暑期新初二数学讲义第十六讲等腰三角形的判定

第十四讲等腰三角形的判定
[问题]某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．为什么？
【探索】在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写为：等角对等边）
符号语言描述：∵∠B=∠C ∴AB=BC
[辨析]等腰三角形的性质与判定有区别吗？
性质：判定
【小结】判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些？
【例1】．如图2
其中△ABC是等腰三角形的是[ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知AD＝4cm，则BC______cm．
【例2】如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．[思考]
1、你能分别指出命题中的已知条件和结论吗？
2、你能正确画出图形，写出已知和求证吗？
【例3】如图：AD∥BC,BD平分∠ABC，求证：AB=AD
【例4】如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部份是一个等腰三角形吗？
解题策略：角平分+平行线，常常可以出现等腰三角形。

【例5】如图，AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ，求证：
OC=OD
【知识拓展】
在上节课中，我们学习了等腰三角形的一个重要的性质：“三线合一”，反过来，若顶角的平分线、底边的中线、和高线，其中具备了二个条件，是否能判定这个三角形为等腰三角形呢？
【例6】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD 垂直BC 于D ，求证：AB=AC
D C
A
B
[思考]：若把条件换为BD=CD,AD⊥BC; 或AD平分∠BAC，BD=CD，以上结论是否仍然成立呢？
结论：若一个三角形中满足三线中的二线合一，则可证这个三角形为等腰三角形，这个结论虽不可直接用，但在具体题目中经常会考察，可据此构造等腰三角形来解题。

【例7】如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90 º,BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于
E，求证：BD=2AE。

【课堂练习】
1、在△ABC中，
（1）若两个内角分别为50°、80°时，这个三角形是________三角形；
（2）若∠A︰∠B︰∠C＝1︰1︰2，那么这个三角形是________三角形；
（3）若∠B＝∠C，AC＝4 cm，则AB＝________．
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________．
3、已知∠BAC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠BEC＝________．
4、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，经过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________
5、如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
（第4题）（第5题）
6、如果一个三角形的一内角平分线垂直对边，那么这个三角形一定是（）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
7、如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于_______
8、如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）
A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC
9、如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，AB＝BD，下列结论中，正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＋3∠2＝180°
C．2∠1＋∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°
10、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BD＝BC，AE＝AC，则∠ECD的度数是________．
(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
11、如图所示，△ABC中，AB＝AC＝20 cm，M为BC上一点，过M作MN∥AB交AC于N，作MP∥AC交AB于P，求四边形APMN的周长。

12、如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由
13、如图所示，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．
14、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，由哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？任选一种进行证明
15、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AB上截取BD，在AC的延长线上截取CE，且使CE＝BD，连接DE交BC于F，求证：DF＝EF
16、如图，已知D是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝BE－CF
17、如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证∠ACD=∠B+∠DCE。