天津市南开大学附中2021届高三数学上学期第二次月考试题含解析

2021年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设为虚数单位，则（）A． B． C． D．2、若集合P=，，则集合Q不可能．．．是（）＞3、命题“若，则”的逆否命题是（）A．“若，则”B．“若，则”C．“若x，则”D．“若，则”4、若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C． D．5、定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在区间上，下列函数中与的单调性不同的是（）A．B．C．D．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A． B．C． D．7．在等比数列中，已知，那么（）A．4 B．6 C．12 D．168.若△ABC的内角满足sin A＋cos A＞0，tan A-sin A＜0，则角A的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，π）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9. 不等式的解集是 .10. 的展开式中，的系数是（用数字作答）11. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是___________12. 已知函数是奇函数，则13. 点是圆外一点，则直线与该圆的位置关系是（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为和，它们的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，∠=∠, 则= 。

三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16（本小题满分12分）已知函数(1)求的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f a fππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求的值.17. （本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。

天津市南开区高三数学（理）第二次月考一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集U R =，{1,2,3,4}M =，{|1}N x x x R =≤+∈，则()U M N 等于（ ）A. {4}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}2. 若奇函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则满足()0xf x <的实数x 的取值范围是（ ）A. (3,0)(0,)-+∞B. (3,0)(0,3)-C. (,3)(3,)-∞-+∞D. (,3)(0,3)-∞-3. 函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.44. 已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为（ ）A. (,2)-∞B. (0,2)C. (1,2)D. (2,)+∞5. 若关于x 的方程227(13)20x k x k k -++--=的两个实根1x 、2x 满足12012x x <<<<，则实数k 适合的条件是 （ ）A. 21k -<<-B.34k <<C. 24k -<<D. 21k -<<-或34k <<6. 给出下列五个命题：① 若,0,0>>b a 则b a b a 22222+≥++；② 若1->≥b a ，则b b a a +≥+11；③ 若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤-；④ 若011<<b a ，则||||a b >；⑤ 若0a b >>，则2332ab b a ≥+。

