江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷(参考答案)

南通市高三数学试卷 第页(共6页)南通市2010届高三第三次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2010．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 有一容量为10的样本：2,4,7,6,5,9,7,10,3,8，则数据落在[5.5,7.5)内的频率为________． 2. 已知直线l 、m 、n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m ，且l ⊥n ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)．3. 已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R )，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．(第7题)4. 在区间[0,1]上任取两个数a 、b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， x ≥0，log 2(－x )，x ＜0，则f ⎝⎛⎭⎫2f ⎝⎛⎭⎫3π4＝____________. 6. 在区间[－a ，a ](a ＞0)内不间断的偶函数f (x )满足f (0)·f (a )＜0，且f (x )在区间[0，a ]上是单调函数，则函数y ＝f (x )在区间(－a ，a )内零点的个数是________．7. 执行如右图所示的程序框图后，输出的结果是__________．8. 不等式x ＜2x－1的解集是________．9. 如图，点A 、B 在函数y ＝tan(π4x －π2)的图象上，则直线AB 的方程为____________．(第9题)10. 双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是__________．11. 已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6＜－1，则数列{|a n |}的最小项是第________项．12. 在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 13. 已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＞x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．14. 数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，若数列{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn＋φ)＋B 的通项公式，其中A 、B 、ω、φ均为实数，且A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则a n ＝________.(只要写出一个通项公式即可)二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量m ＝(sin A ，12)与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角．(1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．16. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1) 求证：AE ∥平面BDF ； (2) 求三棱锥D —ACE 的体积．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c.两个约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．(1) 如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2) 颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．设数列{a n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S n是其前n项和．(1) 证明S n·S n＋2＜S n＋1；(2) 设b n＝415a n＋3＋45a n＋1＋25a n，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较q2Sn和T n的大小．已知函数f(x)＝x2－2a cos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a＞0)．(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若k＝2 010，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值.南通数学附加题试卷 第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4小题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，CO ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交AB 于点E .求证：DE 2＝DB ·DA .B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)设a 1、a 2、a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.必做题，本小题10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使AP＝14，并求出二面角P－AB－A1的平面角的余弦值．必做题，本小题10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝ln2(1＋x)－x21＋x，g(x)＝2(1＋x)ln(1＋x)－x2－2x.(1) 证明：当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0；(2) 求函数f(x)的极值．南通市高三数学参考答案 第页(共4页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 0.32. 充分不必要3. －24. 125. 16. 27. 38. {x |x ＜－2或0＜x ＜1}9. x －y －2＝0 10. (8，±33) 11. 6 12. －8 13. (－12，－15) 14. 3sin(2π3n －π3)＋1215. 解：(1) 因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.(2分)所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，(3分)即sin(2A －π6)＝1.(4分)因为A ∈(0，π), 所以2A －π6∈(－π6，11π6)．(5分)故2A －π6＝π2，A ＝π3.(7分)(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc .(8分)又S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，(9分)而b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ＋4≥2bc ⇒bc ≤4，(当且仅当b ＝c 时等号成立)(11分)所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.(12分)当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c .又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．(14分)16. (1) 证明：设AC ∩BD ＝G ，连结GF .因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE . 因为BE ＝BC ，所以F 为EC 的中点．(3分)在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，所以GF ∥AE .(5分) 因为AE ⊄面BFD ，GF ⊂面BFD ，所以AE ∥面BFD .(7分) (2) 解：取AB 中点O ，连结OE .因为AE ＝EB ，所以OE ⊥AB . 因为AD ⊥面ABE ，OE ⊂面ABE ，所以OE ⊥AD ， 所以OE ⊥面ADC .(9分)因为BF ⊥面ACE ，AE ⊂面ACE ，所以BF ⊥AE . 因为CB ⊥面ABE ，AE ⊂面ABE ，所以AE ⊥BC . 又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE .(11分)又BE ⊂面BCE ，所以AE ⊥EB .所以AB ＝AE 2＋BE 2＝22，OE ＝12AB ＝ 2.(12分)故三棱锥E —ADC 的体积为V D —AEC ＝V E —ADC ＝13S △ADC ·OE ＝13×12×2×22×2＝43.(14分)17. 解：记A 与a 比赛为(A ，a )，其他同理． (1) (方法1)齐王与田忌赛马，有如下6种情况： (A ，a )，(B ，b )，(C ，c )；(A ，a )，(B ，c )，(C ，b )； (A ，b )，(B ，c )，(C ，a )；(A ，b )，(B ，a )，(C ，c )；(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )；(A ，c )，(B ，b )，(C ，a )．(2分)其中田忌获胜的只有一种：(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )．(4分)故田忌获胜的概率为P ＝16.(7分)(方法2)齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B C a b c a c b b a c b c a c a bc b a (2分)其中田忌获胜的只有一种：(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )．(4分)若齐王出马顺序还有ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA 等五种；每种田忌有一种可以获胜．故田忌获胜的概率为P ＝66×6＝16.(7分)(2) 已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c .(9分)后两场有两种情形：① 若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：(B ，a )，(C ，b )或(B ，b )，(C ，a )．田忌获胜的概率为12.(11分)② 若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：(C ，a )，(B ，b )或(C ，b )，(B ，a )．田忌获胜的概率也为12.(13分)所以，田忌按cab 或cba 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12.(14分)答：(1) 田忌获胜的概率16.(2) 田忌按cab 或cba 的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为12.(15分)18. 解：(1) (3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0⇔(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，(1分)解⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0，得F (3，0)．(3分) 设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则由题设，知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b 2＝1.(5分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点， 所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.(8分)因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1，且－2≤m ≤2.所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]．(10分)于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ，(12分) 圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n 2≥2＞r .(14分)故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．(15分)19. 证明：(1) 由题设知a 1>0，q >0.(1分)① 当q ＝1时，S n ＝na 1，于是S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21＝－a 21＜0.(3分)② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，于是S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝a 21(1－q n )(1－q n ＋2)(1－q )2－a 21(1－q n ＋1)2(1－q )2＝－a 21q n＜0.(7分) 由①和②，得S n ·S n ＋2－S 2n ＋1<0.所以S n ·S n ＋2<S 2n ＋1，S n ·S n ＋2＜S n ＋1.(8分) (2) 方法一：b n ＝415a n ＋3＋45a n ＋1＋25a n ＝415a n q 3＋45a n q ＋25a n ，(11分)T n ＝＝(415a k q 3＋45a k q ＋25a k )＝415q 3S n ＋45qS n ＋25S n ， T n －q 2S n ＝S n15(4q 3－15q 2＋12q ＋6)(13分)＝S n15[4q (q －2)2＋(q －2)2＋2]≥2>0，(15分) 所以T n >q 2S .