第二章 命题逻辑 2.1

2.1.5 蕴涵词和蕴涵命题
“如果…那么…”， 如果物理摩擦，那么物体生热。 如果费多是狗，那么它是动物。 人心齐，泰山移。 锲而不舍，金石可镂。
p→q，p为“前件”，q为“后件”。
倘若费多是狗，则它是动物。 费多是动物，倘若它是狗。 假设费多是狗，则它是动物。 在费多是狗的条件下，它是动物。 费多是动物，如果它是动物的话。
似乎该真值表也对应于自然语言中“如果…那 么” 。 A 如果 如果1+1=2，那么埃菲尔铁塔在法国。 ，那么埃菲尔铁塔在法国。 如果埃菲尔铁塔在法国，那么埃菲尔铁塔在欧洲。
B 如果埃菲尔铁塔在俄亥俄，那么它在欧洲。 如果埃菲尔铁塔在俄亥俄，那么它在欧洲。
如果埃菲尔铁塔在德国，那么埃菲尔铁塔在欧洲。
支命题、联结词、真值函项联结词
组成复合命题的命题称为“支命题”。 支命题本身可以是一个简单命题，也可以是一 个复合命题。将这些支命题连接起来的是“联 结词”。 联结词体现了支命题之间以及支命题和复合命 题之间的逻辑关联。分析复合命题，最重要的 就是分析联结词的性质。 逻辑学只研究真值函项联结词。
真值函项联结词
一个联结词被真值函项地使用，当且仅当，由该联结 词构成的复合命题的真值完全地取决于它的支命题的 真值。 由真值函项联结词构成的复合命题叫做“真值函项复 合命题”。 复合命题和支命题的关系就是真值函项的关系。复合 命题就是构成它的支命题的真值的函项：给定支命题 的真值，经过相应的真值运算，可以得出复合命题的 真值。 被真值函项地使用的联结词，使得由它构成的复合命 题的真值是它的支命题的真值的一个函项。
2.1.6 等值词和等值命题
“当且仅当”，↔ ，p ↔ q，左支、右支 等值式，表达的是等值命题或双条件命题。 一个数是偶数，当且仅当，它能被2整除。 等值式的真值规则： 仅当左支和右支都为真或都为假时，等值 式为真。其他两种情况为假。 p ↔ q与（p→q）∧（q→p）
2.1.4 否定词和否定命题
表示对一个命题的否定。符号：¬，并非。 被否定的命题成为“原命题”，否定的命题称 为“否定命题”。 原命题可以是简单命题，也可以说复合命题。
并不是只要刻苦勤奋，就能成为伟大的画家。
p表示任何一个命题，则其否定命题为：¬p。 很明显，¬ 是一个真值函项联结词。 否定式的真值规则：p为真当且仅当¬p 为假。 当原命题为真时，否定式为假；反之，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ真。
蕴涵式的真值规则
p→q为假，仅当p（前件）为真，q（后件）为假。 其余情况均为真。 p为假的情况。
如果孔子是女人，那么孔子是人。 如果埃菲尔铁塔在俄亥俄，那么埃菲尔铁塔在美国。 如果太阳从西边升起，那么我头朝下走路。 如果2+2=5，那么雪是黑的。
如果埃菲尔铁塔在法国，那么埃菲尔铁塔在欧洲。 如果埃菲尔铁塔在法国，那么埃菲尔铁塔在美国。 如果埃菲尔铁塔在德国，那么埃菲尔铁塔在欧洲。 如果埃菲尔铁塔在俄亥俄，那么埃菲尔铁塔在美国。
实质蕴涵。 的许多日常用法不尽符合。 实质蕴涵。与“如果…则…”的许多日常用法不尽符合。 如果 则 的许多日常用法不尽符合 在日常语言里， 如果…则 在不同的语境中有相当不 在日常语言里，“如果 则…”在不同的语境中有相当不 同的意义。它可以表达： 同的意义
