概率初步小结与复习总结

第二十五章《概率初步》小结教学目标：知识与技能目标能熟练掌握本章知识及各知识点之间的联系，并能熟练的运用。

过程与方法目标通过学习总结，使学生掌握自主学习的学习方法，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：知识点之间的联系。

教学难点：知识点的熟练运用。

教学过程：一、知识归纳1．事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．确定事件包括必然事件和不可能事件．[注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．2．概率的意义一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝m n[注意] 事件A发生的概率的取值范围0≤P(A)≤1，当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0.3．求随机事件概率的三种方法(1)直接列举法；(2)列表法；(3)树形图法．4．用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于某个常数附近，那么事件A发生的概率P(A)＝m n例1 在一个布口袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲、乙两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．(1)试用树形图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．[解析] 甲从袋中摸出一球有三种可能结果，乙从袋中摸出一球也有三种可能结果，所以可以通过列表法和树形图法解决此题．解：(1)树形图如下：列表如下：甲乙白红黑白白，白红，白黑，白红白，红红，红黑，红黑白，黑红，黑黑，黑(2)∵乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况，∴乙能取胜的概率为39＝13.方法技巧当事件中涉及两个因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用列表法或树形图法计算概率；当事件中涉及三个或三个以上因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用树形图法计算概率．二、归纳小结本节主要复习本章所学的内容以及本章各知识点之间的联系和应用。

概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。

比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。

概率是研究随机现象规律的数学分支，它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。

接下来，让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。

一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机事件。

2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。

通常用 0 到 1 之间的数来表示，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。

3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间中样本点的总数是有限的；（2）每个样本点出现的可能性相等。

那么这样的随机试验称为古典概型。

在古典概型中，事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。

4、概率的基本性质（1）对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1。

（2）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。

（3）如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），则P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

二、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。

解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10。

取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3。

所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。

例 2：掷一枚均匀的骰子，求点数大于 4 的概率。

解：骰子的点数有 1、2、3、4、5、6，点数大于 4 的有 5、6 两种情况，所以点数大于 4 的概率为 2/6 ＝ 1/3。

例 3：同时掷两枚均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。

解：同时掷两枚骰子，所有可能的结果有 6×6 ＝ 36 种。

概率初步知识点总结概率是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生可能性。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机现象，比如掷骰子、抽签等。

而概率理论可以帮助我们解释和预测这些现象发生的规律。

接下来，我将对概率的一些初步知识点进行总结。

一、随机试验和随机事件概率的研究对象是随机试验和随机事件。

随机试验是指具备以下几个特点的试验：1. 可以在相同的条件下重复进行；2. 结果不确定，只有几种可能的结果；3. 每次试验的结果是独立的。

而随机事件是指随机试验的某个结果，可以是单个事件，也可以是多个事件的集合。

二、样本空间和事件的概念在随机试验中，所有可能的结果组成的集合称为样本空间。

样本空间中的每个元素就是一个具体的结果。

而事件是样本空间的一个子集，用来描述我们感兴趣的结果。

事件可以是简单事件，即只包含一个结果，也可以是复合事件，即包含多个结果。

三、概率的定义和性质概率是一个介于0和1之间的数，表示事件发生的可能性大小。

概率的定义有两种常用的方式：古典概率和统计概率。

古典概率适用于所有结果等可能出现的情况，通过计算事件包含结果的数量与样本空间中结果总数之比得到。

统计概率适用于长期实验中的频率情况，通过多次试验统计事件发生的频率来估计概率。

概率具有以下几个性质：1. 非负性：任何事件的概率都大于等于0；2. 全面性：样本空间的概率为1；3.可加性：对于互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集的概率。

