研究生矩阵理论

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研究生矩阵论总复习重点公式

x x0 x x1 2 x x1 x x0 2 H 3 ( x ) y0 [1 2 ]( ) y1[1 2 ]( ) x 1 x0 x0 x1 x 0 x1 x1 x0 x x1 2 x x0 2 m0 ( x x0 )( ) m1 ( x x1 )( ) x0 x1 x1 x0
第四章
一、幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
yk Axk 1 2. 实用计算公式 mk max yk x y /m k k k
当 k 充分大时,有
( k 1, 2, )
1 mk v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x 1 x1 x2 xn
2 2 2 x 2 x1 x2 xn
x max xi
1 i n
2. 常用的矩阵范数
4. A max | i ( A) | 谱半径
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数）（矩阵的谱范数）
2. 迭代法的收敛条件 f ( xk ) ( k 0,1, ) 四、牛顿切线法 xk 1 xk f ( xk ) 五、割线法 f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) ( k 1, 2, ) f ( xk ) f ( xk 1 )
1 (4) 2 2 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( )( x x0 ) ( x x1 ) 4!
第七章
m 1 m xi i 0 m n xi i 0
一、多项式拟合的正规方程组

研究生矩阵论

研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。

研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。

本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。

矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。

矩阵的行和列分别代表其维度。

在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。

矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。

逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。

矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。

矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。

对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。

特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。

矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。

对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。

研究生矩阵论复习提纲(全)

1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。

研究生矩阵理论课后答案第6-7章

求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都对应于唯一 f(x)∈ 唯一的对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵矩阵多项式函数和由特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量的对应系数。若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】一个一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中

矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质：（M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ，则 Gij 是反对称矩阵，易证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +

矩阵考研知识点总结

矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。

这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。

当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。

性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。

性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。

性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。

（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。

性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。

北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解

类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n

即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3

研究生矩阵论3.1

二. 广义逆矩阵的性质及构造方法
定理矩阵 ACnn 有唯一 {1} -逆
A 为非奇异矩阵，且这个 {1}-逆与 A-1一致. 证必要性. 假设 rankA<n ，则有
0 x N ( A) ，将 XA{1} 按列分块为 x ,
1
,x n
把 x 加到 X 的任意一列得
Y x1 , , xi x , , xm
唯一性. 设 X,Y 均满足方程（i）-（iv）,
则
X XAX XAYAX X ( AY ) ( AX ) XY ( AXA)
H H H H
X ( AY ) XAY XAYAY ( XA) (YA) Y
H H H
A Y Y (YA) Y Y
H H H
证毕
R (( AB )( AB ) ) R ( AB ) R ( A)
(1 )
故
( AB )( AB ) (1) A A
必要性. 显然.
另一式类似. 证毕设矩阵 Y,ZA{1}，又设X=YAZ,
定理
则 XA{1,2}. 定理已知矩阵 A 和 XA{1} ，则
XA{1,2}rankX=rankA.
证必要性?
充分性. 因为 R ( XA) R ( X ), 又
rankX=rankA , 所以 rank(XA)=rankX
因而 R(XA)=R(X), 即存在Y 使得 X=XAY
从而 XAX=XA(XAY)=XAY=X
证毕
引理对任意矩阵A 均有 rank A H A rankA rank ( AA H ) 证由 Ax=0 可得 AHAx=0 ;
rank(AHA)=rankAH , 所以 R(AHA)=R(AH)

考研数学矩阵知识点总结

考研数学矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵是一个二维的数组，由m行n列的元素组成。

通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以写成：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]矩阵具有一些基本的性质，包括矩阵的相等、相加、相乘等。

两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即a_ij=b_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

两个矩阵A和B的和是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_ij+b_ij。

两个矩阵A和B的乘积是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_i1*b1_j+a_i2*b2_j+…+a_in*bn_j。

二、矩阵的运算矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的基本操作，它们有一些基本的性质。

矩阵A、B和C满足结合律、分配律、交换律等。

具体的运算规则和性质如下：1. 矩阵的加法设A、B是相同阶数的矩阵，则矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵的加法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC。

同时，零矩阵是矩阵加法的单位元素。

2. 矩阵的乘法设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则矩阵的乘法满足结合律和分配律，即A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC。

但矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。

同时，单位矩阵是矩阵乘法的单位元素。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在研究矩阵的性质和应用中具有重要的作用。

1. 特征值设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。

矩阵A的特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λE)=0来得到。

特征值和特征向量在矩阵的对角化、矩阵的相似性等方面有重要的应用。

2. 特征向量设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。

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(1)
A A可逆;
返回
定理 3 在方程组 Ax b中， A固定且可逆，令 b 0且
有小扰动，解方程
A( x x ) b b ,
得
|| x ||a || b ||a K ( A) . || x ||a || b ||a
返回
定理 4 在 Ax b 中， b 固定且非零，令可逆矩阵 A
定义 4
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
定理 4 设 || || 是 C n上的任一向量范数，则
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
返回
§2 矩阵的范数
定义 1 设 A P m n，若映射 || || ： P m n R
有小扰动 A，则当 || A-1 ||a || A ||a 1时，解方程组
( A A) x b,
得
|| A ||a K ( A) || x ||a || A ||a . || A ||a || x ||a 1 K ( A) || A ||a
( 4) 对任意x , y C n，有 | || x || || y || ||| x y || .
n
例 1 设x (x1 , x2 , , x n ) C ，则
n
(1) || x ||1 | xi |
i 1
n
n
1 范数 2 范数无穷范数
返回
(2) || x ||2 ( | xi |2 )1 / 2
2 2
|| AB || m 2 || A || m || B || m 1
返回
. 例 3 || ||m1 和 || ||m 2 是相容的矩阵范数
返回
定理 3 设 A P nn ,
(1) 若A ( a1 , a 2 , , a n ), 则
定理 3 Vn ( P )上的任意两个向量范数均等价.
返回
定义 3 设 x
(k )

