研究生矩阵理论

范 数 （ 又 称 为 谱 范 数 ）为
|| A || 2 r ( A H A)
返回
三、 谱范数的性质
n n ，则 定理 4 设 A C
(1) || A || 2 || A H || 2 || AT || 2 || A || 2
2 ( 2) || A H A ||2 || AA H ||2 || A ||2
求A 、（A A) .
1 1
解：
300 000.5 300 000 A , 100 000 100 000
1
299 999.5 300 000 （ A A) . 100 000 100 000
1
返回
定义 1
设 A是可逆矩阵，称
|| Ax || a || A || a max ( max || Au ||a ) ||u ||a 1 x || x || a
是与向量范数 || x || a 相容的矩阵范数.
推论 1 设 || x || a 是 P n上的向量范数, A 、 B P n n ,
|| A || a 是从属于 || x || a 的算子范数，则它是相容的
定理 3 Vn ( P )上的任意两个向量范数均等价.
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定义 3 设 x
(k )

(k ) (k ) (k ) T ( x1 , x 2 , , x n )
(k ) xi
C n，如果
k
lim
ai
( i 1,2, , n )
则称向量序列x ( k )收敛于a ( a1 , a 2 , , a n ).
有小扰动 A，则当 || A-1 ||a || A ||a 1时，解方程组
( A A) x b,
得
|| A ||a K ( A) || x ||a || A ||a . || A ||a || x ||a 1 K ( A) || A ||a
i, j
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定义 2 设 || || a : P m l R , || || b : P l n R ,
|| || c : P m n R 是矩阵范数，如果
|| AB || c || A || a || B || b 则称矩阵范数 || || a , || || b 和 || || c 相容.
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3. 算子范数
一、 算子范数
定义 1ห้องสมุดไป่ตู้
设 || || a 是 P 上的向量范数， || || m 是
n
P
n n
上的矩阵范数，且
|| Ax ||a || A ||m || x ||a
则称 || || m 为与向量范数 || || a 相容的矩阵范数.
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例 1 设 x P n , A P nn，则
|| A || max ( | a ij |)
i j 1 n
被称为极大行和范数 .
返回
定义 2
设 A C ， i 是 A 的特征值，则 r ( A) max | i | 称 为 A 的 谱 半 径.
i
n n
例 6 设 A P m n，则从属于 || x || 2 的算子
( 3 ) 对任何 n 阶酉矩阵 U及 V都有
|| UA || 2 || AV || 2 || UAV || 2 || A || 2
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定理 5 设 A C n n，则
(1) || A ||2
|| x || || y || 1
max
| y H Ax |
( 2) ||
2 A ||2 ||
矩阵 范数，即
|| AB || a || A || a || B || a
返回
算子范数的特性：
1) 它是所有与向量范数|| x || a 相容的矩阵范数中
最小的.
|| Ax ||a || A ||a max || A || x 0 || x ||a
2 ) 它的两种表达形式
|| Ax ||a || A ||a max ( max || Au ||a ) x 0 ||u ||a 1 || x ||a
定义 2
设 在Vn ( P )上定义了 || x || a , || x || b 两种向 C1 || x ||a || x ||b C 2 || x ||a x Vn ( P )
量范数，若存在常数C1 0, C 2 0，使得
则称 || x || a 与 || x || b 等价.
H 2 || A || 2 || U AV || m2 m 2 || UAV H
i 1
|| 2 m2
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推论 1 设 A P nn , 对任意的酉矩阵U、 V P nn，
有
|| A || m 2 || UA || m 2 || AV || m 2 || UAV || m 2
阵范数，则对任一A C
| i ||| A ||m
n n
，有
其中， i 是A的特征值.
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二、算子范数 的计算:
例 4 从属于向量范数 || x ||1 的算子范数为
|| A ||1 max ( | a ij |)
j i 1 n
被称为极大列和范数 .
例5
从属于 || x || 的算子范数为
i 1
(3) || x || max | x i |
1 i n
1 1 定理 1 (H o lder不等式) 若p, q 1，且 1， p q
..
则对C n任意向量x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T 都有
p 1/ p q 1/ q | x | | y | ( | x | ) ( | y | i i i i ) i 1 i 1 i 1 n n n
K p ( A) || A || p || A 1 || p
是矩阵 A的条件数 .
n n 设 A C ,|| A ||a 是从属于向量范数 || x ||a 的算子 定理 1：
范数，则当 || A ||a 1时，E - A可逆，且
|| （ E A)1 ||a (1 || A ||a ) 1 .