其中假命题．．．的个数为（ ） A. 0个 B. 1 个 C. 2 个 D. 至少3个 7. 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：① s 是q 的充要条件；② p 是q 的充分不必要条件；③ r 是q 的必要而不充分条件；④ p ⌝是s ⌝的必要而不充分条件；⑤ r 是s 的充分而不必要条件，则正确命题序号是（ ）A. ①④⑤B. ①②④C. ②③⑤D. ②④⑤8. 设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，当32x -≤≤-时，()3x f x =，则（ ）A. 3()2f f f <<B. 3()2f f f <<C. 3()2f f f <<D. 3()2f f f <<10. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. )+∞B. [2)+∞，C. (0,2]D. [1][23]-，二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2021年高三上学期第二次月考数学试题含答案一、选择题：1．复数（）A．4﹣2i B．﹣4+2i C．2+4i D．2﹣4i2．若集合A={1，m2}，B={3，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=﹣11，a5+a9=﹣2，则当S n取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．65．已知抛物线y2=8x与双曲线﹣y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y=0 B．3x±5y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=06．定义=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=2sin（x﹣）B．y=2sin（x+）C．y=2cosx D．y=2sinx7．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n8．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）9．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[﹣1，0] D．[﹣1，2]10．若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1二、填空题：11．已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．12．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．已知P是直线3x+4y﹣10=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．15．设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是第2个字符是1，第4个字符为1，其它均为0的6位字符串010100，并规定空集表示为000000．若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从xx年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如表（单位：g/km）．甲80 110 120 140 150乙100 120 x 100 160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km．2016-12-27 高三数学（复读全） 1双考（1）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=﹣x（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．21．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，右焦点. （1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．立人中学第二次月考试题数学试题参考答案一、选择题：1～5 B A C C A 6～10 D C C D A二、填空题：11．；12．﹣2；13．2π；14．2；15．4．15【解答】解：若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故答案为：4．三、解答题：16．【解答】解：（1）由==120得，x=120；==120；S2甲= [（80﹣120）2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2]=600；S2乙= [（100﹣120）2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2]=480；因为S2甲＞S2乙；故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有=10种情况，至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的情况有×+1=7种，故至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是．17．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=…∴，∴y=f（﹣3x）+1的最小正周期为…由得：，k∈Z，∴y=f（﹣3x）+1的单调递减区间是，k∈Z…（Ⅱ）∵，∴，∴…∵，∴．由正弦定理得：，即，∴b+c=13…由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40 (1)∴…18．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，∴BG ⊥面ADC ． …∵EF ∥BG∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …解：（Ⅲ）方法一：连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…方法二：取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO 为V A ﹣BCDE 的高，，∴．19．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n ====，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=． ∴T n ＜．20．【解答】解：（1）函数f （x ）=2（a +1）lnx ﹣ax 的定义域是（0，+∞）， ∴=，∵函数f （x ）在定义域内为单调函数，∴f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，则﹣ax +2（a +1）≥0或﹣ax +2（a +1）≤0在（0，+∞）上恒成立， ①当a=0时，则有2≥0恒成立，函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数； ②当a ＞0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为减函数，∴只要2（a +1）≤0，即a ≤﹣1时满足f ′（x ）≤0成立，此时a 无解； ③当a ＜0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为增函数，∴只要2（a +1）≥0，即a ≥﹣1时满足f ′（x ）≥0成立，此时﹣1≤a ＜0； 综上可得，实数a 的取值范围是[﹣1，0]；证明：（2）g （x ）=﹣x=在（1，+∞）单调递增，∵x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＞x 2，∴g （x 1）＞g （x 2），∴等价于f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣g （x 1）+g （x 2），则f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2），设h （x ）=f （x ）+g （x ）=2（a +1）lnx ﹣（a +1）x +，则h ′（x ）==，2016-12-27 高三数学（复读全） 2双 考∵﹣1＜a ＜7，∴a +1＞0，∴2=2，当且仅当时取等号，∴h ′（x ）≥2﹣（a +1）=，∵﹣1＜a ＜7，∴＞0，即h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递增，满足f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2）， 即若﹣1＜a ＜7，则对于任意x 1，x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，有＞﹣1成立．21.解：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即， ∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴2202222200(33)123(1)(1)(3)334x k k x k x k +==+++---， ∴．综上：．%Sg31436 7ACC 竌40450 9E02 鸂23930 5D7A 嵺31351 7A77 穷 @ hG36878 900E 逎H22228 56D4 囔。

南开中学2021届高三上第二次月考数学试题〔理科〕一、选择题〔本大题一一共8小题，一共分〕1.R为实数集，，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：交、并、补集的混合运算．分析：集合M为二次不等式的解集，集合N为函数的定义域，分别求出，再进展集合的运算．解：M={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|y=}={x|x≥1}，那么C1N={x|x＜1}，所以M∩〔C1N〕={x|0＜x＜1}应选A满足，那么目的函数的最大值为〔〕A. -4B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析:作出可行域如下图：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，获得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，应选C．考点：线性规划．【此处有视频，请去附件查看】3.q是等比数列的公比，那么“〞是“数列是递增数列〞的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质，举特例可得出选项．【详解】q是等比数列{a n}的公比，当a1＝1，q＝﹣1，那么数列为摆动数列，即数列{a n}不是递增数列，当数列{a n}是递增数列，不妨取：a n＝2n，那么a1＝2，q＝2，不满足a1〔1﹣q〕＞0，故“a1〔1﹣q〕＞0”是“数列{a n}是递增数列〞的既不充分也不必要条件，应选：D．【点睛】此题考察了充分必要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于简单题．4.，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数式的运算性质比拟a与b的大小，再比拟b，c与2的大小关系得答案．【详解】∵a＝log23＜2，b＝log46，c，∴c＞a＞b．应选：C．【点睛】此题考察对数值的大小比拟，考察对数函数与指数函数的性质，是根底题．〔是常数，〕，且函数的局部图象如下图，那么有〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】借助题设中的图像可得，所以，那么，所以，即，那么，所以，容易算得，，应选答案D。

