高一数学培优辅导专题(解三角形)

解三角形专题（一）选择与填空题1．（2018·全国（理））ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解：由题可知222124ABCa b c S absinC +-==V 所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC = ()C 0,π∈Q C 4π∴=2．（2018·江苏）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.3．（2020·江苏）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．解：∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =， 设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =u u u ru u ur ，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =u u u r u u u r ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 4．（2021·浙江）在ABC V中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________. 解由题意作出图形，如图，在ABM V 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅， 即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去）， 所以=2=2=8BC BM CM ， 在ABC V 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =在AMC V中，由余弦定理得222cos2AC AM MCMACAM AC+-∠===⋅.故答案为：13.5．（2017·浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．解：取BC中点E，由题意：AE BC⊥，△ABE中，1cos4BEABCAB∠==，∴1cos,sin44DBC DBC∠=-∠==，∴1sin2△BCDS BD BC DBC=⨯⨯⨯∠=．∵2ABC BDC∠=∠，∴21cos cos22cos14ABC BDC BDC∠=∠=∠-=，解得cos BDC∠=cos4BDC∠=-（舍去）．综上可得，△BCD面积为2，cos BDC∠=．（二）解答题1.（11年全国2卷）的内角、、的对边分别为、、.已知,,求.解：由及正弦定理可得又由,,故ABC A B C a b c90A C︒-= 2a c b+=Ca c+=sin sinA C B+=90A C︒-=180()B A C=-+cos sin)C C A C+=+2)C︒+2C,因为 ,所以 ,2．（11年湖北16）．设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.解：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 3.（11年江西17）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.解：（1）已知2sin 1cos sin CC C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222C C C C C C C -+=-+∴cos 2C C C =cos(45)cos 2C C ︒-=090C ︒︒<<245C C ︒=-15C ︒=整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02sin≠∴C412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C 43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a Θ()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a又47sin 1cos 2=-=C C Θ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c 4．（2021·全国）记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 解：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即s i n s i n C cABC b=∠， ∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =， 由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=； 综上，7cos 12ABC ∠=. 5．（2020·北京）在ABC V 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC V 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．解：选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-Q ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-Q8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==Q ，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈Q ，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=6．（2020·浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2s i n 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．解:（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.7．（2020·海南）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC V ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且s i n 3si n A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+=+ ，∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==,2=∴c=1;若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.8．（2020·江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．解：（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5C ==. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.9．（2020·全国（文））ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC V 的面积；（2）若sin A C ，求C . 解：（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒Q ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-+1cos sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒Q ， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.10．（2020·全国（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又3b c a -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =， 故222b a c =+，即ABC V 是直角三角形．11．（2019·江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．解：（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭12．（2019·北京（理））在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值． 解：(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b ==， 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=13．（2019·全国（理））ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 14．（2019·全国（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 解：(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 15．（2018·天津（理））在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值. 解析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯=．16．（2017·全国（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b ===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.解析：（1）sin 0,tan A A A =∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos2cosACC CDC∴=∴===12CD BC∴=，114222ABCS AB AC sin BAC∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=12ABD ABCS S∆∆∴== 17．（2017·全国（理））△ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、,已知△ABC的面积为23sinaA(1)求sin sinB C;(2)若6cos cos1,3,B C a==求△ABC的周长.解：（1）由题设得21sin23sinaac BA=，即1sin23sinac BA=.由正弦定理得1sinsin sin23sinAC BA=.故2sin sin3B C=.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin,2B C B C-=-，即()1cos2B C+=-.所以23B Cπ+=，故3Aπ=.由题设得21sin23sinabc AA=，即8bc=.由余弦定理得229b c bc+-=，即()239b c bc+-=，得b c+=故ABCV的周长为3+18．（2017·天津（文））在ABCV中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c.已知sin4sina Ab B=，222)ac a b c=--.（I）求cos A的值；（II）求sin(2)B A-的值.解：（Ⅰ）解：由sin4sina Ab B=，及sin sina bA B=，得2a b=.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 25bc aA bcac +-===-. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭. 19.（2021年全国2卷18）在ABC V 中，角,,A B C 所对边为a,b,c ，若1,2b a c a =+=+ （1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形？若能，求a ；若不存在，说明理由。

