研究生矩阵理论

研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。

研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。

本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。

矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。

矩阵的行和列分别代表其维度。

在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。

矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。

逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。

矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。

矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。

对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。

特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。

矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。

对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。

1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。

矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。

这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。

当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。

性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。

性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。

性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。

（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。

性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。

考研数学矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵是一个二维的数组，由m行n列的元素组成。

通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以写成：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]矩阵具有一些基本的性质，包括矩阵的相等、相加、相乘等。

两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即a_ij=b_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

两个矩阵A和B的和是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_ij+b_ij。

两个矩阵A和B的乘积是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_i1*b1_j+a_i2*b2_j+…+a_in*bn_j。

二、矩阵的运算矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的基本操作，它们有一些基本的性质。

矩阵A、B和C满足结合律、分配律、交换律等。

具体的运算规则和性质如下：1. 矩阵的加法设A、B是相同阶数的矩阵，则矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵的加法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC。

同时，零矩阵是矩阵加法的单位元素。

2. 矩阵的乘法设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则矩阵的乘法满足结合律和分配律，即A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC。

但矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。

同时，单位矩阵是矩阵乘法的单位元素。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在研究矩阵的性质和应用中具有重要的作用。

1. 特征值设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。

矩阵A的特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λE)=0来得到。

特征值和特征向量在矩阵的对角化、矩阵的相似性等方面有重要的应用。

2. 特征向量设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。

研究生数学研究：线性代数与矩阵论导论研究生阶段是对数学学科的深入研究和专业发展的重要时期。

在数学领域中，线性代数与矩阵论是一门基础而广泛应用的学科，被广泛用于解决各种实际问题以及其他数学领域的研究中。

什么是线性代数与矩阵论？线性代数与矩阵论是研究向量空间和线性变换的数学学科。

它研究线性方程组以及线性方程组在向量空间中的几何解释。

同时，矩阵论是线性代数的一个重要分支，它主要关注矩阵的代数性质和运算。

线性代数的基础概念在学习线性代数之前，我们首先需要了解一些基础概念。

首先，线性代数是研究向量空间的学科，而向量是具有大小和方向的量。

在二维空间中，向量可以用一个二维坐标表示。

在三维空间中，向量可以用一个三维坐标表示。

此外，线性代数还涉及向量的加法和乘法运算，以及向量之间的点积和叉积等运算。

向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。

一个向量空间是具有一组基础向量的集合，它包含了所有由这些基础向量线性组合而成的向量。

线性代数通过研究向量空间的性质和结构来解决线性方程组和线性变换等问题。

线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题之一。

一个线性方程组由一组线性方程组成，其中未知量的系数是实数或复数。

解线性方程组的问题可以转化为在对应的向量空间中寻找特定的向量或空间。

线性方程组的求解方法解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法和向量法等。

其中，高斯消元法是一种非常常用和基础的方法，它通过进行一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。

线性变换线性变换是线性代数中的重要概念之一。

一个线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的线性性质。

线性变换可以用矩阵表示，其中矩阵的每一列对应于向量空间中的一个基向量。

线性变换的应用线性变换在实际问题中有广泛的应用。

例如，线性变换可以用于图像处理和计算机图形学中的空间变换，也可以用于信号处理和通信系统中的数据编码和解码，还可以用于机器学习和统计学中的数据分析和模型建立等。

⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=+==0)2()(0)(,231213321211p A I p p A I p A I p Ap p p Ap p Ap 即8223)()23104()()()(2234-+--+++=÷λλλψλλλλλλψλg g 得1、求下列矩阵的Jordan 标准型和所用相似变化矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=304021101A ，首先用特征向量法求出Jordan 矩阵J=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111，设相似变换矩阵为P=（p 1 p 2 p 3）,由 可见p 1,p 3是A 的对应特征值1和2的特征向量，而p 2由求解非齐次线性方程组(I-A)x=-p 1得到，特征值1和2的2特征向量分别为p 1=（1，-1,2）T ，p 3=（0,1,0）T 。

求解方程（I-A ）x=-p 1，得到x 的通解，x=(-0.5，-0.5,0)T ，取k=1，得p 2=（0，-1,1）T ，故所用相似变换矩阵P=（p 1，p 2，p 3）2、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ，计算（1）A 7-A 3-19A 4+28A 3+6A-4I ，（2）A -1（3）A 100：（1），算出)(λψ=det （A I -λ），令4-62819--)(3437λλλλλλ++=g ，用由哈密顿凯莱定理)(A ψ=O ，于是g （A ）=I A A 82232-+-；（2）、由)(A ψ=A 3-4A 2+5A-2I=O 得I I A A A =+-)]54(21[2,故A -1可算出。

（3），设0122100)()(b b b q +++=λλλψλλ，注意到0)1()1()2(='==ψψψ，分别将λ=2和λ=1代入上式，再对上式求导数将λ=1代入，解出b 0，b 1，b 2故A 100可算出。

3、各类范数总结范数，称为向量，设1),,,(x 1121∑===nk k Tn x ξξξξ ，范数，称为向量，设∞==k kT n x ξξξξmax ),,,(x 121范数，向量，设p )(),,,(x 1121∑===nk ppk pTn xξξξξ ，范数，称为矩阵，设1111)(m a A a A nj ijni m n n ij ∑∑==⨯==范数，称为矩阵，设F aA a A nj ijni F n n ij 211)(∑∑==⨯==，范数，称为矩阵，设∞⨯==∞m a n A a A ij ji m n n ij ,max )( 范数，称为矩阵，设1max )(1ij jn n ij a A a A ==⨯，范数，称为矩阵，设2)(12λ==⨯A a A n n ij (1λ为A H A 最大特征值)。

《矩阵理论》知识重点一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系2．课程代码：3．课程名称：矩阵理论4．学时/学分：51学时/3学分5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。

7．教材/教学参考书：《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。

《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。

《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。

《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。

二、课程的性质和任务矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。

电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。

因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。

通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。

三、课程的教学内容和要求矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数)第一章矩阵代数（复习，2）1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。