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高等数学交错级数审敛法,绝对条件收敛

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高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛

高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛


定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛

第三节绝对收敛与条件收敛

第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛


级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
交错级数、绝对收敛与条件收敛

交错级数、绝对收敛与条件收敛


证明
Sn u1 u2 u3 u4
rn s Sn
(1)n1un
( un1 un2
)
rn un1 un2 rn un+1.
新的交错级数
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例1
n1
(1)n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1 1 n
un
1 n
单调递减
lim
n
u
n
0
故由莱布尼茨定理，
机动 前页 后页 返回
un发散
un
N
un 0
Y
| un |敛
N
用比值法
un 收敛
Y un绝对收敛
条
用L—准则或考察部分和
件
收
N
un收敛 Y
敛
机动 前页 后页 返回
rn s Sn
s
u2 uu34
O S2 S4 S6 S6
S2n S2n1
u 2 n 1S
2
n
1
S5 S3
S1(u1) x
机动 前页 后页 返回
| rn | un1 rn s Sn
u2 uu34
O S2 S4
Sn1 s | rn | S n u n 1
S3 S1(u1) x
机动 前页 后页 返回
条件收敛.
(1)n1 1
n 1
n
条件 收敛;
(1)n1 1
n1
n2
绝对 收敛;
(1)n1 1 1
n1
n n1 n
发散
n1
(1)n1
1 n2
n1
1 n2
收敛
机动 前页 后页 返回
高等数学1203

高等数学1203


. (2)任意项级数 ∑un ,如果∑| un |收敛，则 ∑un 绝对收敛 n=1 n=1 n=1
但 ∑| un | 散 ， 们 能 断 un非 对 敛 当 发 时 我 只 判 ∑ 绝 收 ，
n=1 n=1 ∞ ∞
而 能 断 必 发 . 不 判 它 为 散
n=1 ∞ n+1 1
即 un > un+1 ：
符合莱布尼兹定理条件 ， n
故是收敛的，其和 s < 1
二、绝对收敛与条件收敛 任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正 数，又有负数的任意实数. 定义 (1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛， 则称原级数绝对收敛； (2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成 的级数发散，则称原级数条件收敛.
定理2 定理2 如果任意项级数
n=1
∑un = u1 + u2 + L+ un +L
∞
的各项绝对值组成的级数
n=1
∑| un | =| u1 | + | u2 | +L+ | un | +L
∞
收敛，则原级数必定收敛.
sin nα 例２ 判定级数 ∑ 2 是绝对收敛还是条件收敛． n n=1 sin nα 1 ≤ 2 解 因为 un = 2
n =1
(u n > 0)
（ ） ∑ − 1 u n = u1 − u 2 + u3 − u 4 + L + u 2 k −1 − u 2 k + L (u n > 0)
n −1
定理1 定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 un ≥ un+1 (n = 1 2,3,L , ); (2)级数的通项趋于零，即 limun = 0
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛

5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛


(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛

高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛


1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
高数-任意项级数敛散性判别法

高数-任意项级数敛散性判别法


x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
二、交错级数及其审敛法

二、交错级数及其审敛法


例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数
7.3交错级数与绝对收敛

7.3交错级数与绝对收敛

n 1
10
注 此定理的逆命题不一定成立：
经 典 反 例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1


n
收敛
11
上述定理的作用： 任意项级数

正项级数

则称 un 绝对收敛； 定义： 若 un 收敛，
(3)p-级数

q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定 如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n

n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1

由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2

1 例如： 2 收敛, n 1 n

1 n 发散. n 1

27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定 充要条件 改用它法 定义
1
比较审敛法
1
收 敛 发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数 发散. n 1 n
交错级数

交错级数


往往比较容易判断，所以我们先来求
2n 1
lim
n
un

lim
n
n2
0.
nlim un
.
对于条件 (1)， 有时可利用导数工具来判断 .
设函数
f
(x)

2x 1 x2
,
因为
f
(
x)

2(1 x3
x)
.
所以当x ≥
1时 ,
f ( x) ≤
0 .即函数
f
(x)