培优点七 解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，6b =，60B =o ，则C =_____． 【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=， 代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边， 且有cos 3sin 0a C a C b c +--=． （1）求A ；（2）若2a =，且ABC △的面积为3，求b ，c ． 【答案】（1）3π；（2）2，2． 【解析】（1）cos 3sin 0a C a C b c +--= sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ⇒+--=()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C ⇒+-+-=sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒+---=，即13sin cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 342ABC S bc A bc ==⇒=△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ） A ．622+ B ．622- C ．62D ．22【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 42sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()62cos cos cos cos sin sin 4C A B A B A B -=-+=--=-， 由余弦定理可得：2262622cos 1221242c a b ab C -+=+-=++⨯⨯⨯=．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（ ）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ．对点增分集训4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，7c =，3b a =，则ABC △的面积为（ ） A ．334B ．234- C ．2 D ．234+ 【答案】A 【解析】已知3C π=，7c =，3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=， 解得：1a =，3b =，∴11333sin 132224ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V ．故选A ． 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin 23sin C B =得：23c b =， 所以2223323a b bc b =⋅=-，即227a b =， 则22222221273cos 2243b c a b b b A bc b +-+-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC △外接圆的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=， 由正弦定理可得322sin 32aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =， 故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=， 则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 31528ABC S bc A bc ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =， 由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s ab c A B C==，则ABC△是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入， 得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23a =，22c =，tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=（ ） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得3sin 2A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得2sin 2C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 【答案】6π【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知222222222332cos 2242b a a b a bc a b C ab ab ab -+-+-+===≥， 又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当22a =，26b =时等号成立．14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________． 【答案】(12⎤⎦，【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 2sin 124B B B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，，故答案为(12⎤⎦，． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2s i nc o s 2s i n c o s b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________【答案】3【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-， 则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得223cos sin sin a A A A-==，即tan 3A =-，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥， 故4bc ≤，113sin 43222ABC S bc A =≤⨯⨯=△，故答案为3．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =，则ABC △面积的取值范围是__________． 【答案】33324⎛⎤⎥ ⎝⎦，【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得32sin sin sin sin 3a c b A C B ====π，∴2sin a A =，2sin c C =， ∴132sin 3sin sin 3sin sin 243ABC S ac B ac A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△ 23133331cos 23sin cos sin sin cos sin sin 22222422AA A A A A A A ⎛⎫-=+=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ 33333sin 2cos 2sin 2444264A A A π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴33333sin 222644A π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是33324⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 2sin a A c C+=． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △的面积为3，求a 的值． 【答案】（1）23π；（2）21． 【解析】（1）由正弦定理得，3sin cos 2sin sin A A C C+=， ∵sin 0C ≠，∴3sin cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由3ABC S =△可得1sin 32S bc A ==．∴4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴21a =．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长． 【答案】（1）23；（2）7． 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积113sin 4223222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠， 代入得21sin 14B =，由B 为锐角，故57cos 14B =，所以()21sin sin 60sin 60cos cos60sin 7C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠， ∴221372AC=，解得7AC =．。

