《排列组合专题》PPT课件资料讲解

(1)取23的正因数是20，21，22，23，共3+1种；
(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；
(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．
所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
例9、
从1到300的自然数中，完全不含有数字3的 有多少个？
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ， 共12种。
例6、
某小组有10人，每人至少会英语和日语的一门， 其中8人会英语，5人会日语，从中选出会英语与会 日语的各1人，有多少种不同的选法?
由于8+5＝13＞10，所以10人中必有3人既会英 语又会日语。（5+2+3）
1.加法原理: 如果完成一项工作有两类相互独立的方式A和B,在方式
A中有m种完成任务的途径,在方式B中有n种完成任务的途 径,则完成这项工作的总的途径有m+n种.
2.乘法原理: 如果完成一项工作有两个连续的步骤A和B,在步骤A
中有m种不同的方式,在步骤B中有n种不同的方式,则完成 这项工作的总的方法有m*n种.
例1、
从1到4这4个数码中不重复地任取3个构成一 个三位数,求这样的三位数一共有多少个?
分析:构成三位数的过程可以看成是由连续的三步完成: 第一步:取百位上的数字,共有4种方法 第二步:取十位上的数字,共有3种方法(即不能取百位上已 经取走的数码) 第三步:取个位上的数字,共有2种方法(即不能取百位和十 位上已经取走的数码) 因此由乘法原理,这样的三位数一共有:4*3*2=24种.
如：从a,b,c这三个字母中，每次取出2个，有多少种排列方法? 第一步：确定左边的字母，在三个字母中任取一个，有３种方法； 第二步：确定右边的字母，从剩下的２个字母中选取一个，有２种 方法； 根据乘法原理，共有３×２＝６种不同的排法.
ab ac ba bc ca cb

一般地，从n个不同的元素中取出r个元素的
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是排列组合的基础和核心，既可 用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们 的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
利用加法原理，重在分“类”，类与类之间具有独立 性和并列性；
利用乘法原理，重在分步；步与步之间具有相依性和 连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步。
例2、
一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一 个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”后一个 三位数，例如543吃掉432，543吃掉543，但是 543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位数共有多 少个？
百位上有5、6、7、8、9五种选择，十位上有8、9两种选 择，个位上有7，8，9三种选择，所以共有5×2×3=30（个） 三位数。
例4、
用红、黄、绿、蓝、黑五种颜色涂在如 下图所示的ABCDE五区域，颜色可重复使用， 但同色不相邻，涂法有几种？
AC同色:5*4*4*1*4
AC不同色:5*4*4*3*3
1040
例5、
在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植 A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长， 要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法 共有______种。分析：采取分类的方法。
3×9×9－1=242(个)．
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2， 3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数。 由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九 个数字组成的四位数个数为9×9×9×9＝6561。
例3、
如图，一方形花坛分成编号为①，②，③，④四块，现 有红、黄、蓝、紫四种颜色的花供选种，要求每块只种一种 颜色的花，且相邻的两块种不同颜色的花。如果编号为①的 已经种上红色花，那么其余三块不同的种法有 21 种。
编号为②的有三种选择，对于编号为③ 的，可以分成以下二类： 1、若编号为④的与编号为②的同色，则编 号为③的有三种选择。这种情况下共有3×3 种方案。 2、若编号为④的与编号为②的不同色，则 编号为③的有二种选择，编号为④的有二种 选择。这种情况下共有3×2×2种方案。
P P 选排列数用 r 表示，则 r ＝n!/(n-r)!
n
n
例１．全国足球甲级（Ａ组）联赛共有１４队参 加，每队都要与其它各队在主、客场分别比赛一 次，共进行多少场比赛？
任何二个队进行一次主场比赛和一场客场比 赛，相当于从14个元素中任取2个元素的一个排 列，共需进行的比赛场次是
所以可分三类：
5×2 + 5×3 + 2×3=31
例7、
在所有的三位数中，有且只有两个数字相同 的三位数共有多少个?
（1）△△□， （2）△□△， （3）□△□，
（ 1 ） ， （ 2 ） ， （ 3 ） 类 中 每 类 都 是 9×9 种 ， 共 有 9×9+9×9+9×9＝3×9×9＝243个只有两个数字相同的 三位数。
于是，小于10000且含有数字1的自然数共有99996561=3438个．
排列的定义
数学上，把若干元素，按照任何一种顺序排成 一列，叫做排列。
如果两个排列满足下列条件之一，它们就被认 为是不同的排列：
1.所含元素不全相同 2.所含元素相同，但顺序不同。
相异元素不重复的排列
从 n个不同的元素中，取出r个不重复的元素， 按次序排成一列，当r<n时，称为从n个中取r个的 一种选排列。