(k ) (k ) (k ) T ( x1 , x 2 , , x n )
(k ) xi
C n，如果
k
lim
ai
( i 1,2, , n )
则称向量序列x ( k )收敛于a ( a1 , a 2 , , a n ).
H 2 || A || 2 || U AV || m2 m 2 || UAV H
i 1
|| 2 m2
返回
推论 1 设 A P nn , 对任意的酉矩阵U、 V P nn，
有
|| A || m 2 || UA || m 2 || AV || m 2 || UAV || m 2
A ||1|| A ||
返回
§6 范数的应用
(1) 矩阵 A可逆 ,A与其扰动矩阵 A满足什么条件时 ,A A可逆 ?
(2) 当 A A可逆 , A 与( A A) 的
1 1
近似程度如何估计 ?
返回
例 1 设
6 0 2 0 A A 2 6.00001 0 0.00002
第二章
向量与矩阵的范数
返回
1 向量的范数
定义 1 设映射 || ||: C n R满足：
(1) 正定性 || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0;
( 2) 齐次性 || x ||| | || x ||, R , x C n ;
返回
3. 算子范数
一、算子范数
定义 1
设 || || a 是 P 上的向量范数， || || m 是
n
P
n n
上的矩阵范数，且
|| Ax ||a || A ||m || x ||a
则称 || || m 为与向量范数 || || a 相容的矩阵范数.
返回
例 1 设 x P n , A P nn，则
则称映射|| || 为 p m n上的矩阵范数 .
返回
例 1 设 A P mn，则
|| A || m1
| aij |
j 1 i 1
n m 1 |2 ) 2
n
m
|| A || m2 ( | a ij
j 1 i 1
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
i, j
返回
定义 2 设 || || a : P m l R , || || b : P l n R ,
|| || c : P m n R 是矩阵范数，如果
|| AB || c || A || a || B || b 则称矩阵范数 || || a , || || b 和 || || c 相容.
|| A || max ( | a ij |)
i j 1 n
被称为极大行和范数 .
返回
定义 2
设 A C ， i 是 A 的特征值，则 r ( A) max | i | 称为 A 的谱半径.
i
n n
例 6 设 A P m n，则从属于 || x || 2 的算子
|| A || m1 | a ij |
j 1 i 1 n n
是与向量范数 || ||1 相容的矩阵范数.
例 2 设 x P n , A P nn，则 || A || m2 是与 || x || 2
相容的矩阵范数.
返回
定理 1 设 || x || a 是 P n上的向量范数, A P n n , 则
如果
|| AB || || A || || B ||
则称 || || 是自相容矩阵范数.
返回
例2
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
i, j
是不相容的矩阵范数 .
1 1 例如 A B 1 1
2 AB 2
例2
设 x ( x1 , x2 , , xn ) C n，则
|| x || p ( | xi | p )1/ p 1 p
i 1 n
是C n上的向量范数，称为 H o lder范数.
返回
..
定理 2
设 || || 是 C
m
mn 上的范数，A C n ，则
|| A || 是 C n上的范数.
满足
(1) 正定性 || A || 0,当且仅当A 时， || A || 0;
(2) 齐次性 || A ||| | || A ||, P, A P mn ;
( 3) 三角不等式 || A B || || A || || B ||, A, B P m n .
3) 它是自相容矩阵范数(推论1) .
返回
定理 2 设 || || m 是相容的矩阵范数，则存在向量
范数 || x || ，使
|| Ax |||| A || m || x ||
P63页，相容的矩阵范数一定存如果 || || m : C n n R 是一相容的矩
返回
定理2设 A是可逆， A为扰动矩阵，且 || A1 ||a || A ||a 1，
则
|| A ||a K ( A) 1 1 || A ( A A) ||a || A ||a (2) 1 || A ||a || A ||a 1 K ( A) || A ||a
求A 、（A A) .
1 1
解：
300 000.5 300 000 A , 100 000 100 000
1
299 999.5 300 000 （ A A) . 100 000 100 000
1
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定义 1
设 A是可逆矩阵，称
( 3) 三角不等式 || x y || || x || || y ||, x , y C n .
则称映射|| || 为 C n上向量x的范数.
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0；
1 ( 2) x 0时， || x || 1; || x ||
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( 3) 对任意x C ，有 || x |||| x ||;
定义 2
设在Vn ( P )上定义了 || x || a , || x || b 两种向 C1 || x ||a || x ||b C 2 || x ||a x Vn ( P )
量范数，若存在常数C1 0, C 2 0，使得
则称 || x || a 与 || x || b 等价.
i 1
(3) || x || max | x i |
1 i n
1 1 定理 1 (H o lder不等式) 若p, q 1，且 1， p q
..
则对C n任意向量x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T 都有
p 1/ p q 1/ q | x | | y | ( | x | ) ( | y | i i i i ) i 1 i 1 i 1 n n n
( 3 ) 对任何 n 阶酉矩阵 U及 V都有
|| UA || 2 || AV || 2 || UAV || 2 || A || 2
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定理 5 设 A C n n，则
(1) || A ||2
|| x || || y || 1