2x 1 x2
00011110的近似值项和来做为就是误差值又因为该级数是满足莱布尼茨审敛法的条件的交错级数因为其第五项观察级数1110只要前四项和来计算所以1110就可以保证近似值的误差不超过00001也是交错级数所以余项的各项取绝对值后将级数收敛如果就称原级数绝对收敛
第六模块 无穷级数
第三节 任意项级数
一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛
rn ≤ un1 .
观
察
级
数
n1
( 1)n1
1 10n1
, 因为其第五项
u5

1 104

0. 0001 .
所以 , 只要前四项和来计算10 的值 , 即 11
10
11 1
11
1 10

102
103
0. 909
,
就可以保证近似值的误差不超过 0.0001 .
二、绝对收敛与条件收敛
n1
( 1)n1
2n n2
1
条件
收敛 .
Sn S2m1 S2m u2m1 ,
再由条件 (2) 可得

高等数学第三节 绝对收敛与条件收敛1


x
x
34
n
单减，且lim ln n 0, 所以该级数收敛；
n n
2( n 1)2
(3) un1 un

(n 1)! 2n2

22n1 n 1
1,
该级数发散；
n!
(4) (1)n
(1)n n 1 1 (1)n 1 1 1 ,
n 1 (1)n
nn
第三节 级数的绝对收敛与条件收敛
1.交错级数审敛法 交错级数的概念、莱布尼茨定理 2.绝对收敛与条件收敛 绝对审敛原理、绝对收敛概念、条件收敛概念
一、交错级数及其审敛法


设 un 0 ，称级数 (1)n un或者 (1)n1un 为交错级数．
n1
n1

定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)n1un满足
2
答案 选（D）．

例9 设交错级数 (1)n1un (un 0, n 1, 2,3, ) 条件收敛，证明 n1


级数 与 u2n1 u2n 均为发散的.
n 1
n 1
证明：记 n u1 u2 un , n u1 u3 u2n1
和不变.

级数的Cauchy乘积： 设有级数 un 与

vn
，称
n 1
n 1

(u1vn u2vn1 unv1) 为它们的Cauchy乘积.
n1


性质2 如果级数 un 与 vn 都绝对收敛，其和分别为σ与τ，
n 1
n 1
那么它们的Cauchy乘积也绝对收敛，且有
解
该级数的前 n 项部分和 sn

9.3绝对收敛与条件收敛


例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1

例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1


1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散， 练习： 2.设正数列{an}单调下降， 且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散 收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明 令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n

例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n


如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则： 判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1

高等数学交错级数审敛法,绝对条件收敛

判定正项级数敛散性的思路与方法：

n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un

0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)

(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1


1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1

un1,
且
lim
n
un

lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；

交错级数及其审敛法

n1
（1）un un1 (n 1, 2, 3, )；递减
（2）lim n
un
0，
则级数收敛,且其和 s u1,
其余项 rn 的绝对值 rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
0
0
0
数列 s2n是单调增加的 ,
第二节 常数项级数的审敛法（2）
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
二、交错级数及其审敛法
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun
n1
n1
(其中un 0)
如
1
n1
1 ,
n1
n
n1
1
n
1 2n
定理6 （莱布尼茨定理）
如果交错级数 (1)n1un满足条件:
4.绝对收敛
法 5.比较法
5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼茨定理)
二、绝对收敛与条件收敛
an 收敛 an 收敛(绝对收敛)
n1
n1
an 发散, an收敛 an条件收敛.
n1
n1
n1
an 发散,则用其它方法判断 an的敛散性.
n1
n1
若交错级数可用莱布尼兹定理判断收敛;
若用比值(根值)法判定 an 发散,则 an发散.
rn un1 un2 , 交错级数
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例7 判断 1 n1 1 的收敛性.
n1
n
解 1 n1 1 为交错级数,
n1
n
且满足莱布尼兹定理的条件:

《微积分》绝对收敛与条件收敛

9-2 绝对收敛与条件收敛
1、交错级数及其审敛法 2、级数的绝对收敛与条件收敛
交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.