天津市新华中学2021-2021学年度第一学期第二次月考高三年级数学试卷〔理〕一、选择题〔每题5分，共60分〕 1. 复数ii ）（43212-+的值是A. -1B. 1C. –ID. i2. 等差数列{a n }中，如果a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，数列{a n }前9项的和为 A. 297 B. 144 C. 99 D. 663. 设动点P 〔x ，y 〕满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，那么z=5x+2y 最大值是A. 50B. 60C. 70D. 1004. a =〔-3，2〕，b =〔-1，0〕，向量a λ+b 与a -2b 垂直，那么实数λ的值为A. -71B. 71C. -61D. 615. 设集合A={x||x-a<1，x ∈Ｒ}，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，假设A ⋂B=φ，那么实数a 的取值范围是A. {a|0≤a ≤6}B. {a|a ≤2，或a ≥4}C. {a|a ≤0，或a ≥6}D. {a|2≤a ≤4}6. 函数y=lncosx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx 的图象是7. 以下有关命题的表达，错误的个数为①假设p ∨q 为真命题，那么p ∧q 为真命题。

②“x>5〞是“x 2-4x-5>0〞的充分不必要条件。

③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1<0，那么⌝p :∀x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1≥0。

④命题“假设x 2-3x+2=0，那么x=1或x=2〞的逆否命题为“假设x ≠1或x ≠2，那么x 2-3x+2≠0〞。

A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 把函数y=sin(2x+4π)的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，那么所得图象对应的函数解析式是A. y=sin 〔4x+83π〕 B. y=sin 〔4x+8π〕 C. y=sin4x D. y=sinx9. 设a=log 54,b=(log 53) 2,c=log 45，那么 A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c10. 正项等比数列{a n }满足：a 7= a 6+2 a 5假设存在两项a m ，a n 使得n m a a =4 a 1，那么nm 41+的最小值为 A. 23 B. 35C. 625D. 不存在11. 偶函数f 〔x 〕满足f 〔x+1〕=f 〔x-1〕，且在x ∈[0，1]时，f 〔x 〕=x 2，那么关于x 的方程f 〔x 〕=x⎪⎭⎫⎝⎛101在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3100，上根的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个12. 函数f 〔x 〕〔x ∈Ｒ〕满足f 〔1〕=1，且f 〔x 〕的导函数f ′〔x 〕<2x +21的解集为A. {x|-1<x<1}B. {x|x<-1}C. {x|x<-1或x>1}D. {x|x>1}二、填空题〔每题4分，共24分〕13. 假设向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2且a 与b 的夹角为3π，那么|a +b |=________。

