2010中考数学试题分类汇编47 压轴题(04)及答案

合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（81-90题）答案【081】解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ···································································· 3分 （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5． 由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）．∴OQ ＝4t ． ······································································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ········································································ 5分 ②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ········································································ 6分 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ········································································ 6分 （3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ······················· 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt，∴t ＝732． ········································································································ 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484tt -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）． ······················································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34tt，∴t ＝2532． ········································································································ 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）． ···················································································· 10分综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532． ··························· 10分附加题：解：（1）8； ·················································································································· 5分 （2）2．················································································································ 10分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【082】（09上海）略【083】. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得a =，因此2y x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得因此直线AB 为y x =+ 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 【084】解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k . 在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB=，∴PB =∴8PO BO PB =-=，∴8)P -，∴8k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,8)， ∴k =8，∴当k8或k =8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.【085】解: (1)由题知: ⎩⎨⎧=+-=++033903b a b a ……………………………………1 分解得: ⎩⎨⎧-=-=21b a ……………………………………………………………2分∴ 所求抛物线解析式为: 322+=x －－x y ……………………………3分(2) 存在符合条件的点P , 其坐标为P (－1, 10)或P(－1,－ 10)或P (－1, 6) 或P (－1, 35)………………………………………………………7分 (3)解法①：过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-2a -2a ＋3 )( －3< a < 0 ) ∴EF =-2a -2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8 分∴S 四边形BOCE =21BF ·EF + 21(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ）……………………………9 分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网=2929232+--a a ………………………………………………………………………10 分 =－232)23(+a +863∴ 当a =－23时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 863．……………………………11 分此时，点E 坐标为 (－23，415)……………………………………………………12分解法②：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分则S 四边形BOCE =21(3 + y )·(－x ) + 21( 3 + x )·y ………………………………………9分 = 23( y －x )= 23(332+x －－x ) …………………………………10 分= －232)23(+x + 863∴ 当x =－23时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 863． …………………………11分此时，点E 坐标为 (－23，415) ……………………………………………………12分【086】⑴证明：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC=90o又∵EM ⊥BC ，BM 平分∠ABC ， ∴AM=ME ，∠AMN=EMN 又∵MN=MN ， ∴△ANM ≌△ENM⑵∵AB 2=A F ·AC ∴ABAF AC AB =又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网⑶由⑴得AN=EN ，AM=EM ，∠AMN=EMN ， 又∵AN ∥ME ，∴∠ANM=∠EMN ， ∴∠AMN=∠ANM ，∴AN=AM ， ∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN 是菱形 ∵cos ∠ABD=53，∠ADB=90o∴53=AB BD 设BD=3x ，则AB=5x ，，由勾股定理()()x x －x AD 43522==而AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15∵MB 平分∠AME ，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6∵ND ∥ME ，∴∠BND=∠BME ，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND ∽△BME ，则BEBD ME ND =设ME=x ，则ND=12-x ，15912=-x x ，解得x=215∴S=M E ·DE=215×6=45【087】（天门）略合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【088】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠．把(11)A ，，(31)B ，代入上式得： ································································································ 1分 11931a b a b =+⎧⎨=++⎩解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩··································································································· 3分 ∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+··················································································· 4分 法二：∵(11)A ，，(31)B ，，∴抛物线的对称轴是直线2x =．设抛物线解析式为2(2)y a x h =-+（0a ≠） ······································································ 1分把(00)O ，，(11)A ，代入得 220(02)1(12)a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ 解得1343a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩······················································································ 3分 ∴所求抛物线解析式为214(2)33y x x =--+． ····································································· 4分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网（2）分三种情况：①当02t <≤，重叠部分的面积是OPQ S △，过点A 作AF x ⊥轴于点F ， ∵(11)A ，，在Rt OAF △中，1AF OF ==，45AOF ∠=°在Rt OPQ △中，OP t =，45OPQ QOP ∠=∠=°，∴cos 452PQ OQ t ===°， ∴2211224S t ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． ····················································· 6分 ②当23t <≤，设PQ 交AB 于点G ，作GH x ⊥轴于点H 45OPQ QOP ∠=∠=°，则四边形OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是OAGP S 梯形． ∴2AG FH t ==-， ∴11()(2)1122S AG OP AF t t t =+=+-⨯=-． ············ 8分 ③当34t <<，设PQ 与AB 交于点M ，交BC 于点N ，重叠部分的面积是OAMNC S 五边形． 因为P N C △和BMN △都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是OA M NS 五边形B M NOA B C S S=-△梯形． ∵(31)B ，，OP t =， ∴3PC CN t ==-，∴1(3)4BM BN t t ==--=-，∴211(23)1(4)22S t =+⨯--2111422S t t =-+-． ······················································· 10分（3）存在 11t = ·················································································································· 12分 22t = ················································································································ 14分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【089】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ············································································································ 2分 点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入 2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ················································································ 4分 （2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ······················· 6分 连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··············································································· 8分 （3）点P 在抛物线上． ············································································································· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴直线DC 为：1y x =-+． ·································································································· 10分 过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，， ········································································································ 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ·············································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【090】（1）解：把A （1-，0），C （3，2-）代入抛物线 23y ax ax b =-+ 得⎩⎨⎧-=+-=+-⨯--2990)1(3)1(2b a a b a a ···························································································· 1分整理得 ⎩⎨⎧-==+204b b a ·················· ……………… 2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a ………………3分∴抛物线的解析式为 223212--=x x y ············································································ 4分（2）令0223212=--x x 解得 1214x x =-=，∴ B 点坐标为（4，0）又∵D 点坐标为（0，2-） ∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝82)35(21=⨯+ ································ 5分 设直线)0(1≠+=k kx y 与x 轴的交点为H ，与CD 的交点为T ，则H （k 1-，0）， T （k3-，2-） ····················· 6分∵直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分∴S 梯形AHTD ＝21S 梯形ABCD ＝４∴42)311(21=⨯-+-kk ·········································· 7分 ∴34-=k ···································································· 8分（3）∵MG ⊥x 轴于点G ，线段MG ︰AG ＝1︰2∴设M （m ，21+-m ）， (9)∵点M 在抛物线上 ∴22321212--=+-m m m 解得1231m m ==-，（舍去） ······························· 10分∴M 点坐标为（3，2-） ································································································ 11分 根据中心对称图形性质知，MQ ∥AF ，MQ ＝AF ，NQ ＝EF ，∴N 点坐标为（1，3-） ······························································································· 12分图(9) -2图(9) -1。