因果关系（“如果你得了肺炎，就会发烧”）； 充分条件（“如果你足够努力，就能办成这事”）； 反事实条件（“如果我是你，我就不那么做”）； 推理关系（“如果所有人都会死而苏格拉底是人，则苏格拉 底会死”）等等。
∧大约相当于日常语言中的命题联结词“并 且”、“又…又…”、“一方面…另一方面…”、 “不但…而且…”等。但日常语言中的这些词并 不完全是真值联结词，它们还有内涵方面的意 义，如前所述，有转折、递进等意义。一般而 言，这些联结词的前后两个命题颠倒过来可能 影响复合命题的意义。比如， 他得了病，并且住了院。 他住了院，并且得了病。 这两个命题在意义上恐怕就有差别。
第二章 命题逻辑：符号化 和真值表
2.1 一些基本概念
2.1.1 真值函项符合命题和真值函项联结词
命题逻辑以命题作为最小的分析对象。 简单命题：不包含其他命题的命题。 符合命题：包含其他命题的命题。
吸烟有害健康。 北京是中国的政治中心，并且是文化中心。 如果一个推论的前提为证并且推论形式有效， 这结论必然为真。
这说明，即使前后两个命题都真，这样的复合 命题在联结词的内涵方面理解不见得都能说是 真的。 可是，如果用这些联结词组成的复合命题为真， 则前后两个命题都是真的。一旦舍去了“并且” 隐含的递进、因果等内涵方面的东西，“他得 了病，并且住了院”与“他住了院，并且得了 病”是等价的说法。因此，∧是对日常语言的 对日常语言的 这些联结词的一种抽象， 这些联结词的一种抽象，舍去了它们内涵方面 的意义， 的意义，只抽象出它们代表的命题间的真值关 系。
或者杰克会赢，或者约翰会赢。 杰克会赢。 因此，约翰没赢。 反例： 或者树上植物或者花是植物（或者都是植物）。 树是植物。 因此，花不是植物。 或者杰克会赢，或者约翰会赢，但并非杰克和约 翰都赢。
同样，与“并且”类似，“或者”在日常语言 中也是多义的，也有内涵方面的意义。在两个 命题有一为真，或同真时，用“或者”把二者 联结起来的复合命题，不见得就有意义。如： 2+2=4或者雪是白的。 在某些语境中有人就认为没什么意义。虽然前 后两个命题都是真的，但它们之间没有内容上 的联系，我们平常是不会构造这种句子的。 因此∨是对日常的命题联结词“或者”的抽象， 舍去了前后命题内容上的联系，仅保留了子命 题和复合命题间的真值关系。
在这些意义下，并不是那三种情况都能保证复合命题为真 的。比如，两个命题都为真，并不保证一个表示另一个的 充分条件。要使上面意义下的复合命题为真，前后件起码 要有内容上的联系。内容上没有联系的命题，如“2+2=4” 和“雪是白的”，即使它们在现实的情形下都真，但你若 构造句子“如果2+2=4 ，则雪是白的”，那么这个复合句 在“如果…则…”的上面那些意义下，还是不知所云。
在汉语中，具有“p ∧ q”形式的命题通常可表达 并列、转折、递进、承接等关系。
霍布斯生于1588年，然而笛卡尔生于1596年。 霍布斯生于1588年，笛卡尔却生于1596年。 尽管霍布斯生于1588年，笛卡尔却生于1596 年。 霍布斯生于1588年，而笛卡尔生于1596年。 霍布斯生于1588年，即使笛卡尔生于1596年。 霍布斯生于1588年，尽管笛卡尔生于1596年。
2.1.2 合取词和合取命题