四、加法定理和条件概率加法定理用于计算两个事件的并集的概率。

对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于A的概率加上B的概率减去A和B的交集的概率。

条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。

对于两个事件A和B，当已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

五、独立事件和相互依赖事件独立事件指的是两个事件之间没有影响，即事件A的发生与否不影响事件B的发生与否。

第二十五章概率初步章末复习小结（1）基本知识教学设计教学目标1.复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.2.熟悉本章重要的知识要点和解题方法.3.熟练地用列举法和频率估算法求随机事件的概率.教学重点对本章知识进行梳理归纳.教学难点应用列举法和频率估算法求随机事件的概率.教学过程知识一：事件的分类在一定的条件下，必然会发生的事件——必然事件确定性事件在一定的条件下，必然不会发生的事件——不可能事件在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件——随机事件——不确定性事件1.一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( A )A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球2.下列语句所描述的事件是随机事件的是( D )A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆知识二：概率的定义及基本性质一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的_概率_，记为__P(A)_．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝______.练习：下列说法正确的是( A )A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是1/3 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖知识三：用列表法求概率硬币的正反面——直接列举法——掷骰子的点数——列表法在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表时事件(或数据)的顺序不能随意混淆.用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.练习： 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为_____23_____；(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率．(2)列表如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为P ＝39 ＝13. 知识四：画树状图法求概率一般地，当一次试验要涉及两个因素(或两个步骤),且可能出现的结果数目较多时,可用“__列表法”, 当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时,可采用“_树形图法_”.用树形图求概率的基本步骤：1.明确试验的几个步骤及顺序；2.画树形图列举试验的所有等可能的结果；3.计算得出m,n 的值；4.计算随机事件的概率.练习：端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子(除粽馅不同外，其他均相同)，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．(1)用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；(2)请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．解：(1)肉馅粽子记为A 、红枣馅粽子记为B 、豆沙馅粽子记为C ，由题意画树状图如下：(2)由(1)可得，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是21= 126，即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是1 6 .知识五：用频率估计概率在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数_足够大_，我们就可以用事件A发生的_频率__去估计__概率_.练习：某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如表：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是___0.95__．(精确到0.01)六、课堂小结谈谈你本节课的收获.七、作业布置见精准作业布置单.八、板书设计。

概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。

无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。

下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。

一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

它的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。

二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。

计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。

计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。

例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。

概率初步知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种方法，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。

事件发生的概率越大，表示事件发生的可能性越高，反之亦然。

2.概率的计算方法概率的计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。

古典概率适用于实验有限且等可能的情况，计算公式为P(A)=n(A)/n(S)。

几何概率适用于连续随机变量的情况，计算公式为P(A)=S(A)/S(S)。

统计概率是通过观察历史数据得到的概率，通过大量实验的频率来估计概率。

3.事件的独立性与相关性独立事件是指事件A和事件B的发生不会相互影响，即P(A∩B)=P(A)P(B)。

相关事件是指事件A的发生会影响事件B的发生，即P(A∩B)≠P(A)P(B)。

当事件A和事件B独立时，它们的联合概率等于它们的乘积，当事件A和事件B相关时，它们的联合概率不等于它们的乘积。

4.事件的互斥与不互斥互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生，即P(A∩B)=0。

不互斥事件是指事件A和事件B可以同时发生，即P(A∩B)≠0。

互斥事件和不互斥事件是概率计算中常见的情况，需要根据具体情况选择合适的计算方法。

5.概率分布和概率密度函数概率分布描述了随机变量的取值与其发生的概率之间的关系，常见的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布等。

概率密度函数是描述连续随机变量概率分布的一种方法，它在一定区间内的积分值表示了该区间内随机变量的概率。

6.大数定律和中心极限定理大数定律是指在独立同分布的随机变量序列中，随着观测次数的增加，样本平均值趋近于总体均值。

中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量和足够多的样本之和近似服从正态分布。

大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们给出了在大样本条件下随机变量的分布规律。

7.贝叶斯定理贝叶斯定理是一种用于更新概率估计的方法，它通过先验概率和条件概率来计算后验概率。