(第24题图)(第24题备用图)R 1(9, 3)R 2(3, 9)R 1(3, 3)AB CE F 0xy2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(六)24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系x O y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B 坐标为（6，6），抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 两点，且13-=-b a ．（1）求a ，b ，c 的值； （3分）（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A →B 、B →C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，EBF ∆的面积为S ．①试求出S 及t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（2分）②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3分）解：（1）由已知A （0，6）、B （6，6）在抛物线上，得方程组： ······1分 解得： ·············3分（2）①运动开始t 秒时，EB ＝t -6，BF ＝t ，S ＝tt t t BF EB 321)6(21212+-=-=⋅，··········4分 因为29)3(2132122+--=+-=t t t S ， 所以当3=t 时，S 有最大值29．··················5分②当S 取得最大值时，由①知3=t ，所以BF ＝3，CF ＝3，EB ＝6-3＝3． 若存在某点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则EB FR EB FR //11且=，即可得R 1为（9，3）、（3，3）；··················6分（第25题备用图）或者BF ER BF ER //22且=，可得R 2为（3，9）．·························7分再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R 1（9，3），使得四边形EBRF 为平行四边形．············8分25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．（1）在⊙O 1内任意作三条弦，其长分别是1l 、2l 、3l l l l （2）如图，在直角坐标系x O y 中，设⊙O 1的圆心为O 1(R ①当直线l ：)0(>+=b b x y 及⊙O 1相切时，求b ②当反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围． （3解：（1）证明：R l 21≤ ，R l 22≤，R l 23≤．1l ∴+2l +3l C R R =⨯<⨯≤223π，2分因此，1l +2l +3l < C ． (3)分（2）解：①如图，根据题意可知⊙O 1及及x 轴、y 轴分别相切，设直线l 及⊙O 1相切于点M ，则O 1M ⊥l ，过点O 1作直线NH ⊥x 轴，及l 交于点N ，及x 轴交于点H ，又∵直线l 及x 轴、y 轴分别交于点E （b -，0）、F （0，b ），∴OE ＝OF ＝b ，∴∠NEO ＝45o ，∴∠ENO 1＝45o ，在o ＝R 2，∴点N 的坐标为N （R ，R R +2把点N 坐标代入b x y +=得：b R R R +=+2，解得：b =②如图，设经过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D ，则由已知，直线OO 1：是圆及反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象及⊙O 1直径AD 相交时（点A 、D 除外），则反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点．过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ，过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C ，OO 1＝O 1C ÷sin45o ＝R 2，OA ＝R R +2，所以OB ＝AB ＝⋅OA sin45o ＝，因此点A 的坐标是A ，将点A 的坐标 代入，解得：．····················6分同理可求得点D 的坐标为D ，将点D 的坐标代入，解得： ······7分所以当反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点时，k 的取值范围是：22)223()223(R k R +<<-······················· 8分25．（湘西自治州 本题20分）如图，已知抛物线24y ax x c =-+经过点(0,6)A -和(3,9)B -，（1）求出抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P (m ，m) 及点Q 均在抛物线上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴 对称，求m 的值及点Q 的坐标;（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得△QMA 的周长最小.解：（1）依题意有 即 ……2分……4分∴抛物线的解析式为：246y x x =--……5分（2）把246y x x =--配方得，2(2)10y x =--∴对称轴方程为2x = ……7分顶点坐标(2,10)-……10分（3）由点(,)P m m 在抛物线上 有246m m m =--……12分即2560m m --=∴16m = 或21m =-（舍去） ……13分∴(6,6)P∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴2x =对称∴(2,6)Q -……15分（4）连接,AQ AP ，直线AP 及对称轴2x =相交于点M由于,P Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M ，能够使得△QAM 的2010年中考数学试题汇编——压轴题(06) 周长最小.……17分设直线PA 的解析式y kx b =+ ∴有∴∴直线PA 的解析式为：26y x =-……18分设点(2,)M n则有2262n =⨯-=-……19分此时点(2,2)M -能够使得△AMQ 的周长最小.……20分26．（湘潭市 本题满分10分）如图，直线6y x =-+及x 轴交于点A ，及y 轴交于点B ，以线段AB 为直径作⊙C ，抛物线c bx ax y ++=2过A 、C 、O 三点．(1) 求点C 的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B 作直线及x 轴交于点D ，且OB 2=OA·OD ，求证：DB 是⊙C 的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P ， 使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）A （6，0），B （0，6） ……………………1分 连结OC ,由于∠AOB =90o，C 为AB 的中点，则， 所以点O 在⊙C 上（没有说明不扣分）．过C 点作CE ⊥OA ，垂足为E ，则E 为OA 中点,故点C 的横坐标为3． 又点C 在直线y=－x+6上，故C （3，3） ……………………2分 抛物线过点O ，所以c=0,26题图又抛物线过点A 、C ，所以{3930366=+=+a b a b，解得：所以抛物线解析式为 …………………3分 （2）OA =OB =6代入OB 2=OA·OD ，得OD =6 ……………………4分 所以OD =OB =OA ，∠DBA =90o． ……………………5分 又点B 在圆上，故DB 为⊙C 的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P 满足题意．因C 为AB 中点,O 在圆上,故∠OCA=90o,要使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，则 ∠CAP =90o或 ∠COP =90o, ……………………7分 若∠CAP =90o,则OC ∥AP ，因OC 的方程为y =x ,设AP 方程为y =x +b ． 又AP 过点A （6，0），则b =－6, ……………………8分方程y =x －6及联立解得：{116x y ==，{2239x y =-=-，故点P 1坐标为（－3，－9） ……………………9分 若∠COP =90o,则OP ∥AC ，同理可求得点P 2（9，－9） (用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P 1坐标为（－3，－9）和P 2（9，－9）满足题意．…………10分28．(甘肃省 本小题满分12分)如图，抛物线及x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，及y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形及△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2， 解：由抛物线及y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分 把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得 解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分.（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分（3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），，P 2（9，0）.26．