(16分)方法二：T n ＝＝(415a k q 3＋45a k q ＋25a k )＝415q 3S n ＋45qS n ＋25S n ，(11分) 由T n q 2S n ＝415q ＋45q ＋25，(13分) 因为q ＞0，所以415q ＋45q ≥2415·45＝8153(当且仅当415q ＝45q，即q ＝3时取“＝”)．因为8153＋25＝6＋8315＞1，所以T nq 2S n＞1，即T n >q 2S n .(16分)20. 解：(1) 由已知得x ＞0且f ′(x )＝2x －(－1)k ·2ax.当k 是奇数时，f ′(x )＞0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3分)当k 是偶数时，则f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x ＋a )(x －a )x.(5分)所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞) 时，f ′(x )＞0.故当k 是偶数时，f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．(7分) (2) 若k ＝2 010，则f (x )＝x 2－2a ln x (k ∈N *)．记g (x )＝f (x )－2ax ＝x 2－2ax ln x －2ax ，g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )，若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解；(9分) 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a ＞0，x ＞0，所以x 1＝a －a 2＋4a 2＜0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.(11分)当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，x 2)上是单调递减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)．(12分) 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，(13分) 两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)．(14分)设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.(16分)南通市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：连结OF .因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°. 所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC .因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°.(5分) 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE . 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA .所以DE 2＝DB ·DA .(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，(3分)由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.(6分)将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0.可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．(8分)将λ2＝3代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0.可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：(1) 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.(2分) 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(4分)(2) 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)．(6分)令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.(8分) 所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为(1a 1＋1a 2＋1a 3)·m ＝(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥33a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立．(8分)又因为m ＝a 1＋a 2＋a 3＞0，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.(10分)22. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0,4,2)，AA 1→＝(0,2,2)， BC →＝B 1C 1→＝(2，－2,0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→||BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(4分)(2)设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P (2λ，4－2λ，2)．于是AP ＝4λ2＋(4－2λ)2＋4＝14⇒λ＝12(λ＝32舍去)，则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P (1,3,2)．(6分) 设平面P —AB —A 1的法向量为n 1 ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1 ·AP →＝0，n 1 ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝0，2y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2z ，y ＝0. 故n 1＝(－2,0,1)．(8分)而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－25＝－255，故二面角P —AB —A 1的平面角的余弦值是255.(10分)23. (1) 证明：g (x )＝2(1＋x )ln(1＋x )－x 2－2x ，则g ′(x )＝2ln(1＋x )－2x .令h (x )＝2ln(1＋x )－2x ，则h ′(x )＝21＋x －2＝－2x 1＋x.(1分)当－1＜x ＜0时，h ′(x )＞0，h (x )在(－1,0)上为增函数． 当x ＞0时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，＋∞)上为减函数．(3分)所以h (x )在x ＝0处取得极大值，而h (0)＝0，所以g ′(x )＜0(x ≠0)， 函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．(4分) 当x ＞0时，g (x )＜g (0)＝0.(5分)(2) 解：函数f (x )的定义域是(－1，＋∞)，f ′(x )＝2ln (1＋x )1＋x －x 2＋2x (1＋x )2＝2(1＋x )ln (1＋x )－x 2－2x(1＋x )2，(6分)由(1)知，当－1＜x ＜0时，g (x )＝2(1＋x )ln(1＋x )－x 2－2x ＞g (0)＝0， 当x ＞0时，g (x )＜g (0)＝0，所以，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1,0)上为增函数． 当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数．(8分)故函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 故x ＝0时f (x )有极大值0.(10分)。

2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x >0}，则C ∪A 等于________．2. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为________．3. 设向量a →=(1,2),b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________．4. 已知等比数列{a n }中，a 3⋅a 9=2a 52，则公比q =________．5. 某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．6. 若f(x)=−12x 2+bln(x +2)在(−1, +∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知双曲线的两个焦点为椭圆x 216+y 27=1的长轴的端点，其准线过椭圆的焦点，则该双曲线的离心率为________．9. 设A:x(x −1)<0，B:0<x <m 若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 取值范围为________．10. 过点A(4, −1)与圆(x +1)2+(y −3)2=5切于点B(1, 2)的圆的方程为________．11. 已知非负实数x 、y 同时满足2x +y −4≤0，x +y −1≥0，则z =x 2+(y +2)2的最小值是________．12. 甲打靶射击，有4发子弹．甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，则第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率为________．（忽略弹孔大小）．13. 已知函数f(x)=sinx +tanx ．项数为2009的等差数列{a n }满足a n ∈(−π2,π2)，且公差d ≠0．若f(a 1)+f(a 2)+...+f(a 2008)+f(a 2009)=0，则当k =________时f(a k )=0．14. 当n 为正整数时，函数N(n)表示n 的最大奇因数，如N(3)=3，N(10)=5，…，设S n =N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+...+N(2n −1)+N(2n )，则S n =________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积．16. 设向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，若f(x)=m→⋅n→求：（1）f(x)的单调递增区间（2）若θ∈(−3π2，−π)，且f(θ)=1，求sin(θ+5π12)的值．17. 已知圆O:x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为√22的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为(1, 1)，求证：直线PQ与圆O相切；（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．18. 如图，直线y=−12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式．（2）若正方形以每秒√5个单位长度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．19. 一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．20. 已知函数f(x)=a|x|+2，(a>0,a≠1)a x（1）a>1，解关于x的方程f(x)=3．（2）记函数g(x)=f(−x)，x∈[−2, +∞)，若g(x)的最值与a无关，求a的取值范围．21. 设M是把坐标平面上的点P(1, 1)，Q(2, −1)分别变换成点P1(2, 3)，Q1(4, −3)，求矩阵M．22. 如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1−DE−B的大小．23. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中，每次命中与否互相独立．的概率都是23（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷答案1. {x|0≤x≤2}2. 12π3. 24. ±√25. 8006. b≤−17. √28. 2√339. m>110. (x−3)2+(y−1)2=511. 9212. 1−π1213. 100514. 4n+2315. 证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC，P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45∘．同理可证∠APD=45∘．所以∠DPC=90∘，即PC⊥PD．又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE．因为DE∩PD=D，所以PC⊥PDE．又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE；解：（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE // CF．又DC⊥CF，所以S△CEF=12DC⋅CF=12×4a×2a=4a2．在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ // BC，PQ=BC=2a．因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a.V PCEF=V P−CEF=13PQ⋅S△CEF=13⋅4a2⋅2a=83a3．（注：本题亦可利用V P−CEF=V B−CEF=V E−BCF=V D−BCF=16DC⋅BC⋅CF=83a3求得）16. 