符号：∧，相当于“并且”。 p ∧ q。合取式，表达合取命题。 合取支 拜伦斯一个伟大的诗人并且拜伦是一个伟大 的冒险家。 拜伦是一个伟大的诗人和伟大的冒险家。 合取命题的真值规则：仅当合取支都为真时， 合取式才真。
他取得优异成绩，并且考上了心中的理想大学。 虽然天寒地冻，但官兵们还是坚持军事训练。 王斌不但是先进生产者，而且是优秀共产党员。
实质蕴涵与推理的有效性
逻辑学家为什么对实质蕴涵感兴趣？实质条件 句捕获了自然语言条件句的部分意义，这些意 义对蕴涵来说是最基本的。 蕴涵词→在所有解释下都表达实质蕴涵。前件 表达的命题实质蕴涵后件表达的命题，当且仅 当并非前真而后假。 一个推论有效，是说在一切情形之下，并非前 提都真而结论为假。蕴涵词→，最终与推理相 关，所以我们要求它表达这个意义上的“如 果…那么…”。和推论有效性的定义是一致的。
汉语中，…是假的，并非…，不可能…，非…， “…，那不是真的”，…是错误的， …不成立， 等都可以翻译为¬p。否定词与日常语言相应一致。
玫瑰不是蓝色的。 并非玫瑰是蓝色的。 玫瑰色蓝色的是假的。 玫瑰是蓝色不是真的。 玫瑰并非蓝色。
下列论证是否有效？ 孙中山是孙逸仙 因此，孙中山不是孙逸仙，那不是真的。
C 如果埃菲尔铁塔在德国，那么它在美国。 如果埃菲尔铁塔在德国，那么它在美国。
A中，前件和后件为真，但条件句整个像假的。 两者不存在关联。但如果A是假的，自然语言 中的条件句并非普遍的真值函数。显然如果它 们是真值函数，那么任何具有真前件和真后件 的条件句都必定是真的。 B中，假前件真后件。如果依据真值表，B是真 的，但从常识出发，它是假的。类似，C似乎 假，但根据真值表C是真的。 真值表定义的蕴涵式和一般的自然语言的蕴涵 式存在差异。
与析取、合取一样 实质蕴涵舍去了前后件之 与析取、合取一样，实质蕴涵舍去了前后件之 间的内容上的联系， 间的内容上的联系，只抽象出它们的一种真值 关系。在“如果…则…”表达实质蕴涵的时候， 关系 “如果2+2=4 ，则雪是白的”在现实的情形下 就是真命题。只要不把这里的“如果…则…” 在因果关系、充分条件等等的内涵意义下理解， 这个命题就没有什么悖理之处。 实质蕴涵取的是蕴涵最基本的意思：并非前件 真而后件假。日常语言中的蕴涵以及其他形式 的蕴涵都包含这个底线。所以其他三种情况均 为真。实际上，p为假，则肯定不会出现p真q 假的情况。 p→ q，¬p ∨ q， ¬（p ∧ ¬q） ， ， （ ）
2.1.3 析取词和析取命题
析取命题是对两种情况作出选择性断言的复合 命题。
华南师大以食堂菜最棒著称或者以最便宜著称。 或者卡罗上大学或者 或者她找工作。 或者 或者 符号：∨。p，q是命题变项 p∨q，析取式。析取支 析取式的真值规则：仅当两个析取支均为假时， 析取式才为假。
相容和不相容析取
相容： …或者…，或是…或是…，是…还是… 不相容： 不是…就是…，要么…要么…，与其…不如 或者…或者，且两者不可兼得， 宁可…也不… 或为玉碎，或为瓦全。 卡罗上大学除非 除非她找工作。 除非 要么与我们站在一起反对恐怖主义，那么你是我 们的朋友；要么不与我们站在一起，那么你是我 们的敌人。
老王相信小李是小偷。 老王怀疑刘某是罪犯。 老王吃饭在他喝茶之后。
老王吃饭，并且喝茶。
老王确实在吃饭，并且喝茶。 真 真 老王确实在吃饭，但是没有喝茶。 真 假 老王没有吃饭，但是在喝茶。 假 真 老王没有吃饭，也没有喝茶。 假 假