（桂林市本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，xy3=交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF及△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S及t的函数关系式；（3）设直线l及x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）C（4，……………………………2分t的取值范围是：0≤t≤4 ……………………………… 3分（2）∵D点的坐标是（t，+E的坐标是（t）∴DE=+=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：123t-∴当点F在BO边上时：123t-=t，∴t=3 ……………………5分当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分S=)23t+-备用图1= ………………………………8分当3≤t ≤4时，重叠部分为等边三角形S=1)(123)2t - ………………… 9分=2-+……………………10分（3）存在，P （247，0） ……………………12分说明：∵FO≥FP≥OP ≤4∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP ,若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =247，∴P （247，0）30. (江西省南昌市)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题． 实验及论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝α（α＜∠A 1A 0B 1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．图1 图2 图3 图4αθ4HB 2B 3A 3A 22A 2B 1A 1A 011（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在及直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳及猜想设正n 边形A 0A 1A 2…A n-1及正n 边形A 0B 1B 2…B n-1重合（其中，A 1及B 1重合），现将正n 边形A 0B 1B 2…B n-1绕顶点A 0逆时针旋转α（）．（3）设θn 及上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；（4）试猜想在正n 边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在及直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．解：（1）α-︒60， α， α-︒36. ····················································· 3分说明：每写对一个给1分.（2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明：选图1.图1中有直线H A o 垂直平分12B A ，证明如下：图1方法一： 证明：∵21A A A o ∆及210B B A ∆是全等的等边三角形， ∴1020B A A A =， ∴210120A B A B A A ∠=∠.又∵︒=∠=∠601020H B A H A A .∴ 2112A HB B HA ∠=∠. ∴HB H A 12=.∴点H 在线段12B A 的垂直平分线上.又∵1020B A A A =，∴点0A 在线段12B A 的垂直平分线上∴直线H A o 垂直平分12B A ···················································· 8分方法二： 证明：∵21A A A o ∆及210B B A ∆是全等的等边三角形，∴1020B A A A =， ∴210120A B A B A A ∠=∠. 又HB A H A A 1020∠=∠. ∴2112A B H B HA ∠=∠∴12HB HA =.在H A A 20∆及H B A 10∆中∵1020B A A A =，12HB HA =，H B A H A A 1020∠=∠ ∴H A A 20∆≌H B A 10∆.∴H A B H A A 0102∠=∠ ∴H A o 是等腰三角形102B A A 的顶角平分线.∴直线H A o 垂直平分12B A . ················································· 8分选图2.图2中有直线H A o 垂直平分22B A ，证明如下：图2∵2020A A B A =∴220220B A A A B A ∠=∠又∵︒=∠=∠45320120A A A B B A ，∴ 2222B HA A HB ∠=∠.∴22HA HB =.∴点H 在线段22B A 的垂直平分线上. 又∵2020A A B A =，∴点0A 在线段22B A 的垂直平分线上∴直线H A o 垂直平分22B A . ··································································· 8分说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.(3)当n 为奇数时，，当n 为偶数时，αθ=n ··························································· 10分（4）存在.当n 为奇数时，直线H A o 垂直平分2121-+n n B A ，当n 为偶数时，直线H A o 垂直平分22nn B A . ·································· 12分26．（山东省泰安市 本小题满分10分）如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 及BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线及AC 的延长线交于点F 。

2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评(全
国通用)
2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评
1.（2010 广东肇庆）已知二次函数的图象过点P（2，1）．
（1）求证：；
（2）求的最大值；
（3）若二次函数的图象与轴交于点A（，0）、B（，0），△ABP 的面积是，求的值．
【答案】（1）证明：将点P（2，1）代入得：（1 分）
整理得：（2 分）
（2）解：∵∴= （4 分）
∵-2?0 ∴当= -1 时，有最大值2；（5 分）
（3）解：由题意得：，
∴=︱-︱=，即︱-︱= （6 分）
亦即（7 分）
由根与系数关系得：，（8 分）
代入得：，
整理得：（9 分）
解得：，经检验均合题意．（10 分）
【点评】本题以二次函数为载体，重点考查根与系数关系及简单的代数证明，尤其第一问的证明很特别。

但难度低，区分度小。

2.（2010 广东广州）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B、C 不重合），。

2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）【001】如图，已知抛物线2(1)y a x=-+a≠0）经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．Array（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。

2010年中考数学压轴题100题精选（61-70题）答案【061】解（1）A （4-，0），B （0，3） ············································· 2分（每对一个给1分） （2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分． （注：画垂线PF 不用尺规作图的不扣分）（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x ，BD =3y -， ··············· 6分 PB =PF =y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 2PB =∴222BP PD BD =+，即223y x =+-即222(3)y x y =+-∴y 与x 的函数关系为y =（4）存在解法1：∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l ∴AB AF =，∵22225AB OA OB =+=，∴∵AF =4x + ， ∴22(4)5x +=，∴19x x ==-或 11分 把19x x ==-或代入21362y x =+，得5153y y ==或 ∴点P 的坐标为（1，53）或（-9，15）12分 【062】解：实践应用（1）2；l c．16；13．（2）54．拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了lc周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360=（周）．∴⊙O 共自转了（lc +1）周．（2）lc+1．【063】（1）① 对称轴422x =-=- ················································································ （2分） ② 当0y =时，有2430x x ++=，解之，得 11x =-，23x =-∴ 点A 的坐标为（3-，0）．