【 B C b c 【专题 06 解三角形1．【2018 年新课标 2 理科 06】在△ABC 中，cosA ．4B ．C ． ，BC ＝1，AC ＝5，则 AB ＝（ ）D ．2【解答】解：在△ABC 中，cos，cosC ＝2 ，BC ＝1，AC ＝5，则 AB故选：A ．4 ．2．2018 年新课标 3 理科 09△】 ABC 的内角 A ， ， 的对边分别为 a ，△，．若 ABC 的面积为则 C ＝（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．△ABC 的面积为，∴△S ABC，∴sinCcosC ，，∵0＜C ＜π，∴C故选：C ．．3． 2019 年全国新课标 2 理科 15△】 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 b ＝6，a ＝2c ，B则△ABC 的面积为 ．，【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，∵b＝6，a＝2c，B，∴∴c2＝12，，∴，故答案为：．4．【2019年浙江14△】在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝．【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，sinC，在△BCD中，可得，可得BD；∠CBD＝135°﹣C，sin∠CBD＝sin（135°﹣C）（cosC+sinC）（），即有cos∠ABD＝cos（90°﹣∠CBD）＝sin∠CBD，故答案为：，，5．【2018年浙江13△】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a sinB＝，c＝．，b＝2，A＝60°，则【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理得：，即，解得sinB．由余弦定理得：cos60°，解得c＝3或c＝﹣1（舍），∴sinB，c＝3．故答案为：，3．6．【2017年浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6＝61×1×sin60°．故答案为：．7．【2017年浙江14△】已知ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝．【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴BE BC＝1，AE⊥BC，∴AE，∴△S ABC BC•AE2，∵BD＝2，∴△S BDC△S ABC，∵BC＝BD＝2，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠ABE＝2∠BDC在△Rt ABE中，∵cos∠ABE，∴cos∠ABE＝2cos2∠BDC﹣1，∴cos∠BDC，故答案为：，8．【2019年天津理科15△】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin（2B）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理，得b sinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3b sinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b，c，由余弦定理可得cosB．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB，从而sin2B＝2sinBcosB，cos2B＝cos2B﹣sin2B，故sin（2B）＝sin2Bcos cos2Bsin．9．【2019年新课标3理科18】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinb sinA．（1）求B；（△2）若ABC为锐角三角形，且c＝△1，求ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）asin b sinA，即为asin acos b sinA，可得sinAcos sinBsinA＝2sin cos sinA，∵sinA＞0，∴cos2sin cos，若cos0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin，由0＜B＜π，可得B；（△2）若ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得a＜2，可得△ABC面积S a•sin a∈（，）．10．【2019年新课标1理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A ﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．【解答】解：（△1）∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．则sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sinC＝sin（）＝sin cos cos sin．11．【2019年北京理科15△】在ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC中，∵cosB，∴sinB，由正弦定理有：，∴，∵b＞c，∴B＞C，∴C为锐角，∴cosC，∴sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC．12．【2019年江苏15△】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B）的值．【解答】解：（△1）∵在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b，cosB，∴由余弦定理得：cosB，解得c．（2）∵，∴由正弦定理得：，∴2sinB＝cosB，∵sin2B+cos2B＝1，∴sinB，cosB，∴sin（B）＝cosB．13．【2018年江苏17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．＝（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD＝800（4sinθcosθ+cosθ），S•80cosθ（40﹣40sinθ）△CDP＝1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ＝1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t（t＞0），乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y＝3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）＝8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）＝sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）＝cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）＝0，解得sinθ，此时θ，cosθ；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．S＝800（4sinθcosθ+cosθ），矩形ABCDS＝1600（cosθ﹣cosθsinθ），△CDPsinθ∈[，1）；答：θ时总产值y最大．14．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．15．【2018年北京理科15△】在ABC中，a＝7，b＝8，cosB （Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB，∴sinB，．由正弦定理得得sinA，则A．（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即64＝49+c2+2×7×c，【即 c 2+2c ﹣15＝0，得（c ﹣3）（c +5）＝0，得 c ＝3 或 c ＝﹣5（舍），则 AC 边上的高 h ＝csinA ＝3．16． 