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定理2设 A是可逆， A为扰动矩阵，且 || A1 ||a || A ||a 1，
则
|| A ||a K ( A) 1 1 || A ( A A) ||a || A ||a (2) 1 || A ||a || A ||a 1 K ( A) || A ||a
如果
|| AB || || A || || B ||
则称 || || 是自相容矩阵范数.
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例2
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
i, j
是不相容的矩阵范数 .
1 1 例如 A B 1 1
2 AB 2
A ||1|| A ||
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§6 范数的应用
(1) 矩阵 A可逆 ,A与其扰动矩阵 A满足 什么条件时 ,A A可逆 ?
(2) 当 A A可逆 , A 与( A A) 的
1 1
近似程度如何估计 ?
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例 1 设
6 0 2 0 A A 2 6.00001 0 0.00002
( 4) 对任意x , y C n，有 | || x || || y || ||| x y || .
n
例 1 设x (x1 , x2 , , x n ) C ，则
n
(1) || x ||1 | xi |
i 1
n
n
1 范数 2 范数 无穷范数
返回
(2) || x ||2 ( | xi |2 )1 / 2
|| A || m1 | a ij |
j 1 i 1 n n
是与向量范数 || ||1 相容的矩阵范数.
例 2 设 x P n , A P nn，则 || A || m2 是与 || x || 2
相 容 的 矩 阵 范 数.
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定理 1 设 || x || a 是 P n上的向量范数, A P n n , 则
( 3) 三角不等式 || x y || || x || || y ||, x , y C n .
则 称 映 射|| || 为 C n上 向 量x的 范 数.
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0；
1 ( 2) x 0时， || x || 1; || x ||
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( 3) 对任意x C ，有 || x |||| x ||;
例2
设 x ( x1 , x2 , , xn ) C n，则
|| x || p ( | xi | p )1/ p 1 p
i 1 n
是C n上的向量范数，称为 H o lder范数.
返回
..
定理 2
设 || || 是 C
m
mn 上的范数，A C n ，则
|| A || 是 C n上的范数.
2 2
|| AB || m 2 || A || m || B || m 1
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. 例 3 || ||m1 和 || ||m 2 是 相 容 的 矩 阵 范 数
返回
定理 3 设 A P nn ,
(1) 若A ( a1 , a 2 , , a n ), 则
2 2 || A || 2 || A || || a || i 2 F m2 i 1 n
H 其中， || a i || 2 a 2 i ai .
( 2)
H H || A || 2 tr ( A A ) ( A A) i m2
n
( 3)
对任意的酉矩阵U、 V P n n，有
定义 4
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
定理 4 设 || || 是 C n上的任一向量范数，则
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
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§2 矩阵的范数
定义 1 设 A P m n，若映射 || || ： P m n R
则称映射|| || 为 p m n上的矩阵范数 .
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例 1 设 A P mn，则
|| A || m1
| aij |
j 1 i 1
n m 1 |2 ) 2
n
m
|| A || m2 ( | a ij
j 1 i 1
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
(1)
A A可逆;
返回
定理 3 在方程组 Ax b中， A固定且可逆，令 b 0且
有小扰动，解方程
A( x x ) b b ,
得
|| x ||a || b ||a K ( A) . || x ||a || b ||a
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定理 4 在 Ax b 中， b 固定且非零，令可逆矩阵 A
第二章
向量与 矩 阵的范数
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1 向量的范数
定义 1 设 映射 || ||: C n R满足：
(1) 正 定 性 || x || 0,当 且 仅 当x 0时 ， || x || 0;
( 2) 齐次性 || x ||| | || x ||, R , x C n ;
3) 它是自相容矩 阵范 数(推 论1) .
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定理 2 设 || || m 是相容的矩阵范数，则存在向量
范数 || x || ，使
|| Ax |||| A || m || x ||
P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容 的向量范数。
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定理 3 如果 || || m : C n n R 是一相容的矩
满足
(1) 正定性 || A || 0,当且仅当A 时， || A || 0;
(2) 齐次性 || A ||| | || A ||, P, A P mn ;
( 3) 三角不等式 || A B || || A || || B ||, A, B P m n .