等腰三角形的判定PPT优选课件

新课讲授
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言： ∵∠A=60°，AB=AC， ∴ AB=BC=AC （或△ABC是等边三角形）.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
新知探究 你能说出“等腰三角形的两个底角相等”这个定理条 件和结论吗？请写出它的逆命题。
逆命题:有两个角相等 的三角形是等腰三角形
这个命题是真命题么？你能证明么？
新知探究
活动探究：画△ABC，使∠B＝∠C, 量一量，线段AB与AC的长度.
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
新课讲授
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，
证明 ： ∵ AB=AC，
性质定理
∴ ∠B=∠C（等边对等角）.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴ ∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
判定定理
例题讲解
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
类比探究
等腰三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有两条边相等的三角形是
等腰三角形(定义). 方法二: 从角看
有两个角相等的三角形是 等腰三角形.
等边三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有三条边相等的三角形是
等边三角形(定义). 方法二: 从角看
有三个角相等的三角形是 等边三角形.
新课讲授，

提高生活质量
等腰三角形的应用还可提高生活质量。例如，在园艺设计中，可利用等腰三角形原理进行花坛、草坪等的布局和设计 ，以创造美观、舒适的生活环境。
培养数学思维
学习和应用等腰三角形的性质有助于培养数学思维和解决问题的能力。通过分析和解决与等腰三角形相 关的生活实际问题，可增强对数学知识的理解和应用能力。
应用举例
用于证明与等腰三角形相 关的线段相等问题。
两角相等定理
定理内容
在等腰三角形中，两个底 角的大小相等。
证明方法
通过构造高或使用ASA、 AAS全等条件来证明两底 角相等。
应用举例
用于求解等腰三角形中的 角度问题。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
推论1
与其他三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等。
与不属于等腰三角形的其他三角形的关系
不属于等腰三角形的其他三角形没有两腰相等这一特性。
实际应用举例
建筑学
在建筑设计中，等腰三角形常被 用于构造具有对称美的图形和结
构中，如尖顶建筑、拱门等。
工程学
在桥梁、道路和隧道等工程设计 中，等腰三角形可用于计算和分
在等腰三角形中，底边的垂直 平分线同时也是底边的中线和 高。
推论2
在等腰三角形中，若一条边上 的中线与这边所对的角平分线 重合，则这个三角形是等边三 角形。
应用举例
用于证明与等腰三角形相关的 线段、角度相等或求解相关问
题。
03
等腰三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。

复习回顾
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC =EF. 求证：△ABC ≌ △DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
A
D
∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E). B
CE
F
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ ∴
∠△BB=AD∠≌C (△全C等AD三(角SA形S的). 对应角相等)B.
D
C
等腰三角形的“三线合一”
AB=AC AD平分∠BAC AD⊥BC
几何语言： ∵
BD=CD∴Biblioteka D学以致用A
求证：∠B=∠C
方法一：作底边上的中线 证明：取BC的中点D，连结AD
∴BD=CD
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD
B
D
C
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C
你还有其他方法吗？请同学交流
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. A
例1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数.
分析:根据题目中给出的相等线段,你发现图中有几个的等腰三角形呢？
解:设∠B的度数为x. ∵AB=AC,∴∠C=∠B=x. ∵AD=BD,∴∠B=∠DAB=x. ∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x. ∵AC=CD,∴∠ADC=∠CAD=2x. 在△ACD中, ∠CAD+∠ADC+∠C=180°,

∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解

D
ABCD，OA=OB，OC=OD中已知任两
个可推出第三个。
2021/3/12
9
1、求证：有一个叫是60º的等腰三角形 是等边三角形。
2、已知：如图，DEBC，1=2。
求证：BD=CE。
A
D
E
2021/3/12
10
B
C
例2、如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时18海里的速度 向正北（AN方向）航行，2时后到达B处。测得C在A的北偏西 40?方向，并在B的北偏西80?方向，求B处到灯塔C的距离。
A
1、已知：OD平分AOB，EO=ED
求证：EDOB。
E
D
2、已知：OD平分AOB，EDOB
求证：EO=ED。
O 3、已知：EDOB，EO=ED
B
求证：OD平分AOB。
规律：该图是有关等腰三角形的一个常用基本图形。
“角平分线，平行线，等腰三角形”三者中，若有两者则 必有第三者。
2021/3/12
13
推论：三个角都相等的 三角形是等边三角形。
2021/3/12
7
例1、已知：AD交BC于点O，AB‖CD，OA=OB 求证：OC=OD
请你动手写一写！A B O
2021/3/12
C
D
8
A
1、若已知ABCD，OC=OD，能否 证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否 证明ABCD？
C
B O
∴▲ABD≌▲ACD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
∴▲ABC是等腰三角形。
5
如果一个三角形有两个角相 等，那么这个三角形是等腰 三角形。
(在一个三角形中，等角对等边。)

B
综上，有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形
C
B
60°
C
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=60 °(已知).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是60 °
的等腰三角形是等边三角形).
A
B
60°
C
归纳小结：
名
称
图
等
腰
三
角
形
形
概 念
有两边
7.已知:如图,在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、
∠ACB并交于点O,过点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16,
求: △ODE的周长
思路：
A
角平分线+平行线
等腰三角形
O
OB=OD
OE=EC
B
C△ODE =OD+DE+OE
=OB+DE+EC
=BC=16
D
E
C
8.在△ABC中，∠A=50°，当∠B的度数=
形状,并说明理由?
A
解： △ABD是等腰三角形，理由如下：
3
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
1
∵BD平分∠ABC
C
(跟同一个量相等的两个量相等）
∴△ABD是等腰三角形
几何模型：
2
B
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
D
（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
角平分线 + 平行线 = 等腰三角形
5.如果三角形一个角的外的角平分线平行于三角形的第
求证： AB=AC.
证明：作BC边上 的高线AD，则

因为∠1=∠2，
∠B=∠C.因此AB=AC，
B
C
即ΔABC的是等腰三角形.
.
16
基本应用
例３．如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边
ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｅ．判断
△ＢＤＥ是不是等腰三角形，并说明理由．
（请你自已完成说理过程）
Ａ
EＥ ３ Ｄ
２１
Ｂ
Ｃ
.
17
练习4
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分
形内角和的性质得
B
DC
∠ADB=∠ADC，沿直线AD折叠∠ADB=∠ADC ，
∠1= ∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射
线AC重合，从而点B与点C重合，因此AB=AC
.
4
等腰三角形有以下的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三 角形．
简单地说；在同一个三角形中，
等角对等到边．
.
5
定理的证明：
等腰三角形的判定
• 如果一个三角形有两个角相等，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知: 如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证: AB=AC.
分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB， AC所在的两个三角形全等就可以了. Ａ
(同学们自已完成证明.)
Ｂ
Ｃ
.
6
练习1
在△ABC中, 已知∠A=40°,∠B=70°,判断 △ABC是什么三角形,为什么?
A
图中有哪些角相等?
∠ B= ∠ C． 在三角形中等边B对等角．C
２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？
.
3
探索思考
1，作一个三角形，有两个角