2018 年天津理科 15△】在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b sinA ＝acos （B（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a ＝2，c ＝3，求 b 和 sin （2A ﹣B ）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得，得 b sinA ＝asinB ，又 b sinA ＝acos （B）．）．∴asinB ＝acos （B），即 sinB ＝cos （B ）＝cosBcos sinBsin cosB ，∴tanB，又 B ∈（0，π），∴B．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B，由余弦定理得 b，由 b sinA ＝acos （B ），得 sinA ，∵a ＜c ，∴cosA，∴sin2A ＝2sinAcosA，cos2A ＝2cos 2A ﹣1，【 b △c∴sin （2A ﹣B ）＝sin2AcosB ﹣cos2AsinB．17． 2017 年新课标 1 理科 17△】 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 ABC 的面积为（1）求 sinBsinC ；（2）若 6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得 △S ABC acsinB，∴3csinBsinA ＝2a ，由正弦定理可得 3sinCsinBsinA ＝2sinA ，∵sinA ≠0，∴sinBsinC；（2）∵6cosBcosC ＝1，∴cosBcosC，∴cosBcosC ﹣sinBsinC，∴cos （B +C ），∴cosA，∵0＜A ＜π，∴A，．∵2R 2 ，∴sinBsinC•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．18．【2017年新课标2理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c＝△6，ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB；（2）由（1）可知sinB，∵△S ABC ac•sinB＝2，∴ac，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．19．【2017年新课标3理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA cosA＝0，a ＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥△AC，求ABD的面积．【解答】解：（1）∵sinA cosA＝0，∴tanA，∵0＜A＜π，∴A，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝4+c2﹣2×2c×（），即c2+2c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，故c＝4．（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcosC，∴16＝28+4﹣2×22×cosC，∴cosC，∴CD∴CD BC∵△S ABC AB•AC•sin∠BAC4×22，∴△S ABD△S ABC20．【2017年上海18】已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x（1）求f（x）的单调递增区间；（△2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，x∈（0，π）．，角B所对边b＝5，若f（A）＝△0，求ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kππ≤x≤kπ，k∈Z，k＝1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（△2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b＝5，若f（A）＝0，即有cos2A0，解得2Aπ，即Aπ，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6＝0，解得c＝2或3，若c＝2，则cosB0，即有B为钝角，c＝2不成立，则c＝3，△ABC的面积为S bcsinA5×3．a．21．【2017年北京理科15△】在ABC中，∠A＝60°，c（1）求sinC的值；（2）若a＝△7，求ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c a，由正弦定理可得sinC sinA，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，acsinB7×36．∴S△ABC22．【2017年天津理科15△】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB，可得cosB．由已知及余弦定理，有13，∴b．由正弦定理，得sinA．∴b，sinA；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA，∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝1﹣2sin2A．故sin（2A）．1．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】设的内角所对边的长分别是，且，则的值为（）A．B．4C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，∵A＝2B，，b＝3，c＝1，可得，整理得a＝6cosB，∴由余弦定理可得：a＝6，∴a＝2，．⎢a 2c 2 -⎪ ⎥ ，若 a 2 sin C = 2sin A,( a + c)2 = 6 + b 2 ，则用“三斜求积”公式求得⎝ ⎭ ⎥⎦4 ⎢ 2 2B ．C ． 14 ⎢ 2 ⎭ ⎥⎦ ．故选 C.2 【江西省新八校 2019 届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为S = 1 ⎡ ⎛ a 2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤⎣∆ABC 的面积为（）A ． 32 D ．1【答案】A【解析】a 2 sin C = 2sin A,∴ a 2c = 2a, ac = 2 ,因为 (a + c)2 = 6 + b 2 ，所以 a 2 + c 2 + 2ac = 6 + b 2 , a 2 + c 2 - b 2 = 6 - 2ac = 6 - 4 = 2 ，1 ⎡ ⎛2 ⎫2 ⎤3 从而 ∆ABC 的面积为⎢ 22 - ⎪ ⎥ =⎝ 2，故选 A. 3 【安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测】已知△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a sin B = 2b s in C ， b = 3 ， cos B = 1 4，则 △ABC 的面积为（ ）A ． 9 15B ．9 15 16C ．3 1516 D ． 9 16【答案】B【解析】由 a sin B = 2b s in C 结合正弦定理可得 ab = 2bc ，则 a2c .由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，可得 9= (2c )2+ c 2 - 2 ⨯ 2c c 1 4，解得 c = 32 ，则 a =3 .又 sin B = 1 - cos 2 B =154，=1【2B．2C．3得DE=DF，则AD为∠BAC的平分线，∴AB2⨯2⨯22=-解得AC=2;在∆ABC中，cos∠BAC=42+22-32218，∴SAB BC BC CA CA AB，则sin A:sin B:sin C=（）所以S1315915ac sin B=⨯3⨯⨯=222416.故选B.4．湖北省黄冈市2019届高三2月联考】如图，在∆ABC中，BD sin B=CD sin C，BD=2DC=22，AD=2，则∆ABC的面积为（）A．33【答案】B【解析】373D．37过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E,F，由BD sin B=CD sin C，AC=又cos∠ADB+cos∠ADC=0，即8+4-AB2BDDC=2，2+4-AC22⨯2⨯2，()2⨯4⨯2=8，∴sin∠BAC=37∆ABC=1372AB AC sin∠BAC=2.故选B.5．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】在∆ABC中，→→5=→→4=→→3A．