概率论基础复习题及答案

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

[必刷题]2024高一数学下册概率论基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个事件是随机事件？（）A. 太阳从西边升起B. 抛掷一枚硬币，正面朝上C. 1+1=2D. 一个人的年龄不变2. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，从中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？（）A. 5/10B. 3/10C. 2/10D. 1/103. 下列哪个概率模型是离散型概率模型？（）A. 正态分布B. 二项分布C. 均匀分布D. 指数分布4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，求两个骰子点数之和为7的概率是多少？（）B. 1/12C. 1/18D. 1/365. 某班有男生30人，女生20人，随机选取一名学生，选到女生的概率是多少？（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/46. 从0到9这10个数字中随机选取一个数字，选到偶数的概率是多少？（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 下列关于互斥事件的说法，正确的是？（）A. 互斥事件一定是对立事件B. 对立事件一定是互斥事件C. 互斥事件发生的概率之和为1D. 对立事件发生的概率之和为08. 若事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.5，且A与B互斥，则P(A∪B)是多少？（）A. 0.3C. 0.8D. 0.29. 下列关于独立事件的说法，错误的是？（）A. 独立事件同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积B. 独立事件不可能同时发生C. 独立事件中，一个事件的发生不影响另一个事件的发生D. 独立事件的概率乘积等于110. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？（）A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/26二、判断题：1. 互斥事件是指两个事件不可能同时发生，但可以同时不发生。

（）2. 概率值介于0和1之间，包括0和1。

（）3. 事件A的概率为0，意味着事件A一定不会发生。

（）4. 在一次随机试验中，某事件发生的概率为1，则该事件必然发生。

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p −1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f L ==（2）,,2,1,!)(L ==k k c k f kλ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<−∞=−x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>−a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+−≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y −有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。

概率论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X≤0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.3，则P(X=3)的值为：A. 0.0573B. 0.05734C. 0.05735D. 0.0574答案：A3. 若随机变量X与Y相互独立，则P(X>Y)的值为：A. P(X)P(Y)B. P(X) - P(X≤Y)C. 1 - P(X≤Y)D. 1 - P(X)P(Y)答案：C4. 随机变量X服从泊松分布，其期望值为λ，若λ=5，则P(X=3)的值为：A. 0.175467B. 0.175468C. 0.175469D. 0.17547答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/(b-a), a≤x≤bB. f(x) = 1/(a-b), a≤x≤bC. f(x) = 1/(a+b), a≤x≤bD. f(x) = 1/(a-b), b≤x≤a答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = __________，其中μ为均值，σ^2为方差。

答案：1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))2. 已知随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中x≥0，则其期望值为E(X) = __________。

答案：1/λ3. 若随机变量X与Y相互独立，且P(X) = 0.6，P(Y) = 0.4，则P(X∩Y) = __________。

答案：0.244. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=5，p=0.2，则P(X≥3) = __________。

答案：0.031255. 随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k) = (1-p)^(k-1)p，其中k=1,2,3,...，则其方差Var(X) = __________。

2021年大学基础课概率论复习题及答案一、单选题1、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|} C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是 【答案】C2、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有A ）()1()af a f x dx-=-⎰ B ）01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F 【答案】B 3、若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -= 【答案】D4、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 【答案】C 5、设()(P Poission λX分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0 【答案】A6、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B ）{}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C ）{}(1),k kn k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B7、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 【答案】C8、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n -- 【答案】C9、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B ）{}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B10、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|} C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是 【答案】C 二、填空题1、设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C =时CY ～2(2)χ。

复旦大学《概率论基础》习题答案（第一版）第一章 事件与概率2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）A C AB ⇒⊂与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A ⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A(或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A .（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.（3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB .（4）{都不发生}=D C B A D C B A =.（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++CD BD BC AD AC AB =.8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。

由于k b bk b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证∑=++-+≤≤=a k rb b a k b br k a a r C C C 00,.利用幂级数乘法可证明此式。

因为 b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。

第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =U U ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

4、证明下列等式：（1）1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ； （2）0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ； （3）∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码L ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列L ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<L L 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。

概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。

A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。

P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。

答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。

答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。

答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。

答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。

答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。

则分配方法有______种。

答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。

答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。