高一数学上学期必修四导学案：3-1 两角和与差的正切1

第 4 课时： 3.1.3 两角和与差的正切（一）【三维目标】： 一、知识与技能1.能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，并从推导过程中体会到化归思想的作用；2.能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；掌握公式的正、逆向及变形运用，选用恰当的公式解决问题；3.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。

二、过程与方法1.借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；（在教师的点拨、提示下，学生自行完成证明）2.揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.3.讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；2.理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力；能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。

【教学重点与难点】： 重点：()T αβ±公式的运用。

难点：()T αβ±公式的推导及运用，选用恰当的方法解决问题。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 复习两角和与差的正、余弦公式：()(),S C αβαβ±±公式。

二、研探新知 1．两角和的正切∵0)cos(≠+βα,)tan(βα+ =βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++当0cos cos ≠βα时, 分子分母同时除以βαcos cos 得：即： （()T αβ+） tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+2．两角差的正切以β-代β得：tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+即：（()T αβ-） 【说明】：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+ ③注意公式的结构，尤其是符号 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维公式的正用：例1 求值：（1）11tan12π；（2）tan 285．解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tantan461tan tan46ππππ-=-+12==-+；（2）tan 285tan(36075)tan75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=--公式的逆用：例2（教材101P 例2）：求证：1tan151tan15+-3=。

3.1.3两角和与差的正切一、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。

2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。

及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。

3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。

教学难点：公式的逆向和变形应用。

三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式S α+β ,S α-β , C α+β ,C α-β()sin +sin cos +cos sin αβαβαβ=()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢？2、两角和与差正切公式的推导及理解 T α+β ,T α-β⑴tan(α+β)公式的推导（让学生回答）∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 以-β代β得： ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+⑵思考讨论：①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？②公式有何特点？如何记忆？③公式有何用处？有何变形？⑶注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。

高一年级数学导学案3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导βα±S 中的作用2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值，并要注重公式的正用，逆用和变形用3.熟练掌握辅助角公式，并逐步体会在三角变换中的重要作用重点：公式βα±S 的推导与应用难点：公式的逆用活动一：知识梳理：.两角和与差的正弦 =+)s i n (βα βα+S=-)sin(βα βα-S活动二：合作探究1. 你能结合三角函数诱导公式，由公式βα+C 或βα-C 推导出公式βα-S 吗？2. 如何准确记住公式？3. 辅助角公式222222sin ,cos ),sin(cos sin b a b b a a x b a x b x a +=+=+⋅+=+ϕϕϕ其中活动三：要点导学要点一：求值例1：求 15sin ,75sin 的值要点二：公式的正用，逆用例2：求下列各式的值：（1） 14cos 44sin 14sin 44cos -（2）)36sin()54cos()36cos()54sin(x x x x +-++-（3）15cos 2315sin 21-要点三：给值求值例3：已知βαβα,,32cos ,31sin -==均在第二象限，求)sin()sin(βαβα-+和的值。

要点四：辅助角公式例4：求函数x b x a y cos sin +=的最大值、最小值和周期，其中b a ,是不同时为零的实数。

要点五： 例5：已知向量P O =(3，4),逆时针旋转 45到/P O 的位置，求点),(y x P '''的坐标例6：已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),(y x P '''，求证： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x课堂小结作业：P139练习A,B。

第三章 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

【学习重点】掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能运用上述公式进行恒等变换。

【基础知识】问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？问题2：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？探究1、两角和与差的正弦公式的推导.探究2、两角和与差正弦公式的特征？推导两角和的正切公式？探究3、推导两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？注意：（1）,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈（ 2）、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

【例题讲解】例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．例3x x思考：怎样求ααcos sin b a +类型？ 总结：ααcos sin b a +=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 。

变式：（1）：;__________cos sin =+αα （2）： .___________cos sin =-αα （3）x x sin cos 3-=____________【达标检测】)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒A.23-B.21-C.21 D.23 )( 75tan 75tan 1 22的值为、︒︒- A.32 B.332 C.32 - D.332- )(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x = A.10π B. 6π C.5π D.4π .________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、 ._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、 6. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7.已知α为第二象限角，53sin =α，β为第一象限角，135cos =β，求)2tan(βα- 的值。

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。

3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案【学习目标】1.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及.两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

【重点难点］1.教辜重占：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【学法指导】1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；2.经历两用和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；【知识链接】1、在一-般情况卜sin ( a + B ) Hsin a +sin P , cos( a + B ) Hcos a +cos 3 .si心I，则Sin(0) = --------------------- ;若&是第四彖限角，则Sin(0) = --------------------------jr= 2,&是第三象限角，求tan(& ) = _________________ .6注意角的变换及公式“熨活运用，女ttz =(Q+0)-0;2a =(Q+0)-(a-0), '、半=(—£)_(耳_0)等。

2 2 2已知tan(a + 0) = ?,tan(a-0)= -丄,那么tan(cr + 壬)的值为(A、一—B、—C^ —D N —18 18 12 223.在运用公式解题时，既要意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(a ±B)二° _ 卩可变形为:tan a ± tan P =tan (a ±P)(l + ta n a tan B )；1 + tan a tan (3tan a ± tan 0± tan(】tan B 二・1_ -------------- ,tan(6r± 0)tan 20° + tan 40° + V3 tan 20: tan 40:.4、乂如：asin a+bcos a 二Jo?(sin a cos "+cos a sin ")二yla2+b2 sin( a +(1>),其中tan<b = -等，有时能收到事半功倍之效..asina + cosa = ___________ ; sina-cosa = ______________ •・V3 cos x - sin x = ___________ .提出疑惑同学们，通过你的口主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容【学习过程】（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:动手完成两角和与羌正弦和正切公式.观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.通过什么途径可以把上面的式子化成只含冇tana 、tan0的形式呢？（分式分子、’分母同时除以 cosacos0,得到tan （a + 0）= 伽（2+伽01 - tan tan 0717171注意：Q + 0 H —F k 兀O H —F k 兀、0 H —H k7V （k G z ）2 2 2以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角羌的正切公式呢？tano+tan （—0） _ tan a-tan/3 l-tancrtan （-/?） 1 +tan a tan 0注意：a+ B — ^—+k7i 伙w z ）.2 2 2（二）例题讲解3例1、已知sina = --,a 是第四象限角，求sin例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1)、sin 72 cos42° -cos72° sin42 : (2)、cos20 cos70 -sin 20° sin70 ；(3)、1 +tan 15° 1 - tan 15例3、化简血 cosx- 品sin 兀(7C,cos(71,tana —— U J<4 J< 4tan(a_0) = tan [cr+(-/?)]的值•・【学习反思】【基础达标】1、sin 7° cos 37° 一 sin 83° sin 37。

3．1．3两角和与差的正切
（一）教学目标
1．知识目标：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）；自学能力。

3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质
（二）教学重点、难点
重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值
难点是公式的逆向和变形运用。

（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题（即“知识台阶”），课前印发给学生，引导他们阅读课本。

课堂上在教师三导（引导、指导、辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。

（四）教学过程
α±与单
复角β
α,的正弦、
角β
40
3
tan
+
tan
20
，求证：tan
+A
1(+
1
)(
tan。