线性代数课件 04.线性方程组解的结构

为该方程组的解，则
x11
x
x
21
x
n1
称为方程组的解向量．
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
b22 xr+2
b1,nr xn , b2,nr xn ,
xr br1 xr+1 br 2 xr+2 br,nr xn .
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组 的通解
x1
x2
b11c1 b12c2 b21c1 b22c2
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ② 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为

1 2 （1）化方程组的增广矩阵为行最简形，写
出方程组的全部解。令自由未知量全为0，
0 12
.
得到一个特解。
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
0 0 0
1 2 0 0
5 7 0 0
1 1
4 0
0 0
0 0
1 1 0 0
5 7
2 0
0
1
1
2 0 0
0
0
0
0
1 0 0
3
2 7
2 0
0
1
2
0
0
即原方程组与方程组
x1
3 2
x3
x4
x2
7 2
x3
2 x4
同解，其中 x3 , x4 是自由未知量
x3 , x4 T 取值 1,0T ,0 ,1T ，分别得方程组的解为
从而基础解系为 v1
1 2
,
v2
0
;
3
通解为v
c1v1
c2v2 .
0
1
三、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0

础解系.
在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程 组的通解，再从通解求得基础解系. 其实我们也
r xn ,可先求基础解系，再写出通解. 这只需在得到方
程组 (3) 以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ···,
r xn x, n 取下列 n – r 组数：
xr1 1 0 0
xr2
x = 1 + 2 也是 (2) 的解.
证 只要验证 x = 1 + 2 满足方程 (2) :
A( 1 + 2) = A1 + A2 = 0 + 0 = 0.
性质 2 若 x = 1 为 (2) 的解, k 为实数, 则
x = k1 也是 (2) 的解.
证 A( k1) = k(A1) = k 0 = 0.
1 1 ,2 0 ,,nr 0 .
0
1
0
0
0
1
依据以上的讨论，还可推得
定理 7 设 m×n 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n – r .
当 R( A ) = n 时,方程组 ( 1 ) 只有零解,因为没 有基础解系 (此时解空间 S 只含一个零向量, 为 0 维向量空间 ). 而当R( A ) = r < n 时,方程组 ( 1 )必 有含 n – r 个向量的基础解系. 因此，由最大无 关组的性质可知，方程组 (1) 的任何 n – r 个线 性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的 通解的形式也不是唯一的.
第四节 线性方程组的解的结构
主要内容
方程组有解的条件与解法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组

r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1