9:7:8B．9:7:8C．6:8:7D．6:8:7【答案】B设AB • BC = = = t ， ．3ABC = ab sin C = ⨯ a 2 ⨯ = 2 ab sin C = ⨯ a 2 ⨯ =．【解析】BC • CA CA • AB5 4 3所以 AB ⋅ BC = 5t, BC ⋅ C A = 4t , C A ⋅ AB = 3t ，所以 -ac cos B = 5t, -ab cos C = 4t, -bc cos A = 3t ，所以 c 2 + a 2 - b 2 = -10t, b 2 + a 2 - c 2 = -8t , c 2 + b 2 - a 2 = -6t ，得 a = - 9t, b = - 7t, c = - 8t所以 sin A :sin B :sin C = a : b : c = 9: 7: 8故选：B6 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考】在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，3c ,若 a cos A = b cos B ，且 c = 2 ， sin C = ，则 ABC 的面积为（）52 12 A ． 3B ．C ． 3 或D ． 6 或33【答案】C【解析】因为 a cos A = b cos B ，所以 sin A c os A = sin B cos B ，故 sin2 A = sin2 B ，因此 A = B 或 A + B = π2；因为 sin C = 3 π，所以 A + B = 舍去；故 A = B ；所以 a = b ；5 2π 3 4当 C > 时，由 sin C = 得 cos C = - ，又 c = 2 ，2 5 58 10所以，根据余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 可得 4 = 2a 2 + a 2 ，解得 a 2 = ，5 9因此， S 1 1 3 3 10 1⨯ = ；2 2 5 10 9 3π 3 4当 C < 时，由 sin C = 得 cos C = ，又 c = 2 ，2 5 58 所以，根据余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 可得 4 = 2a 2 - a 2 ，解得 a 2 = 10 ，5因此， S 1 1 3 3ABC =2 5 10 ⨯10 =3 .故选 C7 【山东省栖霞市 2019 届高三高考模拟卷】设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，若2 ， A + B = 3A ,∴ 2由正弦定理得 b = b = 2cos A ，即 b = 4cos A．a = 2, B = 2 A ，则b 的取值范围为（ ）A ． (0, 4)C ． (2 2, 2 3)B ． (2, 2 3)D ． (2 2, 4)【答案】C【解析】由锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，若 a = 2, B = 2 A ，∴0 < 2 A <π∴ π2 <3 A < π∴π6< A <π3 ， 0 < A <π43< cos A <2 2a = 2, B = 2 A ,1a 2∴ 2 2 < 4cos A < 2 3则 b 的取值范围为 (2 2, 2 3) ,故选 C.8 【河北廊坊 2018-2019 学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， A = 60︒ ， a = 4 3 ， b = 4 ，则 B = （）A ．B = 30 ︒ 或 B = 150︒C ． B = 30 ︒【答案】C【解析】B ． B = 150︒D ． B = 60︒解：A = 60 ︒ ， a = 4 3 ， b = 4由正弦定理得： s in B = b sin A aa > b∴ B < 60︒4 ⨯ s in 60︒ 1 = =4 3 2．2sin C cos C=sin A(2-2cos2C+cos C-2),() b2+c2-a22+16-10222bc sin A=2⨯2⨯4⨯2∴B=30︒故选C.9【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若∆ABC为锐角三角形，且满足，s in2C=tan A(2sin2C+cos C-2)，则等式成立的是（）A．b=2a【答案】B【解析】依题意得B．a=2b C．A=2B D．B=2A2sin C sin A=cos A1-2cos C cos A,2(sin A c osC+cos Asin C)=sin A，即sin A=2sin B，由正弦定理得a=2b，故选B.10．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，c=4.且a cos B=3b cos A，则∆ABC的面积为（）A．2【答案】A【解析】B．3C．4D．32由余弦定理得：a⋅a2+c2-b2b2+c2-a2=3b⋅2ac2bc，即a2+16-2=32+16-a2解得：a=10∴c os A===∴s in A=1-cos2A= 2bc22⨯422∴S 112∆ABC==2本题正确选项：A11．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a b cBC边上的高为，则+的最大值是______．22c2b=sin A+cos A=2sin A+⎪≤2，由正弦定理可得：a【【答案】2【解析】因为BC边上的高为a2，所以1a1⨯⨯a=bc sin A，即a2=2bc sin A，222b c b2+c2a2+2bc cos A可得+==2c2b2bc2bc=故2bc sinA+2b ccos A⎛π⎫b c+的最大值是2．2c2b2bc⎝4⎭故答案为2．12．【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】∆ABC外接圆半径为3，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60︒，b=2，则c的值为___．【答案】6+1【解析】b c===2R=23sin A sin B sin C∴a=23，解得：a=3sin60由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=4+c2-2c=9解得：c=1+6或1-6（舍去）∴c=6+1本题正确结果：6+113．四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】三角形ABC中，∠BAC=30︒，BC=【解析】2，AC 22，2426.由正弦定理得AC(22)-(2)=所以，三角形ABC的面积为1【解法1：在∆ABC中，∠BAC=30︒，BC=2，AC=22.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2A C⋅AB c os30︒，即2=AB2+8-2⨯22A B⨯3，解得AB=111三角形ABC的面积为AB⋅AC sin30︒=⨯6⨯22⨯=3.222解法2：在∆ABC中，∠BAC=30︒，BC=2，AC=22.BC=，∴sin∠ABC=1，sin∠ABC sin30︒∴∠ABC=90︒，由勾股定理，得AB=226.1AB⋅BC=⨯6⨯2=3.2214．天津市河东区2019届高三二模】如图，已知O A=OB=OC，AB=2，∠ABC=135，OA⋅O B=2，则OB⋅O C=__________.【答案】23【解析】设OA=OB=OC=m(m>0)，∠AOB=θ，在△ABO中，由余弦定理可得：m2+m2-2m2cosθ=4，整理可得：m2(1-cosθ)=2，①由平面向量数量积的定义可得：O A⋅O B=m2cosθ=2，②【4 .由①②有： m 2 (1 - cos θ ) = m 2 cos θ ，解得： cos θ = 12,∴θ = 60 ，即△ABO 为等边三角形， m = 2 ，180︒ - θ θ 由题意可得： ∠OBC = 1350 - = 45︒ + ，2 2∠BOC = 180︒ - 2∠OBC = 90︒ - θ = 30 ，故： OB ⋅ O C = OB ⨯ OC cos ∠BOC = m 2 ⨯ cos30 = 2 3 .15． 黑龙江省大庆第一中学 2019 届高三第三次模拟】已知 ∆ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a = b cos C + c s in B（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 b = 2 ，求 ∆ABC 面积的最大值。