解：（1）∵ 向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，∴ f(x)=m→⋅n→=cosx(2√2+sinx)+sinx(2√2−cosx)=2√2cosx+cosxsinx+2√2sinx−sinxcosx=2√2(cosx+sinx)∴ f(x)=4sin(x+π4)，∴ x+π4∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]∴ 单调增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4](k∈z)（2）∵ θ∈(−3π2，−π)，∴ f(θ)=4sin(θ+π4)=1∴ sin(θ+π4)=14∵ θ+π4∈(−5π4，−3π4)∴ cos(θ+π4)=−√154∴ sin(θ+5π12)=sin[(θ+π4)+π6]=sin(θ+π4)cos π6+sin(θ+π4)sin π6， ∴ sin(θ+5π12)=√3−√158． 17. 解：（1）因为a =√2，e =√22，所以c =1 则b =1，即椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1（2）因为P(1, 1)，所以k PF =12，所以k OQ =−2，所以直线OQ 的方程为y =−2x又椭圆的左准线方程为x =−2，所以点Q(−2, 4)所以k PQ =−1，又k OP =1，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切证明：设P(x 0, y 0)(x 0≠±√2)，则y 02=2−x 02， 所以k PF =y 0x 0+1，k OQ =−x 0+1y 0，所以直线OQ 的方程为y =−x 0+1y 0x 所以点Q(−2, 2x 0+2y 0) 所以k PQ =y 0−2x 0+2y 0x 0+2=y 02−(2x 0+2)(x 0+2)y 0=−x 02−2x 0(x 0+2)y 0=−x 0y 0， 又k OP =y 0x 0，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切18. 解：（1）（2）设抛物线为y =ax 2+bx +c ，抛物线过(0, 1)(3, 2)(1, 3)，∴ {c =1a +b +c =39a +3b +c =2解得{a =−56b =176c =1∴ 抛物线方程为y =−56x 2+176x +1，．（2）①当点A 运动到点F 时，t =1，当0<t ≤1时，∵ ∠OFA =∠GFB′，tan∠OFA =OA OF =12，∴ tan∠GFB′=GB′FB′=√5t =12，∴ GB′=√52t∴ S△FB′G=12FB′×GB′=12×√5t×√5t2=54t2；②当点C运动到x轴上时，t=2，当1<t≤2时，A′B′=AB=√22+12=√5，∴ A′F=√5t−√5，∴ A′G=√5t−√52，∵ B′H=√5t2，∴ S梯形A′B′HG=12(A′G+B′H)×A′B′=12(√5t−√52+√5t2)×√5=52t−54；③当点D运动到x轴上时，t=3，当2<t≤3时，如图3，∵ A′G=√5t−√52，∴ GD′=√5−√5t−√52=3√5−√5t2，∵ S△AOF=12×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H∴ S△GD′HS△AOF =(GD′OA)2，∴ S△GD′H=(3√5−√5t2)2，∴ S五边形GA′B′C′H=(√5)2−(3√5−√5t2)2=−54t2+152t−254；(1<t≤2)19. 解：用枚举法或列表法，可求出从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种．方法1．枚举法：(1, 3)、(1, 4)、(1, 5)(3, 4)、(3, 5)、(4, 5)共有6种；(1)P（能构成三角形）=46=23；(2)P（能构成直角三角形）=16；(3)P（能构成等腰三角形）=12．20. 解：（1）令f(x)=a|x|+2a x=3当x≥0时，方程变为a2x−3a x+2=0，解得a x=1或a x=2，可得=0或log a2当x<0时，方程变为1+2=3a x，解得x=0故此类下无解．综上x=0或log a2；（2）由题设，g(x)=a|x|+2a x，x∈[−2, +∞)，下分类讨论：①若a>1，则(I)当x≥0时，a x≥1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈[3, +∞)(II)−2≤x<0时，1a2≤a x<1，g(x)=a−x+2a x∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna从而当1a2>√12即1<a<√24时，对∀x∈(−2, 0)，g′(x)>0，∴ g(x)在[−2, 0)上递增∴ g(x)∈[a2+2a2，3)，由此g(x)有最小值a2+2a2与a有关，不符合．当1a2≤√12即a≥√24时，由g′(x)=0得x=−12log a2则−2<x<−12log a2时，g′(x)<0；−12log a2<x<0时，g′(x)>0∴ g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，∴ g(x)min=g(−12log a2)=2√2g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求②若0<a<1，则(I)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈(0, 3](II)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，∴ g(x)在[−2, 0)上递减，∴ g(x)∈(3,a 2+2a 2]，由此g(x)有最大值a 2+2a 2与a 有关，不符合 综上：实数a 的取值范围是a ≥√24．21. 解：设[a b c d ]，则有[a b cd ][11]=[23]，[a b c d ][2−1]=[4−3] 得，{a +b =2c +d =32a −b =42c −d =−3 解得{a =2b =0c =0d =3∴ M =[2003] 22. 解：解法一：依题设知AB =2，CE =1．（1）连接AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC ．由三垂线定理知，BD ⊥A 1C ．在平面A 1CA 内，连接EF 交A 1C 于点G ， 由于AA 1FC =AC CE =2√2， 故Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C =∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余．于是A 1C ⊥EF ．A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以A 1C ⊥平面BED ．（2）作GH ⊥DE ，垂足为H ，连接A 1H ．由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1−DE −B 的平面角．EF =√CF 2+CE 2=√3，CG =CE×CF EF =√2√3，EG =√CE 2−CG 2=√33．EG EF =13，GH =13×EF×FD DE =√2√15． 又A 1C =√AA 12+AC 2=2√6，A 1G =A 1C −CG =5√63．tan∠A 1HG =A 1GHG =5√5．所以二面角A 1−DE −B 的大小为arctan5√5．（）解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D −xyz ．依题设，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(0, 2, 1)，A 1(2, 0, 4)．DE →=(0,2,1)，DB →=(2,2,0)，A 1C →=(−2,2,−4)，DA 1→=(2,0,4)．（1）因为A 1C →⋅DB →=0，A 1C →⋅DE →=0，故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE =D ，所以A 1C ⊥平面DBE ．（2）设向量n →=(x, y, z)是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →，n ⊥DA 1→．故2y +z =0，2x +4z =0．令y =1，则z =−2，x =4，n →=(4, 1, −2)．<n →，A 1C →>等于二面角A 1−DE −B 的平面角，cos <n →，A 1C →=>|n →||A 1C →|˙=√1442所以二面角A 1−DE −B 的大小为arccos √1442． 23. 解：（1）∵ 每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是23， ∴ 是一个独立重复试验， 记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A ， 表示前四次有一次射中且第五次一定击中， ∴ P(A)=C 41×23×(13)3×23=16243．（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况∴ P(ξ=2)=(23)2=49； P(ξ=3)=C 21×23×13×23=827； P(ξ=4)=C 31×23×(13)2×23=427； P(ξ=5)=1−49−827−427=19．∴ ξ的分布列为Eξ=2×49+3×827+4×427+5×19=7927．∴ 所求ξ的数学期望为7927．。

高三数学调研检测(文科)一.填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1 •已知数列｛a n｝为等差数列，且a g -2a5 = -1,a3 =0，则公差d = ▲.2. 若不等式ax2bx -1 0的解集为｛x |1 ：：： x ：：： 2｝，则a b= ▲ .3. ___________________________________________________________________________ 数列｛a n｝满足递推关系式a n 2^a n 1■ 2a n, n • N ”且印=a2=1则a5工▲_______________________________ .44. 函数f (x)二x ,x • [1,6]的值域为[m, n],则n - m 二▲.x5. 设等比数列｛a n｝是公比q =3，前n的和为S n，则色= ▲.a226. 在各项均不为零的等差数列｛a n｝中，若a n 1 -a n • a nd =0(n - 2)，则S?.」-4n = ▲.7. 若f (x) = ■ kx^2kx 2k 3的定义域为R，则实数k的取值范围是▲.1 a4 +a5&各项都是正数的等比数列｛a n｝中，a2、—a3、印成等差数列，则----------- =▲.2 a<^a49.集合A 二｛x| x2「3x「4 ：：：0｝, B 二｛x | x2：：：p｝( p 0),若A，则实数p 的取值范围是▲.10 .设正数x、y满足2x讨二2^. 2,则lg x lg y的最大值为▲.11.不等式x—2(x—1)c2的解集是▲.12.已知f (x) = 2(x-a)(x-b) —3 其中(a：：：b),m、n 是f (x)的零点，且m：：：n,则实数a—b—m—n 的大小关系是(从小到大排列)▲高三文科数学第1页(共2页)a+b= ▲ _____________14.设集合A ={(x, y) I y 兰x —2 ,x 兰0}, B ={(x, y) | y 兰—x + b}, A" ,若(x, y)^ A C\ B,且x + 2y 的最大值为11,则b的值是▲ 二.解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本题满分14分)等比数列｛a n｝中，已知a i =2,a4 =16• •(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a3,a5分别为等差数列｛b n｝的第3项和第5项，问a9是不是数列｛0｝中的项，如果是求出是第几项；如果不是说明理由.16. (本题满分14分)数列｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和，已知a^7,S4 =24(1)求数列｛a n｝的通项公式和前n项和公式；1⑵若p,q为正整数試比较S pq和-(S2p S2q)的大小.117. (本题满分15分)已知等比数列｛a n｝的前n项和为S(n) = ( )n-c，数列｛b n｝ (b n ■ 0)的首项为c ,且3前n 项和T(n)满足T(n) -T( n- 1)=、讥帀、T(n -1) ( n_2).(1)设d n ，求证数列｛d n｝为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；1 1000(3)若数列｛——｝前n项和为P(n)，问P")〉1000的最小正整数n是多少?b n b h+ 200918. (本题满分15分)已知关于x的不等式(2x-1)2:: a2x2(a_0)(1) 求此不等式的解集；(2) 若不等式的解集中整数恰好有3个，求正实数a的取值范围.19. (本题满分16分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m _ 0)满足x = k •( k、b为常数)，如果不搞促销活动，则该m + 1产品的年销售量只能是1万件，如果投入1万元搞促销活动，则该产品的年销售量是2万件.已知2010年生产该产品的固定投入为4万元，每生产1万件该产品需要再投入36万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1. 5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用). (1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；高三文科数学第2页(共2页)(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20. (本题满分16分)设数列｛a n｝为等差数列首项为a1,公差d，数列｛b m｝定义如下：对于正整数m , b m 是使得a n - m成立的所有n中的最小值.1 1(1)若a1，d ，求b3；6 2(2)若a1 =1，d = 2，求数列｛b m｝的前2m项的和；高三文科数学第1页(共2页)。