············································································ （4分） （2）满足条件的点P 有3个，分别为（2-，3），（2，3），（4-，3-）． ········ （7分） （3）存在．当0x =时，2433y x x =++= ∴ 点C 的坐标为（0，3）∵ DE ∥y 轴，AO =3，EO =2，AE =1，CO =3∴ AED △∽AOC △ ∴ AE DE AO CO = 即 133DE= ∴ DE =1 ············· （9分） ∴ DEOC S =梯形1(13)22⨯+⨯=4 在OE 上找点F ，使OF =43，此时COF S =△14323⨯⨯=2，直线CF 把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ． ································································ （10分）设直线CM 的解析式为3y kx =+，它经过点403F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则4303k -+= · （11分） 解之，得 94k =∴ 直线CM 的解析式为 934y x =+ ······························ （12分） 【064】解：（1）抛物线2124y x x =--+与y∴B （0，2）∵22112(2)344y x x x =--+=-++ ∴A （—2（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，AB PB PA =-．当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PB PA -综合上述：PA PB AB -≤（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当PA —PB 最大时，点P 是所求的点 ······· 8分 作AH ⊥OP 于H ．∵BO ⊥OP ，∴△BOP ∽△AHP∴AH HPBO OP=由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P （4，0） 【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB ＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC ＝60º（已知） ∴∠BAC ＝180º－∠ACB －∠ABC ＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为4cm ．（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD ＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30º（已求）∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60º ∴∠D ＝180º－∠COD －∠OCD ＝ 30º∴OD ＝2OC ＝4cm ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ） ∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得：BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6 ∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．第28题图【066】（1）由112C ⎛⎫⎪⎝⎭，得(12)A ，，代入反比例函数my x=中，得2m = ∴反比例函数解析式为：2(0)y x x=> ·························································································· 2分 解方程组15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由15222x x -+=化简得：2540x x -+=(4)(1)0x x --=，1241x x ==，所以142B ⎛⎫⎪⎝⎭， ·········································································· 5分 （2）无论P 点在AB 之间怎样滑动，PMN △与CAB △总能相似．因为B C 、两点纵坐标相等，所以BC x ∥轴．又因为AC y ∥轴，所以CAB △为直角三角形．同时PMN △也是直角三角形，AC PM BC PN ∥，∥．∴PMN CAB △∽△．········································································································· 8分 （在理由中只要能说出BC x ∥轴，90ACB ∠=°即可得分．）【067】（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥ PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==，82t t ∴-=38t = 83t =∴当83t s =时，四边形PQCD 为平行四边形． ·········································································· 3分 （2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-BQBQEAB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=°AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=- ···························································· 5分 在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=，22212(223)(22)t t ∴+-=- 即：28881440t t -+=，211180t t -+=，(2)(9)0t t --=1229t t ∴==，，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒 而98t =>，9t ∴=（舍去），∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切． ··································· 8分【068】解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则13AB ====过Q 作，于H OA QH ⊥则QP === ····································································································· （2分） 要使四边形PABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去） ····························· （3分） （2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。

2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）． ······················· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ·································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875．（4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；2230.x y ，∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········· 13分如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．····························· 14分 由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；2214x y ，．∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，图14（2）图14（3） 图14（4）yxOBA DE 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2分） （2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ········································································· （6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ····································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEFS =⨯=．