( 1 ) n 1 u n 或
(1)nun
( 其中
u n
0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un un1 (n 1,2,3, );(ⅱ)lim un 0 , n
余项 r ( u u ),
n
n1
n 2
rn u n 1 u n 2 ,
满足收敛的两个条件, rn u n 1 .
定理证毕.
例
判断级数
( 1) n 1
( p 0)
n 1
np
的收敛性.
( 1) n 1
解： 所给级数 n 1
2 、 2 n sin ；
n1
3n
n1 ；
n
ln( n 2 )
3、 n1 (a 1 )n n
(a 0).
六 、 判 别 下 列 级 数 是 否 收 敛 ?如 果 是 收 敛 的 ,是 绝 对 收
敛还是条件收敛?

1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值 rn un1.
证明 u n 1 u n 0 ,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s 是单调增加的 , 2n
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n

《高等数学B》第十一章 无穷级数 第3节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

n→ ∞
rn ≤ un+1 .
证明 Q un−1 − un ≥ 0 ,
Q s2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
数列s2n 是单调增加的,
又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n ≤ u1
∞
∞
正项级数
定义: 若 ∑ un 收敛 , 则称 ∑ un 为绝对收敛 绝对收敛; 定义
n→ 0
n =1
若 ∑ un 发散 , 而 ∑ un 收敛 , 则称 ∑ un为条件收敛 .
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
sin n 的收敛性. 例3 判别级数 ∑ 的收敛性 . 2 n =1 n
解 Q
∞
sin n 1 ≤ 2, 2 n n
n=1 n =1 ∞ ∞
1 证明 令 vn = ( un + un ) ( n = 1 , 2 , L) , 2
显然 vn ≥ 0 ,
∞
且 vn ≤ un ,
∞
∴
∑ vn 收敛 , n =1 ∑ un 收敛 . n =1
∞
∞
又Q
∑ un = ∑ (2vn − n =1 n =1
un ) , ∴
证毕
上定理的作用: 上定理的作用 任意项级数
第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 定义: 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数 .
∑ (−1) n =1
∞
n −1
un 或
∑ (−1) un ; 0 )
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或
称为交错级数 .
交错级数审敛法 ( Leibnitz 莱布尼兹定理 )
若交错级数
满足条件:
1)
un un1 ( n 1, 2, );

2)
lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 其和非负且 S u1,
n1
其余项满足 rn un1 .
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
判定正项级数敛散性的思路与方法：

n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un

0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
结论：交错级数

(1)n1
n1
1 np
(p
0)
当p>1时，绝对收敛；当p 1时，条件收敛。
例4. 判定级数 xn 的敛散性
n1 n
解:Q lim un1 lim xn1 n lim n x x
u n n
n n 1 xn
n n 1
证: 设
收敛 ,
令
vn

1 2
( un

un
)
(n 1, 2, )

显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,


n1
而 un 2 vn un 且 un , 2 vn 收敛。

n1
n1
所以 un 也收敛。
n1
注意：
发散，只能说明原级数不绝对收敛；
所以，当 x 1 时，级数绝对收敛 ；
当 x 1 时，级数绝对发散 ；
当 x 1 时，级数为 1 发散；
n1 n

当 x 1 时，级数为
(1)n
条件收敛。
n1 n
小结
1.交错级数的 Leibniz审敛法:
un un1 0 lim un 0
n

(1)nun 收敛
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)

(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1


1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1

un1,
且
lim
n
un

lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
S2n1

lim (
n
S2n

u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 0 S
rn un1 un2 un1
例1 简答：用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
2 1 1
3 1
4 1

un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! 1 1n
1 1n 1 10n 收1n 敛
2! 3! 4!
n! 1n0!n
3)
1 10

2 102

3 103

4 104


(1)n1
n 10n

收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如

：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n

(1)
n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理2：若

收敛 ,则 un 也收敛
n1
所以，对一切 x 值，级数绝对收敛。
例3. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，
还是条件收敛？
(1) sin n ;
n4
n1
(2)

(1)n
1
n1
n
p级数中p>1的情形
解: (1)

sin n
n4

1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
由比较审敛法可得 sin n 收敛
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
(3) 当 1 时，本法失效 .
例2 判定级数
的敛散性 .
解：
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。