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模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二共顶点的等腰直角三角形】1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，点E在边AB上，ED与AC交于点F，连接AD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD= CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=CE，∠ACB 与∠DCE为“同源角”．(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．则△ADB≌，此时线段BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．。
模型构建专题：共顶点的等腰三角形◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.。
人教版八年级上册模型构建专题共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .。
专题12模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (10)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图所示，A 、C 、B 三点在同一条直线上，DAC △和EBC 都是等边三角形，AE 、BD 交于点P ，且分别与CD 、CE 交于点M ，N ，证明：(1)ACE DCB △△≌；(2)CM CN ；(3)60APD ∠=︒．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）先证明EMC BNC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（3）由三角形内角和定理可得APD ACM ∠=∠，即可证明．【详解】（1）证明：∵DAC △和EBC 都是等边三角形，∴AC CD =，CE BC =，60ACD ECB ∠=∠=︒，∴ACE DCB ∠=∠，在ACE △与DCB △中，AC CD ACE DCB CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌ ；（2）∵ACE DCB △△≌，∴AEC DBC ∠=∠，∵180DCE ACD ECB ∠+∠+∠=︒，60ACD ECB ∠=∠=︒，∴60DCE ECB ∠=∠=︒，∵CE BC =，60DCE ECB ∠=∠=︒，AEC DBC ∠=∠，在EMC △与BNC 中，DCE ECB CE BC AEC DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMC BNC ≌ ，∴CM CN =；（3）∵180MDP DMP APD MAC AMC ACM ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，又∵MDP MAC∠=∠∴60APD ACM ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．【变式训练】【答案】（1）（2）（4）【分析】根据ABC 与CDE ACE BCD ∠=∠，可证ACE 的度数时，BCE ∠的度数也会发生变化，同时也会出现∵AGC BGF ∠=∠，CBD ∠∴60BFA ACB Ð=Ð=°；(1)如图1，若BD AD⊥．①求CED∠的度数；=；②延长ED交BC于点F，求证：BF CF(2)如图2，若点D在边AC上，延长BD交CE于点60AB AC AD AE BAC DAE AED ∴==∠=∠=∠=︒，，，BAD CAE ∴∠=∠，∴()SAS ABD ACE ≌△△，∴ADB AEC ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90AEC ADB ∠=∠=︒，又∵60AED ∠=︒，∴30CED AEC AED ∠=∠-∠=︒，∴CED ∠为30︒．②证明：如图1，过点C 作CH BD ∥，交EF 的延长线于点H ，则H BDF ∠=∠，由①知，906030AEC ADB ADE AED CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=︒，，，∴180180906030BDF ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴BDF CEH ∠=∠，∴H CEH ∠=∠，∴CH CE =，∵()SAS ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，∴BD CH =，又∵BFD CFH ∠=∠，BDF H ∠=∠，∴()AAS BDF CHF △≌△，∴BF CF =．（2）证明：如图2，过点A 分别作AP BG ⊥于点P ，AP BG ⊥于点Q ，AB AC BAD CAE =∠=∠ ，∴()SAS ABD ACE ≌△△∴BD CE =，ABD ACE S S = ∵AP BG ⊥，AQ CE ⊥，(1)将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30︒，连接AD ，BE ．如图2：在图样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的C DE ' ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【分析】（1）先由等边三角形判断出AC BC =，CE CD =，再由旋转判断出BCE ACD ∠=∠，进而判断出BCE ACD ≌，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a b -，即可得出结论．【详解】（1）解：BE AD=证明： 点C 与1C 重合，ABC 和1C DE △，ABC ∴ 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，30BCE ACD ∠=∠=︒，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=，（2）解：BE AD =，证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=；（3）解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC CD a b +=+，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC CD a b -=-，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出BCE ACD ≌是解本题的关键．4．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践特例感知：如图1，在等边三角形ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且CD BC <，以CD 为边作等边三角形CDE ，连接BE ，分别过点B 作BF ED ∥，过点D 作DF BE ∥，交于点F ，连接AF AC ，与BE 交于点G ．