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-， ······························ 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． ··································· 5分 （2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····································································· 10分∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ······································································ 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形PEOF 是矩形． 作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，．在Rt P MC '△中，由勾股定理，223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =．∵CM P H P M PE '''=，∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=． ∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，． ·············································································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC =由三角形中位线定理，12845PN k P N k '====，∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-． 69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ····················· 14分 【054】（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ··································· （2分）（2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)． 当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ································ （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-． （8分）当3t =时，S 的最大值为2． ································【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；， BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； ·················································· 4（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ··························· 5分 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ···················································· 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ·········· 11分 ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ····················································· 13分221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； ······················································· 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ································ 16分 【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022．……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b :b ′=32． ②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x b c bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ），∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴AB 当点P 在OB 上运动时，t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=； 当点P 在BA 上运动时，作D P ⊥2有AB AP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在； 当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB ，∴∠P AB =45，过点P 作P E ⊥x 轴于E ， 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分 (3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC ，在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=，解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA 即2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分（2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN ＝ba【060】解：（1）根据题意，得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4） （2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+（3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +M B E AC ND F G 图（2） HM B E A C ND F G图（1）H第26题图。

2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 5160 题）答案2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 51-60 题）【051】如图 14（ 1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点 C（ 0，）．［图 14（ 2）、图 14（ 3）为解答备用图］（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的极点为 M ，求四边形 ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上能否存在一点 D ，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，恳求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因；（4）在抛物线角三角形．图上求点14（ 1）Q，使△BCQ是以 BC 为直角边的直图 14（ 2）图 14（3）【052】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的分析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为极点的三角形与以为极点的三角形相像，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（ 2）建立的条件下，抛物线上能否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，恳求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明原因．yxO【053】如下图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其极点为，连结，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连结．（1）求抛物线的分析式，并写出极点的坐标；（2）假如点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；12331DyCBAP2ExO （ 3）在（ 2）的条件下，当获得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连结，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点能否在该抛物线上．