学校 班级 姓名考号 ……………………………………装………………………………………订………………………………………线……………………………………………请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷数学答题纸16.（本小题14分）17．（本小题14分）注意事项：1.答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卷左边密封线内规定的地方.2.作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分1 ．2 ．3 ．4 ．5 ．6 ．7 ．8 ．9 ．10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：本大题共6小题；共90分．15、（本小题14分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18．（本小题16分）19．（本小题16分）20．（本小题16分）#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效%请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效$。

2010年江苏高考数学试题一、填空题1．设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______________ 2．设复数z 满足z （2-3i ）=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______________3．盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5．设函数f （x ）=x （e x +ae -x ）,x ∈R ，是偶函数，则实数a =________________6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________7．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________8．函数y=x 2（x>0）的图像在点（a k ,a k 2）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y —c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 10．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________D C B AP 11．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是________12．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_________13．在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=__ 14．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________二、解答题 15．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1,-2）,B （2,3）,C （-2,-1） （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长（2）设实数t 满足（AB tOC - ）·OC=0，求t 的值16．（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ，∠BCD=900（1）求证：PC ⊥BC （217．（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值 （2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大18．（16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y①设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹②设31,221==x x ，求点T 的坐标③设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点 （其坐标与m 无关）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列． ①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. sin(−300∘)=________．2. 已知复数z =−i(1+2i)，其中i 是虚线单位，则|z|=________．3. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x +1>0}，则集合A ∩∁U B =________．4. 某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为________．5. 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x −2y −4=0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为________．6. 下图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是________．7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，则数列{a n }的通项公式a n =________．8. 同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是________．9. 若向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，a →⋅(a →+b →)=1，则向量a →，b →的夹角的大小为________．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________． 11. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是________． 12. △ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是________．13. 某同学在研究函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)时，分别给出下面几个结论：①f(−x)+f(x)=0在x ∈R 时恒成立； ②函数f(x)的值域为(−1, 1)；③若x 1≠x 2，则一定有f(x 1)≠f(x 2)； ④函数g(x)=f(x)−x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有________．14. 在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对任意正整数m 均成立，那么就称{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n+1=|x n −x n−1|(n ≥2, n ∈N ∗)，且x 1=1，x 2=a(a ≤1, a ≠0)，当数列{x n }周期为3时，则该数列的前2007项的和为________二、解答题（共12小题，满分0分）15. 已知a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)，且f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的最大值；（2）求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间．16.如图，在四棱锥O −ABCD 中，AD // BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：(I)直线MC // 平面OAB ； (II)直线BD ⊥直线OA ．17.某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC =120∘，按照设计要求，其横截面面积为6√3平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深ℎ米． （1）当ℎ为多少米时，用料最省？（2）如果水渠的深度设计在[3,2√3]的范围内，求横截面周长的最小值． 18. 已知⊙C 1:x 2+(y +5)2=5，点A(1, −3) （1）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；（2）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切线长之比为√2？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19. 已知函数f(x)＝x 4+ax 3+2x 2+b(x ∈R)，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)当a =−103时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(Ⅲ)若对于任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立，求b 的取值范围． 20. 设{a n }是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6）（I ）记S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =a 12+a 22+...+a n 2，已知S n ≤n 2+n −1，T n ≥4n 3−n 3(n ∈N ∗)，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；（II ）若{a n }的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{a n }中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m }？若存在，请写出{a′m }的构造过程；若不存在，说明理由．21. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交于AC于点E ，交⊙O 于点D ，若PE =PA ，∠ABC =60∘，PD =1，BD =8，求线段CE 的长． 22. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1, 2)变成了点A′(4, 5)，点B(3, −1)变成了点B′(5, 1)，求矩阵M ．23. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ⋅OP =12，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线l ：{x =t +2y =2t +1（t 是参数）的位置关系．24. 设a ∈R 且a ≠−√2，试比较√2+a√2−a 的大小．25. 回答下列问题：（1）设f(x)=(1+x)n ，f(x)展开式中x 2的系数是10，求n 的值；（2）利用二项式定理证明：∑(n k=1−1)k+1kC n k=0． 26. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(I)求一次抽奖中奖的概率；(II)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X （元）的概率分布和期望E(X)．2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）答案1. √322. √53. {x|−2≤x ≤−1}4. 205. √326. 47. 3n−18. 599. 3π4 10. 5 11. π412. (1, 2) 13. ①②③ 14. 133815. 解：（1）因为a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)， 所以，f(x)=(sinx +2cosx)sinx +3cosx ⋅cosx =1+sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+2，所以，当2x +π4=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π8+kπ，k ∈Z 时， f(x)取得最大值√2+2；（2）由（1）由知f(x)的最小正周期是π， 由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8，k ∈Z ，所以f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]∴ f(x)的最大值为√2+2；f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]． 16. 证明：(1)设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ， 因为M 是OD 的中点，所以MN // AD ，且2MN =AD ， 又AD // BC ，AD =2BC ， 所以MNBC 是平行四边形， 所以MC // NB ，又MC 不在平面OAB 上，NB ⊂平面OAB ， 所以直线MC // 平面OAB ；(2)设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH ⊥BD ， 又因为OB =OD ，所以OH ⊥BD 所以BD ⊥面OAH 所以BD ⊥OA 、17. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ， 使得BC =6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2．设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ， 当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立，外周长的最小值为6√2，此时堤高ℎ为√6米；（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3．解ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，所以l min =√3×3+6√33=5√3（米），（当ℎ=3时取得最小值）．18. 解：（1）C 1(0,−5)，r 1=√5，因为点A 恰在⊙C 1上，所以点A 即是切点，K C 1A =−3+51=2，所以k 1=−12，所以，直线l 的方程为y +3=−12(x −1)，即x +2y +5=0； （2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，C 2(2, −1)，所以，⊙C 2：(x −2)2+(y +1)2=5， 设P(a,0),PC 12−5PC 22−5=2①，或PC 22−5PC 12−5=2②，由①得，a 2+20(a−2)2−4=2，解得a =−2或10，所以，P(−2,0)或(10,0)，由②得，a 2−4aa 2+20=2，求此方程无解．