(1)试判断AF 和BE 的数量关系，并说明理由．(2)猜想论证：将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中AF 和BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3)拓展延伸：将如图1所示的CDE 绕点C 按逆时针方向旋转角度()0180αα︒<<︒，当90ABF ∠=︒时，请直接写出α的值．【答案】(1)AF BE =，理由见解析(2)（1）中AF 和BE 的数量关系仍然成立，理由见解析(3)α的值为30︒【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS 证明ABF BCE ≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）延长BC ，交ED 于点M ，根据等边三角形的性质和SAS 证明ABF BCE ≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）利用（2）中的结论解答即可．【详解】（1）解：AF BE =，理由：ABC 和CDE 都是等边三角形，60AB BC CE ED ABC ECD EDC ∴==∠=∠=∠=︒，，，180120BCE ECD ∴∠=︒-∠=︒，DF BE BF ED ∥，∥，∴四边形BFDE 是平行四边形，BF ED ∴=，60FBD EDC ∠=∠=︒，BF CE ∴=，120ABF ABC FBD ∠=∠+∠=︒ ，180120BCE ECD ∠=︒-∠=︒，ABF BCE ∴∠=∠，ABF BCE ∴ ≌，AF BE ∴=；（2）解：仍然成立，理由：如图，延长BC ，交ED 于点M ，，ABC 和CDE 都是等边三角形，60AB BC CE ED ABC ECD EDC ∴==∠=∠=∠=︒，，，E BF D ∥Q ，FBM BME ∴∠=∠，60ABF ABC FBM FBM ∠=∠+∠=︒+∠ ，60BCE CEM CME BME ∠=∠+∠=︒+∠，ABF BCE ∴∠=∠，同（1）可知，BF CE =，()SAS ABF BCE ∴ ≌，AF BE ∴=；（3）解：当90ABF ∠=︒时，如图，，由（2）可知，ABF BCE ∠=∠，90BCE ∴∠=︒，60ECD ∠=︒ ，18030BCE ECD α∴=︒-∠-∠=︒，∴α的值为30︒．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知ABC 和DBE 均为等腰直角三角形，且90ABC DBE ︒∠=∠=(1)试说明：AD CE=(2)试判断AD 和CE 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AD CE ⊥，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB BC =，BD BE =，90ABC DBE ︒∠=∠=，得出ABD CBE ∠=∠，证出ABD CBE ≌，即可得出AD CE=（2）ABD CBE ≌得出BAD BCE ∠=∠，再由180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，得90AFC ABC ︒∠=∠=，即可证出结论【详解】（1）∵ABC 和DBE 是等腰直角三角形，∴AB BC =，BD BE =，90ABC DBE ︒∠=∠=，∵.ABC DBC DBE DBC ∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中,AB BC =，BD BE =，ABD CBE∠=∠∴ABD CBE≌∴AD CE=（2）延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F ，如图所示：∵ABD CBE ≌，∴BAD BCE ∠=∠，∵180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，∵BGA CGF ∠=∠，∵180BAD ABC BGA BCE AFC CGF ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=，∴90AFC ABC ︒∠=∠=，∴AD CE⊥【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE =，BD CE⊥(2)BD CE =，BD CE ⊥，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ⊥，∴BD CE ⊥；（2）BD CE =，BD CE ⊥，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC =，AD AE =，∵BAD BAC DAC ∠=∠-∠，CAE DAE DAC ∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵A F B G F C ∠=∠，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，即BD CE ⊥；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，ABD △和ACE △都是等腰直角三角形，且90DAB EAC ∠=∠=︒，CD 与BE 交于点O ，(1)求证：BE CD =；(2)求证：BE CD ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明CAD BAE ∠=∠，进而证明()SAS ABE ADC ∠≌△，根据全等三角形的性质即可得证；（2）设CA 、BE 交于N ，根据ABE ADC △≌△得出ACD AEB ∠=∠，进而根据三角形内角和定理即可得证．【详解】（1）解：在ABD △和ACE △中，AB AD =，AC AE =，=90BAD CAE ∠=∠︒，∴BAD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即CAD BAE ∠=∠，∵在ABE 和ADC △中AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADC ∠≌△，∴BE CD =；（2）设CA 、BE 交于N ，∵ABE ADC △≌△，∴ACD AEB ∠=∠，∵ANE CNO ∠=∠，180ANE NAE AEN ∠+∠+∠=︒，180ONC NOC OCN ∠+∠+∠=︒，∴90NOC NAE ∠=∠=︒，∴BE CD ⊥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）ABC 与BDE △均为等腰直角三角形，90ABC DBE ∠=∠=︒．(1)如图1，当D ，B ，C 在同一直线时，CE 的延长线与AD 交于点F ．求证：90CFA ∠=︒；(2)当ABC 与BDE △的位置如图2时，CE 的延长线与AD 交于点F ，猜想CFA ∠的大小并证明你的结论；(3)如图3，当A ，E ，D 在同一直线时（A ，D 在点E 的异侧），CE 与AB 交于点G ，BAD ACE ∠=∠，求证：BG AB AC +=．