解三角形课 题：正弦定理（两课时） 教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题。

教学过程： 一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？（创设情景）早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里，你能设计一种近似的测量方法吗？——提出课题：正弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD Da A a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明三：（向量法）过A 作单位向量垂直于由 AC +CB =AB两边同乘以单位向量 得 •(AC +CB )=•AB 则j •AC +j •CB =j •AB∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作垂直于得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

高一数学教案解三角形5篇等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多关键问题三角问题与等腰三角形密切相关,形变解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.今天在这里整理了一些，我们一起来呢吧!高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。

[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。

[教学过程] 一、画一画，说一说1、学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。

2、教师巡查练习境况。

3、学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二、分一分 1、小组活动;把附页2中的图2中的三角形需要进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分后?2、汇报：进行分类的标准和方法。

可以按角来分，可以按边来分。

二、按角分类： 1、观察观察具体来说三角形有什么共同的特点，从而归纳出来三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。

2、观察共同第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3、观测观察第三类三角形有什么互助的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

三、按边分类： 1、观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边，这样三角形的三角形叫等腰三角形，并透露各部分的名称。

2、引导学生发现有的菱形三角形三条边都相等，这样的矩形是等边三角形。

讨论等边三角形是等腰三角形吗?四、填一填：24、25页让学生辨认各种三角形。

五、练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能重新考虑是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角总算是九个锐角三角形。

第2题：在点子图上画作三角形第3题:剪一剪。

六、完成26页实践活动。

[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案可解三角形2教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2、了解三角形的高，并能在一般性的三角形中作出中均它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的低.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过菱形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1、三角形的高：三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在正三角形的内部且交于一点.3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出高德帕伦三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于假脉一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1、直角三角形的等腰三条高交于直角顶点处.2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在四边形的外部.4、练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的中间层.作业：P127 1、2、3高一数学教案可解三角形3《三角形中位线》教案一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高中学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教职员加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中所位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的环境问题.在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.四、教学内容媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。