综上，存在两点P(−2, 0)或P(10, 0)适合题意．19. （1）f ′(x)＝4x 3+3ax 2+4x ＝x(4x 2+3ax +4)． 当a =−103时，f ′(x)＝x(4x 2−10x +4)＝2x(2x −1)(x −2)．令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2=12，x 3＝（2）当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,12)，(2, +∞)内是增函数，在(−∞, 0)，(12,2)内是减函数．（2）f ′(x)＝x(4x 2+3ax +4)，显然x ＝0不是方程4x 2+3ax +4＝0的根．为使f(x)仅在x ＝0处有极值，必须4x 2+3ax +4≥0成立，即有△＝9a 2−64≤(0) 解些不等式，得−83≤a ≤83．这时，f(0)＝b 是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是[−83,83]．(Ⅲ)由条件a ∈[−2, 2]，可知△＝9a 2−64<0，从而4x 2+3ax +4>0恒成立． 当x <0时，f ′(x)<0；当x >0时，f ′(x)>(0)因此函数f(x)在[−1, 1]上的最大值是f(1)与f(−1)两者中的较大者． 为使对任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立， 当且仅当{f(1)≤1f(−1)≤1 ，即{b ≤−2−ab ≤−2+a ，在a ∈[−2, 2]上恒成立．所以b ≤−4，因此满足条件的b 的取值范围是(−∞, −4]．20. 解：(I)依题意：S n =na 1+n(n−1)2d ，a n =a 1+(n −1)d ，所以a n 2=a 12+2a 1(n −1)d +(n −1)2d 2，T n =na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2，则{na 1+n(n−1)2d ≤n 2+n −1na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2≥4n 3−n 3即{(2−d)n 2+n(2−a 1−d)−2≥0(1)2(d 2−4)n 2+3d(2a 1−d)n +6a 12−6a 1d +d 2+2≥0(2)则n ∈N ∗恒成立， 所以{2−d ≥0d 2−4≥0因为数列为无穷项，所以d ≥0，所以d =2， 代入（1）（2）得{(2−a)n −1≥0(3)2(a 1−1)n +(a 1−1)2≥0(4)当n =1代入（3），得2−a 1−1≥0，所以a 1≤1， 由（4），当a 1<1时，对充分大的n ，（4）不成立，所以，a 1=1 经检验，a 1=1，d =2满足题意； (II){a n }为a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，取a 1′=a 1，a 2′=a 1+da 1′=(1+d)a 1，a 3′=a 1′+d(a 1′+a 2′)=a 1′+da 1+da 2′=a 2′+da 2′=(1+d)a 2′a m ′=a 1′+d(a 1′+a 2′+...+a m−1′)=a m−1′+da m−1′=(1+d)a m−1′=(1+d)m−1a 1 故数列{a n }是以a 1为首项，1+d （大于1）为公比的非常数等比数列； 又由{a n }的取法可知，a 1′+a 2′+...+a m−1′是正整数之和，记做k ． 所以，a m ′=a 1+dk ，从而a m ′是a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，中的项， 所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在{a n }中． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 解：设M =[ac ，即[a +2b c +2d ， 所以{a +2b =43a −b =5c +2d =53c −d =1，解得M =[2123. C 、解：P(ρ, θ)，则M(ρ′, θ)，因为OM ⋅OP =12，所以ρρ′=12， 又ρ′cosθ=3，所以ρ3cosθ=12，即点P 的轨迹方程为ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，直线l 的普通方程为：2x −y −3=0， 则圆心(2, 0)到直线l 的距离为：d =√5=√55<2，所以直线l 与点P 的轨迹相交． 24. 解：√2+a−(√2−a)=2√2+a ，当a >−√2且a ≠0时，∵2√2+a>0，∴√2+a>√2−a ；当a =0时，∵2√2+a=0，∴√2+a=√2−a ；当a <−√2时，∵2√2+a<0，∴√2+a<√2−a .综上，当a >−√2且a ≠0时，√2+a>√2−a ，当a =0时，√2+a=√2−a ，当a <−√2时，√2+a<√2−a .25. 解(1)(1+x)n 展开式中的x 2的系数是C n 2=10，即n(n−1)2=10，得n =5（2）由(1−x)n =C n 0−C n 1x ++(−1)2C n 1x 2+(−1)n C n n x n两边求导得−n(1−x)n−1=−C n 1+2C n 2x ++(−1)r kC n r x n−r ++(−1)n nC n n x n−1两边同时乘以−1，再令x =1得∑(n n=1−1)k+1kC n k=0． 26. 解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C 63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C 21C 42+C 22C 41设“一次抽奖中奖”为事件A ，∴ P(A)=C 21C 42+C 22C 41C 63=1620=45即一次抽奖中奖的概率为45； (2)X 可取0，10，20，P(X =0)=(0.2)2=0.04，P(X =10)=C 21×0.8×0.2=0.32， P(X =20)=(0.8)2=0.64，∴ X 的概率分布列为∴ E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．。

2010年高考江苏数学卷试题及参考答案佚名【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2010(000)007【总页数】6页(P45-49,封4)【正文语种】中文参考公式:锥体的体积公式:Sh,其中S是锥体的底面面积,h是高.1.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________.2.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位)，则z的模为________.3.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________.4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图1所示，则在抽测的100根中，有根棉花纤维的长度小于20mm.5.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________.6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线=1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.7.图2是一个算法流程图,则输出的S的值是________.8.函数y=x2(x>0)的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.9.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.10.设定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象交于点P,过点P 作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.11.已知函数则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________.12.设x,y为实数,满足,则的最大值是________.13.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则的值是________.14.将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则s的最小值是________.15.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足,求t的值.16.(14分)如图3,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点A到平面PBC的距离.17.(14分 )某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图4,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α-β最大?18.(16分)在平面直角坐标系xOy中,如图5,已知椭圆的左、右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹； (2)设,求点T 的坐标； (3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).19.(16分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列}是公差为d的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示); (2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立,求证:c的最大值为.20.(16分)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x) .如果存在实数a 和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数,其中b为实数. (ⅰ)求证:函数f(x)具有性质P(b);(ⅱ)求函数f(x)的单调区间. (2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围.一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.1.12.23.9.(-13,13) 10.13.4 14.二、解答题15.本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力. 解：(1)由题设知，则 ). 所以. 故所求的两条对角线长分别为. (2)由题设知). 由,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以.16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 解:(1)因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得BC⊥DC. 又PD∩DC=D,PD⊂平面PCD, DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD. 因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.(2)连结AC.设点A到平面PBC的距离为h. 因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1. 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积 . 因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC. 又PD=DC=1,所以.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积.由,得.因此，点A到平面PBC的距离为.17.本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.解：(1)由及AB+BD=AD，得 , 解得.因此，算出的电视塔的高度H是124m. (2)由题设知d=AB,得.由,得,所以 , 当且仅当,即时，上式取等号.所以当时，tan(α-β)最大.因为,则,所以当时，α-β最大.故所求的d是m.18.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力. 解：由题设得A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0). ( 1)设点P(x,y),则PF2=(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2. 由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得.故所求点P的轨迹为直线.(2)由及y1>0,得,则点,从而直线AM的方程为由及y2<0,得,则点,从而直线BN的方程为.由解得所以点T的坐标为.(3)由题设知,直线AT的方程为,直线BT的方程为).点M(x1,y1) 满足得 , 因为x1≠-3,则 ,解得x1= ，从而得.点N(x2,y2)满足解得.若x1=x2,则由及m>0,得,此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0).若x1≠x2,则,直线MD的斜率, 直线ND的斜率,得kMD=kND,所以直线MN过D 点.因此,直线MN必过x轴上的点(1,0).19.本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.解：(1)由题设知,,则当n≥2时, n.由2a2=a1+a3,得,解得d.故当n≥2时,an=2nd2-d2. 又a1=d2,所以数列{an}的通项公式为an=(2n-1)d2.(2)由及,得d>0,Sn=d2n2.于是,对满足题设m,n,k,m≠n,有.所以c的最大值.另一方面,任取实数.设k为偶数,令,则m,n,k符合条件,且).于是,只要9k2+4<2ak2,即当时,就有.所以满足条件的,从而.因此c的最大值为.20.本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.