【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边 AD 在 y轴正半轴上，点 A 、 C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A → B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和．抛物线经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，交抛物线于点 R．设点 P 的运动时间为 t（秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求 t=1 和 t=4 时，点 Q 的坐标．（3）当 0＜≤ 5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如下图：抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的分析式；（3）在抛物线上能否还存在点（点除外），使仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点的坐标；若不存在，请说明原因． BACxy （ 0，2）（－ 1， 0）（第 25 题）【056】如图 18，抛物线 F：的极点为 P，抛物线：与 y 轴交于点 A ，与直线 OP 交于点 B．过点 P 作 PD⊥ x 轴于点 D ，平移抛物线 F 使其经过点 A 、D 获得抛物线 F′：，抛物线F′与 x 轴的另一个交点为C．⑴当 a = 1，b=－ 2，c = 3 时，求点 C 的坐标 (直接写出答案 )；⑵若 a、 b、c 知足了①求 b： b′的值；②研究四边形OABC 的形状，并说明原因．图18【057】直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→ → 以每秒1 个单位长度的速度运动，抵达点时运动停止．（1）直接写出、两点的坐标；（2）设点的运动时间为 (秒 )，的面积为，求与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在座标轴上能否存在点，使以、、、为极点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明原因．【058】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点 C．（1）求 A 、 B、 C 三点的坐标．（2）过点 A 作 AP ∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积．CPByA （3）在轴上方的抛物线上能否存在一点M ，过 M 作 MG 轴于点 G，使以 A 、M 、G 三点为极点的三角形与 PCA 相像．若存在，恳求出 M 点的坐标；不然，请说明原因．【059】如图（ 1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN的上方作正方形AEFG ．（1）连结 GD ，求证：△ ADG ≌△ ABE ；(4 分 )（2）连结 FC，察看并猜想∠ FCN 的度数，并说明原因； (4分)（3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD ，AB=a ，BC=b（ a、b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、 C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG ，使极点G 恰巧落在射线CD上．判断当点 E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小能否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示tan∠FCN 的值；若∠ FCN 的大小发生改变，请举例说明．(5 分 )图（ 2） MBEACDFG NNMBE CDFG图（ 1）【060】已知：如下图，对于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的分析式，并写出极点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的分析式； BAOCyx （第 26 题图）（ 3）在（ 2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．能否存在以为极点的平行四边形？假如存在，请直接写出点的坐标；假如不存在，请说明原因．2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 51-60 题）答案【051】解：（ 1），（ -1，0），B（3，0）． (3)分（2）如图 14（1），抛物线的极点为M （1，-4），连结 OM ．则△AOC 的面积 = ，△ MOC 的面积 = ，△ MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积 =△ AOC 的面积 +△ MOC 的面积+△ MOB 的面积=9．···················································6分图 14（ 2）说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转变为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和．（3）如图 14（ 2），设 D（ m，），连结OD ．则 0＜ m＜ 3，＜ 0．且△ AOC 的面积 = ，△ DOC 的面积= ，△DOB 的面积 =- （），∴四边形 ABDC 的面积 =△AOC 的面积 +△DOC 的面积 +△DOB的面积= =．图14（3）图 14（4）∴存在点D ，使四边形ABDC（4）有两种状况：的面积最大为．如图 14（ 3），过点 B 作 BQ1⊥ BC，交抛物线于点轴于点 E，连结 Q1C．∵ ∠ CBO=45 °，∴∠ EBO=45 °， BO=OE=3 ．∴点 E 的坐标为（ 0， 3）．∴直线 BE 的分析式为．···················· 12 分由解得∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．······Q1、交13 分y如图 14（ 4），过点 C 作 CF⊥ CB，交抛物线于点 Q2、交 x轴于点 F，连结 BQ2．∵ ∠ CBO=45 °，∴∠ CFB=45 °，OF=OC=3 ．∴点 F 的坐标为（ -3，0）．∴ 直线CF 的分析式为． (14)分由解得∴点 Q2 的坐标为（ 1，-4）．综上，在抛物线上存在点 Q1（-2 ，5）、 Q2（ 1，-4），使△ BCQ1 、△ BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形． yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2) 【 052】解：（1）依据题意，得解得．．（2分）（2）当时，得或，∵ ，当时，得，∴ ，∵点在第四象限，∴ ．······························（4 分）当时，得，∴ ，∵点在第四象限，∴ ．···················································（ 6 分）（3）假定抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，∴ ，∴（舍去），∴ ，∴ ．·······································································（9 分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，∴ ，∴ （舍去），，∴ ，∴ ．【053】解：（1）设，把代入，得， (2)分∴抛物线的分析式为：．极点的坐标为． (5)分（2）设直线分析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线分析式为．················· 7分，∴············ 9分．················································10 分∴当时，获得最大值，最大值为．·················································11 分 (E)12331DyCBAP2xOFMH （ 3）当获得最大值，，，∴ ．∴四边形是矩形．作点对于直线的对称点，连结．法一：过作轴于，交轴于点．设，则．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴ 坐标．············································································· 13 分法二：连结，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．易证．(E)12331DyCBAP2xOFMHNM∴ ．设，则．∴，．由三角形中位线定理，．∴ ，即．∴ 坐标． (13)分把坐标代入抛物线分析式，不建立，因此不在抛物线上．·············· 14 分【054】（1）由抛物线经过点 A(0 ， 1)，C(2， 4)，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：．························· （2分）（2）当时， P 点坐标为 (1，1)，∴ Q 点坐标为 (2， 0)．当时， P 点坐标为 (2， 3)，∴ Q 点坐标为 (5，0)．·······················（ 5 分）（3）当≤ 2 时，． S ．BADCOMNxyP1P2当≤ 5 时，．