第2课时 正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题．知识点一 正弦定理的变形公式设△ABC 的外接圆的半径为R ，有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (3)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ； (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 边角互化思考 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．知识点三 三角形面积公式思考 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝30°.BC 边上的高AD 是多少？△ABC 的面积是多少？答案 AD ＝b sin C ＝2·sin 30°＝1. S △ABC ＝12a ·AD ＝12ab sin C ＝12×1×1＝12.梳理 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sinA ＝12ca sin B .知识点四 仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．1．仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角．(×)2．在△ABC 中，若b 2＝2a cos B ，则sin 2B ＝2sin A cos B ．(×) 3．平行四边形ABCD 的面积等于AB ·AD sin A ．(√)类型一 边角互化例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状 解 方法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B ) ＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 利用正弦定理判定三角形的形状，主要有两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．转化公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．转化公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆半径)．跟踪训练1 若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二 三角形面积公式及其应用 命题角度1 已知边角求面积例2 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.反思与感悟 对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，但也要结合具体条件，如已知AB ，AC ，就以选S ＝12AB ·AC sin A 为宜．跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.命题角度2 已知面积求边角例3 在△ABC 中，角A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则sin B ∶sin C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角答案 1∶4解析 因为S △ABC ＝12bc sin A ，所以c ＝2S △ABC b sin A ＝231×32＝4，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin B ∶sin C ＝b ∶c ＝1∶4.反思与感悟 条件中涉及面积，要根据解题目标和其它条件()如已知条件中角的大小选取对解题有利的面积公式．跟踪训练3 在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，b ＝3，S △ABC ＝32，则C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 90°解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32，∴c ＝2，∵B ＝60°，b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ∴sin C ＝1，∴C ＝90°.类型三 用正弦定理解决简单实际问题例4 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 为 m.考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 5(3＋1)解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m ．∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m.方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练4 为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝a sin (β＋γ)，∴BC ＝a sin γsin (β＋γ)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin (β＋γ).1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ． 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)， 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． 3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则A B ．(填>，＝，<) 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 答案 ＝解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝ . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得 2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0， ∴sin A ＝32.又∵A 为锐角，∴A ＝π3. 5．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为 ． 考点 解三角形求面积题点 先用正弦定理求边或角再求面积 答案 9 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3.1．用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解．然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标．2．当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化．3．三角形面积公式要根据条件灵活选择．一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为 ．考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案3解析 ∵cos A ＝12，A ∈()0，π，∴sin A ＝32，由a sin A＝2R ，得R ＝ 3. 2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C 的值为 ．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 －15解析 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.3.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为 米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819)(精确到1米)考点 正弦定理的简单实际应用 题点 求高度问题 答案 78解析 先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78(米)． 4．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.5．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状是 ．考点 判断三角形形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形形状 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵A ，B ∈(0°，180°)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图，小山的电视发射塔AB 高为50米，在山下地面C 点，测得塔底B 的仰角为40°，测得塔顶A 的仰角为70°，则小山BD 的高约为 米．(sin 20°≈0.342，sin 40°≈0.643，精确到0.01米)考点 解三角形求高度 题点 由仰角问题求高度 答案 21.99解析 在△ACD 中，∠CAD ＝20°， 在△ACB 中，∠ACB ＝30°， 由正弦定理，得BC ＝50sin 20°sin 30°＝50×0.3420.5＝34.20.在△BCD 中，BD ＝BC sin 40°≈21.99(米)．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b ，则角A 的大小为 ．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形 答案 π3解析 由1＋tan A tan B ＝2cb 及正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B ， 即sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin Csin B，又∵sin(A ＋B )＝sin C >0，sin B >0， ∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝ .考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 2解析 由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 9．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为 ．(用B 表示) 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 解析 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝332， 化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝332， 化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ，所以三角形的周长为BC ＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3. 10．已知圆的半径为4.a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 ．考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积答案 2解析 由正弦定理得，c ＝2R sin C ＝8sin C ，∴sin C ＝c 8. ∴三角形面积＝12ab sin C ＝12ab ·c 8＝116abc ＝116×162＝ 2. 二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，A ＋B ＋C ＝π， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立．12．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C 求：(1)B 的范围；(2)a b的范围． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 (1)在锐角三角形ABC 中，0°<A <90°，0°<B <90°，0°<C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0°<B <90°，0°<2B <90°，0°<180°－3B <90°，得30°<B <45°.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求a b的范围是(2，3)． 13.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000米，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)考点 运用正弦定理求距离题点 在不同三角形中给出角度求距离解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理有 AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝1 00042. 所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042米．三、探究与拓展14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝π2， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 15．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理求面积解 因为tan B ＝12>0，所以B 为锐角． 所以sin B ＝55，cos B ＝255.因为tan C ＝－2，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55. 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. 所以R 2＝2512，R ＝536. 所以πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. 所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（ ） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（ ） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（ ） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离； （2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ． （1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值； （3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。