解：(1)(ⅰ)由,得.因为x>1时，,所以函数f(x)具有性质P(b).(ⅱ)当b≤2时，由x>1得x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0, 所以f′(x)>0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增. 当b>2时，解方程x2-bx+1=0得 .因为, 所以当x∈(1,x2)时，f′(x)<0;当x∈(x2,+∞)时，f′(x)>0;当x=x2时，f′(x)=0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2,+∞)上单调递增. 综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；当b>2时，函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1,+∞)都成立，所以，当x>1时，g′(x)=h(x)(x-1)2>0,从而g(x)在区间(1，+∞)上单调递增.①当m∈(0,1)时，有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1,α<mx2+(1-m)x2=x2,得α∈(x1,x2)，同理可得β∈(x1,x2),所以由g(x)的单调性知g(α),g(β)∈(g(x1)，g(x2)),从而有|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,符合题设.②当m≤0时，α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1,于是由α>1,β>1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α),所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题设不符.③当m≥1时，同理可得α≤x1,β≥x2,进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题设不符. 因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为(0，1).21.[选做题]本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲(10分) 如图9，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C.若DA=DC，求证：AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换(10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(-2，0)，C(-2，1).设k为非零实数，矩阵,,点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值.C.选修4-4：坐标系与参数方程(10分) 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+α=0相切，求实数a的值.D.选修4-5：不等式选讲(10分) 设a,b是非负实数，求证).[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立. (1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.23.已知△ABC的三边长都是有理数. (1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n,cos nA是有理数.21.A.本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.证明：连结OD，BD.因为AB是圆O的直径, 所以∠ADB=90°,AB=2OB.因为DC是圆O的切线, 所以∠CDO=90°.又因为DA=DC,所以∠A=∠C, 于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO, 即2OB=OB+BC,得OB=BC.故AB=2BC. B.本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力.解:由题设得. 由,,,可知 A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).计算得△ABC的面积是1,△A1B1C1的面积是|k|,则由题设知|k|=2×1=2.所以k的值为-2或2. C.本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力. 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有, 解得a=-8,或a=2. 故a的值为-8或2. D.本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力.证明:由a,b是非负实数,作差得 ).当a≥b时,,从而,得当a<b时,,从而,得 .所以).22.本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解的能力.解:(1)由题设知,X的可能取值为10,5,2,-3,且P(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02. 由此得X的分布列为：(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件,则二等品有4-n件.由题设知4n-(4-n)≥10,解得, 又n∈N,得n=3,或n=4.所以. 故所求概率为0.819 2.23.本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.证明：(1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cos 是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sinnA都是有理数.①当n=1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数.当n=k+1时，由cos(k+1)A=cos A·coskA-sin A·sin kA, sin A·sin(k+1)A=sinA·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+ (sin A·sin kA)·cos A, 及①和归纳假设，知cos(k+1)A与sin A·sin(k+1)A都是有理数. 即当n=k+1时，结论成立. 综合①、②可知，对任意正整数n,cos nA是有理数.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.设集合{1,1,3}A =-，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为____▲____. 1.【答案】1.【命题意图】本题考查交集的定义，对求得的集合中的元素要进行检验.【解析】由题意得1,32==+a a .又由342=+a 不符合题意.经检验得1=a .2.设复数z 满足(23)64z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为____▲____. 2.【答案】2.【命题意图】本题考查复数有关运算及复数模的计算. 【解析】由i i z 46)32(+=-得,2)32)(32()32)(46(3246i i i i i i i z =+-++=-+=即2,2=∴=z i z . 3.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ ▲__.3.【答案】21. 【命题意图】本题考查古典概型知识. 【解析】31.62p == 4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ ▲__ 根棉花纤维的长度小于20mm. 4.【答案】30.【命题意图】本题考查概率统计中频率分布直方图的有关运用,注意纵坐标是频率/组距.【解析】由频率分布直方图得棉花纤维长度小于mm 20的根数为(0.01+0.01+0.04)301005=⨯⨯. 5.设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为____▲____. 5.【答案】1-.【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【解析】设R x ae e x g xx∈+=-,)(,由题意分析)(x g 应为奇函数(奇函数⨯奇函数=偶函数), 又R x ∈ ，0)0(=∴g ，则,01=+a 所以1-=a .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____▲____.6.【答案】4.【命题意图】本题考查求曲线上点的坐标、双曲线的焦点坐标、两点间距离公式的运用. 【解析】由题意得点15,3(±M ),双曲线的右焦点的坐标为(4,0)，2MF 22)015()43(-±+-==4.或用第二定义：2MFe d==，2d =，4MF =. 7.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是____▲____.7.【答案】63.【命题意图】本题考查算法流程图,由流程图得出S 的关系式,比较得出S 的值.【解析】由流程图得12345122222S =+++++=1+2+48+16+32=6333≥,即.63=S8.函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k ∈N *.若116a =，则123a a a ++的值是____▲____.8.【答案】21.【命题意图】考查函数的切线方程、数列的通项.【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =，所以 1135,1641212kk a a a a a +=++=++=. 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是____▲____. 9.【答案】(13,13)-.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】如图,圆422=+y x 的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线05=+-c y x 的距离小于1,即1313,13,151222<<-∴<<+c c c .10.设定义在区间(0,)2π上的函数y=6cosx 的图象与y=5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y=sinx 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____▲____. 10.【答案】.32y O 0512=+-c y x1 11【命题意图】本题考查三角函数问题,由图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出,32sin =x 结合图象,数形结合分析P 1P 2的值.【解析】由题意得x x tan 5cos 6=，即x x xxx sin 5cos 6,cos sin 5cos 62==， 226(1sin )5sin ,6sin 5sin 60x x x x -=+-=得,32sin =x 结合图象分析得32sin 21==P P x .11.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____▲____.11.【答案】).12,1(--【命题意图】本题考查分段函数的单调性.【解析】2212,10,x x x ⎧->⎪⎨->⎪⎩解得121x -<<，所以x 的取值范围是).12,1(-- 12.设x,y 为实数，满足3≤2xy ≤8，4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是____▲____.12.【答案】27.【命题意图】考查不等式的基本性质，等价转化思想.【解析】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy=⋅∈，43y x 的最大值是27.13.在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+的值是 ▲ . 【答案】4.【解析】考查三角函数知识，三角形中的正、余弦定理的应用，等价转化思想. （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性. 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2tan 22C =.等腰三角形中，1tan tan 2tan 2A B C ===，tan tan tan tan C CA B+=4. （方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=.2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅,由正弦定理，得上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅. 14.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(s =梯形的周长）梯形的面积,则s 的最小值是____▲____. 【答案323. 【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想. 设剪成的小正三角形的边长为x ，则222(3)(01)1133(1)(1)x s x x x x -==<<-⋅+⋅⋅-. （方法一）利用导数求函数最小值.22(3)()13x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)3x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222(31)(3)(1)3x x x ---=- 1()0,01,3S x x x '=<<=.当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增.故当13x =时，S 323. （方法二）利用函数的方法求最小值.令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则22218668331t S t t t t==-+--+-.故当131,83x t ==时，S 323. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(2,3)B ，(2,1).C -- (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.【解析】本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）由题设知(3,5)AB =，(1,1)AC =-，则 (2,6)A B A C +=，(4,4).AB AC -=所以||210AB AC +=||4 2.AB AC -= 故所求的两条对角线长分别为42，210.（2）由题设知 (2,1)OC =--，(32,5).AB tOC t t -=++由()0AB tOC OC -=，得(32,5)(2,1)0t t ++--=， 从而511t =-，所以11.5t =- 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得BC ⊥DC.又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC. （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF.则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 由（1）知BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD.因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离 的2倍，故点A 到平面PBC 2（方法二）连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11.33ABC V S PD ∆== 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC.又PD=DC=1，所以22 2.PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆= 由1121333PBC V S h h ∆===，得2h =.因此，点A 到平面PBC 的距离为2. 17.（本小题满分14分）某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（1）该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？【解析】本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由tan H AB α=，tan h BD β=，tan HAD β= 及AB BD AD +=，得tan tan tan H h Hαββ+=， 解得tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--.因此，算出的电视塔的高度H 是124m. （2）由题设知d AB =，得tan .H dα= 由tan tan H hAB AD BD ββ=-=-，得tan H h d β-=，所以tan tan tan()()1tan tan 2()h H H h H H h d dαβαβαβ--==≤-+⋅-+，当且仅当()H H h d d-=，即()125121555d H H h -⨯=. 所以当555d =tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当555d =αβ-最大.故所求的d 是555m. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0，0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.满分16分.解：由题设得(3,0)A -，(3,0)B ，(2,0).F（1）设点(,)P x y ，则222(2)PF x y =-+，222(3).PB x y =-+ 由422=-PB PF ，得2222(2)(3)4x y x y -+---=，化简得92x =. 故所求点P 的轨迹为直线92x =. （2）由12x =，2211195x y +=及10y >，得153y =，则点5(2,)3M ， 从而直线AM 的方程为113y x =+； 由213x =，2222195x y +=及20y <，得2109y =-，则点110(,)39N -， 从而直线BN 的方程为5562y x =-. 由11,355,62y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得7,10.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点T 的坐标为10(7,)3. （3）由题设知，直线AT 的方程为(3)12m y x =+，直线BT 的方程为(3)6my x =-. 点11(,)M x y 满足112211(3),121,95m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22111(3)(3)(3)9125x x x m -++=-，因为13x ≠-，则211339125x x m -+=-，解得212240380m x m -=+，从而124080m y m =+. 点22(,)N x y 满足2222222(3),61,953,m y x x y x ⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪≠⎪⎪⎩解得22236020m x m -=+，222020m y m -=+. 若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得210m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点(1,0).D若12x x ≠，则210m ≠MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+， 直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点. 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1,0). 19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.满分16分. 解：（111(1)(1)n S S n d a n d =-=-，则当2n ≥时，221111()()232.n n n n n n n a S S S S S S a d d n ---=-==+由2132a a a =+，得221112(2)23a d a a d =+1.a d = 故当2n ≥时，222.n a nd d =-又21a d =，所以数列{}n a 的通项公式为2(21)n a n d =-.（21a d =1(1)n S a n d =-，得0d >，22n S n d =. 于是，对满足题设的k ,，m n ≠，有2222222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==.所以c 的最大值max 92c ≥.另一方面，任取实数92a >.设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()((1)(1))(94).222m n S S d m n d k k d k +=+=++-=+于是，只要22942k ak +<，即当29k a >-时，就有22122m n k S S d ak aS +<⋅=.所以满足条件的92c ≤，从而max 92c ≤.因此c 的最大值为92.20.（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数2()ln (1)1b f x x x x +=+>+，其中b 为实数. (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；(ii)求函数)(x f 的单调区间.(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分.解：(1)(i)由2()ln 1b f x x x +=++，得'()f x 221.(1)x bx x x -+=+ 因为1x >时，21()0(1)h x x x =>+，所以函数)(x f 具有性质)(b P .(ii)当2b ≤时，由1x >得222121(1)0x bx x x x -+≥-+=->， 所以)('x f 0>，从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增.当2b >时，解方程210x bx -+=得214b b x --=，224b b x +-=因为214b b x --=2214b b b =<<+-，2241b b x +-=>，所以当2(1,)x x ∈时，)('x f 0<；当2(,)x x ∈+∞时，)('x f 0>；当2x x =时，)('x f =0.从而函数)(x f 在区间2(1,)x 上单调递减，在区间2(,)x +∞上单调递增. 综上所述，当2b ≤时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2b >时，函数)(x f 的单调减区间为24b b +-，单调增区间为24()b b +-+∞.(2)（方法一）由题意，得22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=-. 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增.当1m =时，1x α=，2x β=，不合题意.1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--. 当1,12m m >≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 221212()()(1)()0x x m x x αβ∴--=---<，12x x αβ∴<<<或12x x αβ<<<，若12x x αβ<<<,则12()()()()f f x f x f αβ<<<,12|()()||()()|g g g x g x αβ∴->-,不合题意.12x x αβ∴<<<，即112122(1),(1),x mx m x m x mx x <+-⎧⎨-+<⎩解得1m <，11.2m ∴<< 当12m =时，αβ=，120|()()||()()|g g g x g x αβ=-<-，符合题意. 当12m <时，αβ>，且212112(),()x m x x x m x x αβ-=--=--，同理有12x x βα<<<，112122(1),(1),x m x mx mx m x x <-+⎧⎨+-<⎩解得0m >，10.2m ∴<<综合以上讨论，得所求的m 的取值范围是(0，1).（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增. ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，222(1)mx m x x α<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α，()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.因此，综合①、②、③得所求的m 的取值范围为(0，1).数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并．在．相应的答题．．．．．区域内作答．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC ，求证：AB=2BC.【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.满分10分.证明：（方法一）连OD ，则OD ⊥DC.又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，所以∠DCO=300，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC.（方法二）连结OD 、BD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB.因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC ，所以∠A=∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO.即2OB=OB+BC ，得OB=BC.故AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --.设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.满分10分.解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由0001000k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0201002k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，021012k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 可知1(0,0)A ，1(0,2)B -，1(,2)C k -.计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知||212k =⨯=.所以k 的值为2-或2.C.选修4-4：参数方程与极坐标（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分10分.解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为22222,(1)1x y x x y +=-+=即，直线的方程为340x y a ++=.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1221,34=+解得8a =-，或2a =.故a 的值为8-或2.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a ，b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+.【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.满分10分.证明：由a ，b 是非负实数，作差得 3322()()()a b ab a b a a a b b b b a ++=+55()[()()]a b a b =-.