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知离散型随机变量X的分布列如右表，则常数q的值为（）A.−1B.1C.13D.122. (1)某机场候机室中一天的游客数量为ξ；(2)某寻呼台一天内收到的寻呼次数为ξ；(3)某水文站观察到一天中长江水位为ξ；(4)某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则（）不是离散型随机变量．A.(1)中的ξB.(2)中的ξC.(3)中的ξD.(4)中的ξ3.设随机变量X的概率分布列如下：则P(X<4)=( )A.0.15B.0.3C.0.65D.0.54. 已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（）A.1 4B.12C.34D.15. 随机变量X的分布列如下，则m等于（）A.1 3B.12C.16D.146. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3，则m的值是（）A.17 36B.2738C.1719D.27197. 随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k=1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于（）A.89B.23C.13D.298. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为．A.B.C.9. 已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（）A.a=0.3，b=0.2B.a=0.2，b=0.3C.a=0.4，b=0.1D.a=0.1，b=0.410. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(x)=()A.3 2B.2C.52D.311. 设随机变量X的概率分布列为则P(|X−3|=1)=()A.7 12B.512C.14D.1612. 备注：试题题型错误。

A.PB.13C.aD.b若E(X)=1，则E(aX+b)=13. 已知离散型随机变量X的分布列为14. 已知随机变量ξ的分布列为：则m=________．15.设离散型随机变量X的概率分布如下：则a的值为________．16. 已知随机变量X的分布列为：．17. 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：（1）试估计该市小微企业资金缺额的平均值；（2）某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研．设选取的4家小微企业中是B行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列．18. 某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响．3假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）(1)求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．20. 某市9月份空气质量为：9天良、12天轻度污染、6天中度污染、3天重度污染．若9月份的重度污染都发生在一个星期内，且这个星期只有一天是轻度污染，其余三天空气质量好坏是随机的，求评级为良的天数X的分布列．21. 将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．22. 某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，(I)记X为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X的分布列和数学期望；(II)随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．参考答案与试题解析数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的基本性质即可得出．【解答】解：由概率的规范性可得：12+q2+q2=1，化为2q2+q−1=0，又q≥0，解得q=12．故选D．2.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，分析题干的四个变量可得，(1)(2)(4)中的ξ，都可以一一列举，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；即可得答案．【解答】解：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出；分析题干的四个变量可得(1)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(2)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；(4)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；故选C．3.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：P(X<4)=0.3+0.2=0.5.4.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的性质，建立方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意，14+p+14=1∴p=12故选B．5.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】由概率和为1，求解得m=14．6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】先根据所给的随机变量ξ的分布列，写出各个变量对应的概率，然后根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于m的方程，解方程求得m 的值．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3∴P(ξ=1)=2m3，P(ξ=2)=4m9，P(ξ=3)=8m27，∵2m3+4m9+8m27=1，∴m=2738，故选B．7.【答案】C离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足 条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 【解答】解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴ P(ξ=k)=431k(1+k)∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ． 8.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】先计算P(x =0)，即从7个球中任意摸出两个球，取到两个白球的概率，利用古典概型概率的计算方法，先求总的基本事件数，再求所研究事件包含的基本事件数，即可得其概率，最后利用排除法即可得正确选项 【解答】解：从7个球中任意摸出两个球，共有c 72=21种取法摸出的俩个球都是白球，共有c 32=3种取法 故P(x =0)=321=17故选A 9. 【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】利用概率的和为1，以及期望求出a 、b ，即可． 【解答】解：由表格可知：0.4+a +b +0.1=1， 又EX =6，可得：2+6a +7b +0.8=6， 解得b =0.2，a =0.3， 故选：A ． 10.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】在离散型随机变量X的分布列中，随机变量各个取值的概率和等于1，本题可利用该性质求a，再利用期望计算公式求期望．【解答】解：因为a=1−35−110=310，所以E(x)=1×35+2×310+3×110=32，故选：A．11.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率分布的定义得出：13+m+14+16=1，求出m，得出分布列，判断P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)，求解即可．【解答】解：根据概率分布的定义得出：13+m+14+16=1．得m=14，随机变量X的概率分布列为∴P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)=512故选：B．12.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】本题考查期望的算法和超几何分布等．【解答】解：由题可得：E(x)=a+2b=1a+b=2 3∴ a=13b=13E(ax+b)=aE(x)+b=13×1+13=23故答案为23．故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】1−√2 2【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q的值．【解答】解：由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q=1+√22（舍去），或q=1−√22.故答案为：1−√22．14.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】欲求出m值，只要利用分布列的性质：概率之和为1，列式14+13+m+112=1，即可求得．【解答】解：由分布列性质得：1 4+13+m+112=1，∴m=13．故答案为：13．15.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：1 6+13+16+a=1，解得a=13．故答案为：13．16.【答案】512【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据随机变量取各个值的概率之和等于1，求得m的值，再根据本题即求X=3和X=4的概率之和，利用X的分布列求得X=3和X=4的概率之和．【解答】解：根据概率分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14．故有P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)=14+16=512，故答案为512．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）17.【答案】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C44C74=135，P(ξ=1)=C43C31C74=1235，P(ξ=2)=C42C32C74=1835，P(ξ=3)=C41C33C74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用统计表中的数据，结合平均数计算公式能求了该市小微企业资金缺额的平均值．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列．【解答】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x ¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 44C 74=135，P(ξ=1)=C 43C 31C 74=1235，P(ξ=2)=C 42C 32C 74=1835， P(ξ=3)=C 41C 33C 74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．18. 【答案】解 设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ∼B (5,23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X =2)=C 52×(23)2×(1−23)3=40243． 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i =1,2,3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6. P (ξ=0)=P (A 1¯A 2¯A 3¯)=(13)3=127；P(ξ=1)=P(A 1A 2¯A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2¯A 3)=23×(13)2+13×23×13+(13)2×23=29；P (ξ=2)=P (A 1A 2¯A 3)=23×13×23=427；P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3)=(23)2×13+13×(23)2=827； P (ξ=6)=P (A 1A 2A 3)=(23)3=827． 所以ξ的分布列是注意：解本题第（2）问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P =C 53(23)3×(13)2=80243这一错误结果．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略 19.【答案】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)， 则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150， P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:离散型随机变量及其分布列 【解析】（2）确定在3次游戏中获奖次数X 的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列． 【解答】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)，则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3， 又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150，P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:【答案】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】虽然是一共有30个各种天气可能结果，但由题意已经先把3种重度污染结果去掉，再去掉12种轻度污染结果，然后从剩下的15种天气结果随机选出三种，求选到的为“良”的可能数X 的分布列的问题，此时就剩15种天气结果，由研究的问题可以看成两种情况：9个“良”的可能，6个“非良”的可能，则借助于组合数公式，容易算出当良的个数分别为0，1，2，3时的概率，则分布列迎刃而解． 【解答】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．21.【答案】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3， P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】根据题意得到变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件根据等可能事件的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列． 【解答】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是22. 【答案】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35，….3 P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15，…5 P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120， (6)X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由等可能事件概率计算公式能求出数学合格率和物理合格率．(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，由此能求出这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率． 【解答】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35， (3)P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15， (5)P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120，…6 X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)。