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

天津市南开区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数=( )A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是( )A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．144．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣15．如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则推断框内可以填入( )A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？6．已知双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )A ．B ．C ．D ．8．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC 边的三等分点，则•=( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m 的概率为，则m=__________．10．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|（x﹣1）2≤4}，则A∩B=__________．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________m3．12．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为__________．13．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=__________．14．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为__________．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（Ⅰ）用卡片上的数字列出全部可能的结果；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B ，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．18．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．19．在等比数列{a n}中，已知a 1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n=，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．20．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．天津市南开区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，则复数=( )A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是( )A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规章写出其否定，对比选项即可得出正确选项解答：解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．点评：本题考查命题否定，解题的关键是娴熟把握全称命题的否定的书写规章，本题易由于没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要留意精确把握规律．3．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．14考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．解答：解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．点评：本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣1考点：函数奇偶性的推断．专题：函数的性质及应用．分析：先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，从而依据奇函数、偶函数的定义作出推断．解答：解：对于函数f（x）=﹣|x|，由于f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），它的定义域为（﹣1，1），且满足f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．对于函数f（x）=2x+2﹣x，由于f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于函数f（x）=x3﹣1，由于f（﹣x）=﹣x3﹣1≠﹣f（x），故不是奇函数，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性的推断方法，先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，属于中档题．5．如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则推断框内可以填入( )A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当K=64时，由题意，此时应当不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64，结合选项可知，推断框内可以填入k＜70？解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，K=2，满足条件，S=2，K=4满足条件，S=2×4，K=8满足条件，S=2×4×8，K=16满足条件，S=2×4×8×32，K=32满足条件，S=2×4×8×32×64，K=64由题意，此时应当不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64，结合选项可知，推断框内可以填入k＜70？故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，当K=64时，由题意结合选项推断退出循环的条件是解题的关键，属于基本学问的考查．6．已知双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为( )A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查同学的计算力量，属于基础题．7．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )A ．B ．C ．D ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：先依据函数的最小正周期为π求出ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案．解答：解：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D点评：本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．8．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC 边的三等分点，则•=( )A ．B ．C ．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题；平面对量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的学问，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面对量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算力量，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m 的概率为，则m=3．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解答：解：如图区间长度是6，区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．点评：本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．10．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|（x﹣1）2≤4}，则A∩B=（﹣，3]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x|（x﹣1）2≤4}={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={x|﹣＜x≤3}=（﹣，3]；故答案为：（﹣，3]点评：本题主要考查集合的基本运算，依据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图推断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m 3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，推断三视图复原的几何体的外形是解题的关键，考查空间想象力量与计算力量．12．已知圆x2+y 2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．13．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=．考点：与圆有关的比例线段；相像三角形的判定．专题：立体几何．分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．解答：解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC=2x，则（2x）2=x•（x+2），则．故答案为：．点评：本题考查三角形的全等与相像，考查规律推理力量．14．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为（2π，2022π）．考点：分段函数的应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：如图所示，不妨设a＜b＜c，由于f（a）=f（b）=f（c），可得0＜a＜b＜π＜c＜2021π，a+b=π，即可得出．解答：解：如图所示，当x∈时，f（x）=sinx．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）=f（b）=f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2021π，a+b=π，∴2π＜a+b+c＜2022π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2022π）．故答案为：（2π，2022π）．点评：本题考查了三角函数与对数函数的图象与性质、函数图象的交点，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（Ⅰ）用卡片上的数字列出全部可能的结果；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）全部的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可；（Ⅱ），而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅲ）全部的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）全部的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为大事A，则大事A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅲ）设“抽取的卡片上的数字a，b ，c不完全相同”为大事B，则大事包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P （）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c 不完全相同”的概率为．点评：本题主要考查相互独立大事的概率乘法公式的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B ，C 的对边分别是a，b ，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正切函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x﹣）+1+，由此求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，可得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（B）的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x=1+sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+1+=2sin（2x﹣）+1+，故函数f（x）的最小正周期为=π．（Ⅱ）在△ABC中，∵2acosC+c=2b，∴2a•+c=2b，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=．∴0＜B＜，﹣＜2B﹣＜π，∴sin（2B﹣）∈（﹣，1]，可得f（B）∈，即f （x ）的值域为．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）欲证PA∥平面BDE，依据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内始终线平行，设AC∩BD=H，连接EH，依据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，依据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．解答：解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，由于AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：由于PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD 所成的角的正切值为．点评：本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础学问，考查空间想象力量、运算力量和推理力量．18．如图所示，椭圆C ：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B 的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：椭圆的简洁性质．专题：计算题；平面对量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的学问，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答：解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II ）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又由于，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算力量，属于中档题．19．在等比数列{a n}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n =，求证：数列{b n}的前n项和T n ＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2，a1+a3，a4成等差数列及a1=2，计算即得结论；（Ⅱ）通过S n=（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）可得b n的表达式，分别分母、并项相加即得结论．解答：（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）=a2+a4，即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得q=2，又∵a1=2，∴a n=a1q n﹣1=2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S n=（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）=（4+42+43+…+4n）﹣（2+22+23+…+2n）=﹣=（2n﹣1）（2n+1﹣1），∴b n ==（﹣），∴T n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=（1﹣）＜．点评：本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，留意解题方法的积累，属于中档题．20．设函数f（x）=lnx ﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；根的存在性及根的个数推断；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k ≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx 有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=b=时，f（x）=lnx ﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x ﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，由于方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴，设g（x）=，则g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本学问，同时考查运用导数争辩函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．。