当a b ≥a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b -≥；当a b <a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b ->. 所以3322()a b ab a b +≥+.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力.满分10分.解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18，P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02.由此得X 的分布列为： X-3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =. 所以3344440.80.20.80.8192P C C =+=. 故所求概率为0.8192.23.（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数.（1）求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数.【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.满分10分.证法一：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数.当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数；②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数.当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+， 11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++， 解得cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--. ∵cos A ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数，∴cos(1)k A +是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 也是有理数.证法二：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)用数学归纳法证明cos nA 和sin sin A nA 都是有理数.①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A =-也是有理数.②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA 都是有理数.当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A kA A A kA +=-，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA +=+(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =+，及①和归纳假设，知cos(1)k A +与sin sin(1)A k A +都是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 也是有理数.毋意，毋必，毋固，毋我。

江苏省南通市2010届四星级高中数学高考押题卷参考答案一、填空题1．3； 2.1-； 3.3200; 4.3; 5.3441≤≤m ; 6.3π或32π; 7.35; 8.（4,8）;9.21; 10. 6π; 11.（0,2）; 123312a a <-<<或.; 13. 15; 14.2.二、解答题15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin 3BC x π=，sin()32sin3x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=•=⋅-⋅21cos sin )sin 322x x x =- 11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<<……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m +又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2解得m 无解………………………13分∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分16．解：（1）1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-1111110402222,3233AA AA AA =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==14AA ∴=.…………………5分（2）在平面11CC D D 中作11D Q C D ⊥交1CC 于Q ，过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ，则11A P C D ⊥.…………………7分因为1111111111,,A D CC D D C D CC D D C D A D ⊥⊂∴⊥平面平面，而1111//,//,//QP CB CB A D QP A D ∴，又1111111,A D D Q D C D A PQC =∴⊥平面，且A 1DD 1C 1 ACPQ B11111,A P A PQC A P C D ⊂∴⊥平面.………………………………………10分 11D C Q ∆∽11111111,,1,//,42C QD C Rt C CD C Q PQ BC PQ BC CD C C∆∴=∴=∴==又. 11A PQD 四边形为直角梯形，且高11D Q A P =∴==.……14分17. 解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ=…………2分 θθcos sin 10=EF ………………………………4分由于10tan BE θ=⋅≤，10tan AF θ=≤tan θ≤≤[,]63ππθ∈…………………………5分 101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈.………………6分(2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ,…………………………8分 )12(20+=L ;…………………………………………10分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=………………………………12分 由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈ …14分201L t =-在内单调递减，于是当t =时,63ππθθ==时 L的最大值1)米. ………………………………………………15分答：当6πθ=或3πθ=时所铺设的管道最短，为1)+米.……………16分18.（1）设圆方程为022=++++F Ey Dx y x ，则圆心)2,2(ED C --，且PC 的斜率为-1……………………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=----+=-=++=++12022*******m D E m D F D F E ……………………6分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===3651m F E D ，所以圆方程为06522=-+++y x y x ……………………8分（2）①CP CA CP CB ⋅=⋅AB CP AB CP CB CA CP ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔00)(， 所以AB 斜率为1…………………12分②设直线AB 方程为t x y +=，代入圆C 方程得065)62(222=-++++t t x t x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=+<<-⇔>∆265337022121t t x x t x x t原点O 在以AB 为直径的圆的内部，即002121<+⇔<⋅y y x x ………………14分 整理得，17170622-<<--⇔<-+t t t …………………16分19． 解：（1）53(1)(1)22n x n n =-+-⨯-=--1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴---- ……………4分（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P ．∴设n c 的方程为223125(),24n n y a x ++=+- 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：22(23)1y x n x n =++++．32|0'+===n y k x n ，111111()(21)(23)22123n nk k n n n n -∴==-++++12231111n n k k k k k k -∴+++1111111[()()()]257792123n n =-+-++-++ =111111()252310461015n n n n --=-=+++. ……………10分 （3）{|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥，{|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴=T 中最大数117a =-．设}{n a 公差为d ，则10179(265,125)a d =-+∈--，由此得：*24812,12()9N n d a T d m m -<<-∈∴=-∈又 *24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈ …………………………16分20．解：（1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0mf x x x x '=+=⇒=[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min 0()0e<0.2mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立.………………… 16分附加题参考答案21 A.⑴BE 平分∠ABC . ………1分 ∵CD ＝AC ，∴∠D=∠CAD . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC=∠ACB∵∠EBC=∠CAD ，∴∠EBC=∠D=∠CAD . ……………………4分 ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC ，∠ACB=∠D+∠CAD ，∴∠ABE=∠EBC ，即BE 平分∠ABC . ……………………6分 ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE .∵∠AEF=∠AEB ，∴△AEF ∽△BEA . ……………………8分∴AEEFBE AE =，∵AE =6， BE=8. ∴EF=298362==BE AE . ……………………10分21B 、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即c ＋d ＝6； ………………………………………3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2， 即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………8分 A 逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 1221C ．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程l的普通方程为1y =+，………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分21D ．因为2220x y xy +≥≥所以()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ …………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………6分 三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++ 所以()()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ …………10分22、(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为111515203401C C C P C =- …………………………………………4分 419494=…………………………………………5分 (Ⅱ)由题意知0,1,2ξ=22251520024061156C C C P C ++==……………………………………6分 11115151520124075156C C C C P C +==……………………………………7分 115202240539C C P C ==……………………………………8分ξ的分布列：ξ的数学期望:6175511501215615639156E ξ=⨯+⨯+⨯=…………12分 23.（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n k n ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a .所以na a nn =+-11． ………………………………………………………………4分 （2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n+-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++ 11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+ n13-=． ………………………………………………………………10分［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n …111132!1n +++≤-！］。