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习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。
在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。
下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。
1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。
解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。
然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。
通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。
接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。
将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。
因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。
最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。
2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。
首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。
由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。
如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。
例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。
大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。
掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。
以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。
题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
求解该微分方程。
解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。
首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。
将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。
题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。
求解该微分方程。
解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。
对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。
题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
常 微 分 方 程 学 习 辅 导（五）一 阶 线 性 微 分 方 程 组化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。
例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：0)()(22=++y x q dx dy x p dxy d 解：令21dxdy ,y y y ==则 0)()(dx dy ,d , 122221221=++==y x q y x p dx dy dxy y dx dy ∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==12221)()(y x q y x p dxdy y dx dy 例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-020322x dtdy t y dt x d 解：令,, dtdx , 321x y x x x ===则有 dtdx x dt dx 321dt dy , == ∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31332212t x dt dx x dtdx x dt dx 一般线性微分方程组的求解问题对于一般线性齐次微分方程组 Y x A dxdY )(= ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。
一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。
消元法（化方程组为单个方程的方法）例3 求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=yt x dtdy t yt x dt dx t 2解：有前一个方程解出y 并求导，有dtdx t x y += 2221dt x d dt dx t tx dt dy ++-= 代入后一方程化简得0222=dt x d t 假定,0≠t 则有022=dt x d ，积分得 tC C C t t C C dt dx t x y tC C x 12221212+=++=+=+= 原方程组的通解为)0(2,2121≠⎩⎨⎧+=+=t C C y t C C x 常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。