第8讲 三角函数的图象与性质【题型精讲】题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．（2021·湖北·高三月考）已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2tan sin 2βββ++=，则m =（ ）A ．2B ．2±C ．1D ．±12．（2021·全国·模拟预测（文））已知点(,P x 是角α终边上一点，且1cos 3α=-，则πcos()6α+等于（ ）A ．BC D3．（2021·河南·高三月考（理））已知sin cos θθ+=tan tan 2πθθ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（ ） A ．97-B ．187-C ．718 D ．794．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（ ）A ．177B ．717C ．177-D ．717-5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若tan 2θ=-，则()sin cos sin 1sin 2θθθθ+=+（ ） A ．56-B ．52C ．52-D ．566．（2021·全国·高三月考）已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2cos 12cos ααα⋅+=__________．题型（二）三角函数的图象与解析式1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（ ）A ．()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象 2．（2021·安徽·高三开学考试（理））如图是函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象，将()f x 的图象上所有的点向右平行移动4π个单位长度可得()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·全国全国·模拟预测（理））已知函数()sin cos f x x x =-经过变换可得()sin 2cos2g x x x =+，则下列变换正确的是（ ）A ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍B ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍C ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍D ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍题型（三）三角函数的性质及应用1．（2021·北京十五中高三期中）设函数()21cos cos 2f x x x x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．将函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位可以得到函数()f x 的图象 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减2．（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数()2cos 21f x x x =-+，下列结论中正确的有_______（1）()f x 的图象关于,112π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称（2）()f x 在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（3）()f x 的图象关于3x π=对称（4）()f x 的最大值为33．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称；③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是___________【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·高三月考（理））玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm2．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）A B C D 3．（2021·全国·高三专题练习）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π4．（2021·江西柴桑·高三月考（理））函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称6．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 7．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2- C ．D ．32-第9讲 三角函数中参数ω专题【题型精讲】题型(一）ω的取值范围与单调性相结合1．（2021·甘肃·西北师大附中高三期中）已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高三专题练习）函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．74C ．52D ．6题型(二）ω的取值范围与对称性相结合1．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数()sin()(0),||2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．12．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数()2cos2sin 1222xxxf x ωωω=+-(0>ω)的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型(三）ω的取值范围与三角函数的最值相结合1．（2019·湖南师大附中（理））将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ）A ．713,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1117,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·湖南怀化·（理））将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移32πω个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()()()F x f x g x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为 A ．13B ．12C ．1D ．2题型(四）ω的取值范围与三角函数的零点相结合1．（2021·广西桂林·（文））函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．812,55⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．812,55⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2020·陕西省宝鸡市长岭中学（理））已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2935,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦题型(五）ω的取值范围与三角函数的极值相结合1．（2021·四川·石室中学（文））函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．110,33⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·云南曲靖·（文））已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=-（0>ω）在区间(0,)π内无极值点，则ω的取值范围为 A ．110,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,24⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()cos x f x x ωω=(0>ω)在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．102．（2021·四川·泸州老窖天府中学高三月考（文））已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的一条对称轴为6x π=，一个对称中心为7(,0)24π，则ω有（ ） A ．最小值4 B ．最小值2 C ．最大值4D ．最大值23．（2021·陕西·高三月考（理））已知函数()()sin 0f x x x ωωω+>的图象关于3x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324．（2021·全国·）将函数()sin f x x =的图像先向右平移3π个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．20,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦5．（2020·安徽·马鞍山二中（理））已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．4(0,]9B ．48[,]99C ．48(,]99D ．8(0,]96．（2020·全国·）将函数44()sin cos f x x x =+的图象向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图象，若函数()y g x ω=在[,]124ππ-上单调递减，则正数ω的最大值为 A ．12B ．1C ．32D ．237．（2020·宁夏长庆高级中学（理））若将函数sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0>ω)的图象向左平移6π个单位长度后，与函数cos 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．38．（2020·全国·）已知函数()()sin 02g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，把函数()g x 的图象向右平移2πω得到函数()f x 的图象，函数()f x 在区间22,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在210,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω=（ ） A ．34B ．94C ．13D ．439．（2021·天津滨海新·一模）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2280,,939⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．80,9 ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．280,,199⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．(]0,110．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数()cos f x x x ωω+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则实数ω的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]1,2D ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11．（2021·全国·）已知函数()sin (sin cos )(0)ωωωω=+>f x x x x 在区间(0,)π上恰有2个最大值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1119,88⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1119,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1119,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1119,44⎛⎤ ⎥⎝⎦12．（2021·全国·（文））已知函数()()cos 0f x x x ωωω->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．（2020·四川省泸县第二中学（文））已知112ω>，函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（ ） A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 三角恒等变换、解三角形【题型精讲】 题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．292．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．93．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89-B ．CD ．89题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22226,3c ab a b C π+=++=，则ABC 的面积为（ ）A B C ．1D 12．（2021·河南·高三月考（文））在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2,b B C ==则a c +的取值范围为（ ）A ．(B ．()4C ．(0,D ．()3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）ABC 中，D 为边BC 的中点，8AB =，17AC =，7.5AD =，则ABC 的面积为___________.4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，角75A B C ===︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB ，若2B π=，则四边形ABCD 面积的最大值为________．2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24252．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎣C ．[]0,1D ．2⎤⎥⎣⎦3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m ，山高160m ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）A ．12B ．941C ．1625D ．9164．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC 就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin54︒=（ ）A B C D 5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知13sin()()4444πππϕϕ-=--<<，则cos 2ϕ=（ ）A ．B ．78-C ．78 D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．12- 7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ）A ．可能是锐角B ．一定是直角C ．可能大于23πD ．一定小于56π 8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22(32)(54)0a b a c -+-=，则ABC 最小内角的正弦值为（ ）A ．45B ．34C ．35D 9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．C ．)D ．( 10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（ ）A ．23πB ．2π+C ．23πD ．2π-11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ∠=，N 点的仰角π6CBN ∠=以及cos MBN ∠=间的距离MN =（ ）A ．300m B． C ．600m D．12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）A ．9πB ．143πC ．283πD ．323π 二、填空题 13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos 2x x x x x ++=__________． 14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线1112x π=对称；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中12O O ，为半圆的圆心，则该图形的面积为_________2cm .16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A ．教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．。