【答案】(1)见解析(2)∠CFA ＝90°，证明见解析(3)见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△CBE （SAS ），由全等三角形的性质得出∠BAD ＝∠BCE ，由对顶角的性质可得出答结论；（2）同理可证△ABD ≌△CBE （SAS ），得出∠BAD ＝∠BCE ，则可得出结论；（3）过点G 作GH ⊥AC 于点H ，同（2）可知∠BAD ＝∠BCE ，证出BG ＝GH ，证明Rt △BCG ≌Rt △HCG （HL ），由全等三角形的性质得出BC ＝CH ，则得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，在△ABD 和△CBE 中，AB BC ABD CBE BD BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＋∠AFE ＋∠FEA ＝∠BCE ＋∠ABC ＋∠BEC ＝180°，又∵∠FEA ＝∠BEC ，∴∠CFA ＝∠ABC ＝90°．（2）解：∠CFA ＝90°．理由如下：同理可证△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BAD ＝∠BCE ，∴∠CFA ＝∠ABC ＝90°．（3）过点G 作GH ⊥AC 于点H ，同（2）可知∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＝∠ACE ，∴∠ACE ＝∠BCE ，∵AB ⊥BC ，GH ⊥AC ，∴BG ＝GH ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠AGH ＝45°，∴GH ＝AH ，∴AH ＝BG ，在Rt △BCG 和Rt △HCG 中CG CG BG HG⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △BCG ≌Rt △HCG （HL ），∴BC ＝CH ，∴AC ＝AH ＋CH ＝BG ＋BC ＝BG ＋AB ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =．则①BAD ∠___________CAE ∠（填>、＜或=）②连接线段BD 和CE ，则BD ___________CE （填>、＜或=）(2)如图②，ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =，若点D 、点E 均在ABC 外，连接BD 、CE 交于点M ，连接AM ，则线段BD CE 、还满足以上数量关系吗？请说明理由【答案】(1)①=，②=(2)BD CE =，见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义可知两个三角形的顶角相等，利用角的和差即可得到①的结论；再结合“SAS ”即可得到BAD ≌CAE V ，根据全等三角形的性质即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到BAD CAE ∠=∠，再结合“SAS ”即可得到()SAS BAD CAE ≌△△，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）①BAD CAE ∠=∠；∵ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB AC =，AD AE =，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠；②BD CE =；在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴BD CE =．（2）满足以上关系证明：如图②，∵ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠，即CAE BAD ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴BD CE =．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，根据题目信息识别出来全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，ABC 与CDE 都是等腰三角形，42AC BC CD CE ACB DCE AD BE ==∠=∠=︒，，，、相交于点M ．(1)试说明：AD BE =；(2)求AMB ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)42︒【分析】（1）由“SAS ”可证≌ACD BCE V V ，可得BE AD =；（2）根据全等三角形的性质可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算AMB ∠．【详解】（1）解：证明：ACB DCE ∠=∠ ，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ACD BCE ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）ACD BCE ≌，CAD CBE ∴∠=∠，18042138BAC ABC ∠+∠=︒-︒=︒ ，138BAM ABM BAC CAD ABC CBE BAC ABC ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，18013842AMB ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ≠≠．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE ∠=∠=︒时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE ∠=∠≠︒，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE ∠=∠=︒∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAC DAB BAC ∠=∠+∠，BAE CAE BAC ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =，BAE DAC ∠=∠，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ∠=∠≠︒，∴AB DB AD =≠，AC EC AE =≠，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ≠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB ∠与DCE ∠为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ∠=︒，则∠=EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ∠=∠，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE ∠=︒可求出45DCE ACB ∠==︒，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ∠∠=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD ∠的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ∠=∠，所以ACD BCE ∠=∠．