S．（8分）当时， S 的最大值为2．···················································（10 分）【055】（1）过点作轴，垂足为，；又，，点的坐标为； (4)分（2）抛物线经过点，则获得， (5)分解得，因此抛物线的分析式为；···································· 7 分（3）假定存在点，使得仍旧是以为直角边的等腰直角三角形：若以点直角点；延至点，使得，获得等腰直角三角形，····················· 8 分点作，；，可求得点；······· 11 分若以点直角点；点作，且使得，获得等腰直角三角形，··········· 12 分点作，同理可；····································· 13 分，可求得点；······································· 14 分，点与点都在抛物上．······················ 16 分【056】解：（ 1） C（ 3， 0）；（2）①抛物，令 =0， = ，∴A 点坐（ 0， c）．∵，∴ ，∴点 P的坐（）．∵PD⊥于 D ，∴点 D 的坐（）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分依据意，得 a=a′， c= c′，∴抛物 F′的分析式．又∵抛物 F′ 点 D（），∴．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ ．又∵，∴．∴ b:b′ = ．②由①得，抛物线F′为．令 y=0 ，则．∴ ．∵点 D 的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线 OP 的分析式为．∵点P的坐标为（），∴ ，∴，∴．∵点 B 是抛物线 F 与直线 OP 的交点，∴．∴．∵点 P 的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点 B 的坐标为．∴ BC∥ OA，AB∥ OC．（或BC∥ OA，BC =OA ），∴四边形 OABC 是平行四边形．又∵∠ AOC=90 °，∴四边形OABC 是矩形．【057】(1)(2)∵，，∴当点在上运动时，，；当点在上运动时，作于点，有∵ ，∴∴（3）当时，，，此时，过各极点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，因此点不存在；当，，，此，、【058】解：（ 1）令，得解得，令，得ECB yPA∴A B C ········· 3 分（2）∵ OA=OB=OC=∴ BAC= ACO= BCO=∵A P∥ CB，∴ PAB= ，点 P 作 PE 于 E，APE 等腰直角三角形令OE=，PE=∴ P∵点P 在抛物上∴解得，（不合意，舍去）∴PE= ······································· 4 分∴四形 ACBP 的面= AB?OC+AB?PE=····················· 5 分(3)．假存在∵PAB= BAC =∴PA AC∵MG于点G，∴MGA= PAC =在 Rt△ AOC中，OA=OC=∴ AC=，在Rt△ PAE中，AE=PE=∴ AP=·· 6 分GM CB yPA M点的横坐， M①点 M 在左，(ⅰ ) 当 AMG PCA ，有= ∵ AG= ，MG=即解得（舍去）（舍去）⋯⋯⋯7 分(ⅱ ) 当 MAG PCA 有= GM CB yPA 即，解得：（舍去）∴M··············································································· 8 分②点 M 在右，(ⅰ ) 当 AMG PCA 有=∵AG=， MG=∴解得（舍去）∴ M(ⅱ )当MAG PCA有=即解得：（舍去）∴ M∴存在点M ，使以 A 、M 、G 三点点的三角形与MBEACNDFG（1）H PCA 相像， M 点的坐【 059】解：（ 1）∵四形，，ABCD和四形AEFG是正方形∴A B=AD ， AE=AG ，∠ BAD ＝∠ EAG ＝ 90o ∴∠ BAE ＋∠ EAD ＝∠ DAG ＋∠ EAD∴∠ BAE ＝∠DAG∴△BAE ≌△ DAG （2）∠ FCN ＝ 45o ⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯ 5 分原因是：作FH ⊥MN于H∵∠ AEF ＝∠ ABE ＝ 90o∴∠ BAE + ∠ AEB ＝ 90o，∠ FEH+ ∠AEB ＝ 90o∴∠ FEH ＝∠ BAE又∵ AE=EF，∠ EHF＝∠ EBA ＝90o∴△ EFH ≌△ ABE⋯⋯⋯⋯7分∴F H ＝ BE， EH＝ AB ＝ BC ，∴ CH ＝BE＝ FH∵∠ FHC ＝ 90o，∴∠FCH ＝ 45o⋯⋯⋯⋯ 8 分MBEACNDFG（ 2）H（3）当点 E 由B 向C运，∠FCN的大小保持不，⋯⋯⋯⋯9 分原因是：作FH ⊥MN于H由已知可得∠ EAG ＝∠ BAD ＝∠ AEF ＝ 90o合（ 1）（ 2）得∠ FEH＝∠ BAE ＝∠ DAG又∵ G 在射 CD 上，∠ GDA ＝∠ EHF ＝∠ EBA ＝ 90o ∴△ EFH ≌△ GAD ，△ EFH ∽△ ABE⋯⋯11分∴E H＝ AD ＝BC ＝b，∴ CH＝ BE，∴＝＝∴在 Rt△ FEH 中， tan∠ FCN＝＝＝BAOCyx 第 26Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4 ∴当点 E 由 B 向 C 运，∠ FCN 的大小保持不， tan∠ FCN＝【060】解：（ 1）依据意，得，解得抛物的分析式，点坐是（ 2，4）（2），直的分析式直点点（3）存在．，，，。

2010年全国中考数学压轴题1.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是 AD 的中点，连结BD并延长交CE 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是△ACQ 的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG += ．2. 如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A, B,点A )4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作 正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N . ① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.3.如图，二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）二次函数的图象上是否存在点P ，使M A B P A BS S ∆∆=45,若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.4.已知：函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．A xyOB5.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.6.在直角梯形OABC 中，CB//OA ，∠COA=90︒，CB=3，OA=6，BA=3分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系。

2010年中考数学压轴题100题精选（81-90题）【081】如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_▲_，b ＝_▲_，c ＝_▲_； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．【082】（09上海）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对b=+（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．称，直线y x b（1）求b的值和点D的坐标；△是等腰三角形，求点P的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．【083】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【084】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P （0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？BAOyx【085】如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【086】如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分3，∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=5 AD=12．⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．【087】如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；(2)若S △APO ＝23，求矩形ABCD 的面积．【088】如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【089】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．【090】如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．y=kx +1图（9）-1图（9）-2。