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ∠=∠．∵90ACE ∠=︒，∴45DCE ACB ∠==︒．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ∠∠=．∵MOE COD ∠=∠，∴45EMD DCE ∠=∠=︒．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠．又因为90BCP PCA ︒∠+∠=，所以90ACQ PCA ︒∠+∠=．所以90PCQ ∠=︒，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
学好数学的秘密1、学完多思考要想学好数学一定要多思考。
主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。
独立思考是学习数学必须具备的能力。
同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。
2、多做练习题要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。
只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。
3、善于总结规律我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。
模型构建专题：共顶点的等腰三角形◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.。
第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一 共顶点的等边三角形】 (1)【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 (3)【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 (6)【类型一 共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMCÐ=Ð(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC >．(1)求证：AD BE =；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF =；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH =，5CH =，直接写出BH 的长．2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，ABD △，AEC △都是等边三角形．求证：BE DC =．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD 与BE 交于点O ，AB 与CD 交于点M ，AC 与BE 交于点N ，连接AO ，求证：AO 平分DOE Ð；(3)在（2）的条件下再探索OA，OC，OE之间的数量关系，并证明．V是等边三角形，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD 3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知ABC为边在直线AD右侧作等边三角形ADE．(1)如图1，当点D在BC边上时，连接CE，此时AB，CD，CE之间的数量关系为______，ACEÐ=______；(2)如图2，当点D在BC的延长线上时，连接CE，（1）中AB，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；Ð(3)如图3，当点D在射线BC上运动时，取AC的中点F，连接EF，当EF的值最小时，请直接写出CFE 的度数．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC V 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC V 内部，点E 在ABC V 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC V 与CDE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB Ð的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．3．（2023春·全国·七年级期中）如图，CAB △与CDE V 为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，CA CB CD CE ==．，45CAB CBA Ð=Ð=°，45CDE CED Ð=Ð=°，连接AD 、BE ．(1)如图1，若30CAD Ð=°，10DCB Ð=°，求DEB Ð的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF =，3AD =，求CEF △的面积；(3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ^，延长CD 与AB 交于点N ，在BC 上有一点M 且BM CG =，连接NM ，请猜想CN 、NM 、BG 之间的数量关系并证明你的猜想．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC 上的高AH 叫做的“余高”．(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是．①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：．(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．ABC V ADE V AB AC AD AE ===ABC ÐADE ÐABC V ADE V ABC V ADE V ABC V ADE V BD CE ABD △ACE △ABC V ADE V 0180BAC °<Ð<°ADE V AH AH 2DE AH =90BAC Ð=°ABC V ADE V BD CE 6BD =8CE =AB【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC V 中，AB AC BC ¹¹．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE Ð=Ð=°时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE Ð=й°，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．。
