线性代数重要知识点及典型例题问题详解

线性代数重要知识点及典型例题问题详解线性代数知识点总结第⼀章⾏列式⼆三阶⾏列式N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。

（转置⾏列式T D D =）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。

推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。

③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。

推论：若⾏列式中两⾏（列）成⽐例，则⾏列式值为零；推论：⾏列式中某⼀⾏（列）元素全为零，⾏列式为零。

④⾏列式具有分⾏（列）可加性⑤将⾏列式某⼀⾏（列）的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式ij M 、代数余⼦式ij j i ij M A +-=)1(定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。

克莱姆法则：⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式0≠D 时，有唯⼀解：)21(n j DD x j j ??==、齐次线性⽅程组：当系数⾏列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式：①转置⾏列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称⾏列式:ji ij a a =③反对称⾏列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称⾏列式值为零④三线性⾏列式:333122211312110a a a a a a a ⽅法：⽤221a k 把21a 化为零，。

化为三⾓形⾏列式⑤上（下）三⾓形⾏列式:⾏列式运算常⽤⽅法（主要）⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）化三⾓形⾏列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第⼆章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵、列矩阵、n 阶⽅阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义⼀般AB=BA ，不满⾜消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) ⽅幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对⾓矩阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于⼀个数（若……）单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵）=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与⾏列式的联系与区别：都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等，就相等，矩阵是⼀个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，⾏列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B ⼀定是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B ⼀定互逆；③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。

第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。

练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。

练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。

练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。

练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。

=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。

==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。

考研《线性代数》考点与考研真题详解线性代数作为考研数学中的重要组成部分，对于许多考生来说是一个具有挑战性的科目。

为了帮助考生更好地掌握线性代数的考点，提高解题能力，本文将详细梳理线性代数的主要考点，并结合考研真题进行深入分析。

一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，其计算方法和性质是考试的重点。

1、行列式的定义n 阶行列式是一个数，它是由 n 行 n 列的元素按照一定的规则计算得到的。

2、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）行列式中某行（列）的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

3、行列式的计算常见的计算方法有：上三角法、按行（列）展开法、利用行列式的性质化简等。

考研真题示例：计算行列式＼＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼解：将行列式按第一行展开，得到＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）－1\times(1\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix}0 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）＼＼＝＆2\times(2\times(4 1) 1\times(2 0)） 1\times(4 1 0)＼＼＝＆2\times(6 2) 1\times 3\＼＝＆8 3\＼＝＆5＼end{align}＼二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等。

②、

a11 a21

a12
a22

a1 n a2 n



x1
x2



b1
b2


Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2

amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2



an


x1
x2



（全部按列分块，其中



b1 b2




）；



xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)

大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。

因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。

b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。

我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。

则得到 z = -6 + 5t。

将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。

因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。

2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。

解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。

我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。

因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。

线性代数部分重点及典型问题举例第二章，矩阵考试要求：⑴ 了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念；⑵ 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶ 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷ 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。

典型例题一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 答案:A2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB =C . 1T 11T )()(---=B A ABD . T 111T )()(---=B A AB 答案：B3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB =C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(BD .111)(---=A B AB 答案：D4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）．A ．B AB = B ．BA AB =C ．I AA =D ．I A =-1 答案D5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A .B B . 1+BC . I B +D . ()I AB --1 答案C6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 答案 D7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 答案：B二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .答案：同阶矩阵2．若矩阵A = []21-，B = []12-，则A T B=．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2412 3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 答案：0=a4．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 答案：3-≠a5．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X ． 答案A B I 1)(--6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ． 答案：n7．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．答案：22.计算题（1）设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 （2）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=843722310A ，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I ． 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ →----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111 （3）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A第三章 线性方程组考试要求：⑴ 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解；⑵ 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理．重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解非齐次线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )． 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．典型例题：一、单项选择题1．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．1-C ．2D ．21 (答案D)2． 若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝m C ．秩(A ）≠ 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )(答案C)3．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 答案 A4． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解 答案B5．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解 答案B6．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定 答案C二、填空题1．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b ． 答案：无解2．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非零解，则=λ．答案：-1=λ3．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．答案：r n -4．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .5．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A 则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.答案：1-=d三.计算题1．求解线性方程组的一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=++-0232022023432143214321x x x x x x x x x x x x解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----010030101031020031101231311031101231232121211231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→010********* 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧===03834241x x x x x (4x 是自由未知量) 2．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解．解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---1000010511102121119102220105111021211114796371221211λλλ 所以，当1=λ时，方程组有解，且有无穷多解，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00000105111084901 答案：⎩⎨⎧++-=--=43243151110498x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量．3．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-λ432143214321114724212x x x x x x x x x x x x 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---273503735024121114712412111112λλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→500003735024121λ 当5=λ时，方程组有解，且方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=432431575353565154x x x x x x其中43,x x 为自由未知量．。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明0A =应用经转置行列式的值不变；某行有公因数k ，可把k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 两行互换行列式变号；某行的k 倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的n 个元素之积的代数和1nn ik ik k D a A ==∑（按i 行展开）1nn kj kj k D a A ==∑（按j 行展开）余子式、代数余子式给定（i ,j ）元的值未给定（i ,j ）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式； 递推、数学归纳法；等用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况； 求方阵的特征值。

()n n R n ⨯<A ；0是方阵A 的特征值；=-A A行列式行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522353124也是9的倍数。

解答：522353124231321010r r ,r r ++522353531252234139r 5229353582726【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A αα 1det ，则新的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-113221det ααααααααn n n B ， ()00,,3,2det 11321113221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B特殊行列式1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式1111111111221122221111111niii nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a ====∏2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式()()12111111212212121111111n n n n n nn,n,n ,n ,n iii n n,n nnn n a a a a a a a a a a aa a a a a ----=-===-∏3、分块三角行列式 形式简记为：*==⨯*A O A AB BO B，()1k n⨯*==-⨯*O A AA B BB O4、范德蒙德行列式()211112112122222221212121111111121121111111,,,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==()()121,,,n ijn i j f x x x x x ≥>≥=-∏ ()()()()()1213211212111,,,n nj n j j j n j n j j j f x x x xx xx xx x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=-⋅---∏∏∏∏()()()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----()()()()()()()12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------认识范德蒙德行列式可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x 的函数，即()12,,,n n D f x x x =。

考研《线性代数》考点与考研真题详解一、行列式行列式是线性代数的基础概念之一，其计算方法和性质是重要考点。

计算行列式的方法包括：按行（列）展开、化上（下）三角行列式等。

行列式的性质包括：行列式与它的转置行列式相等；行列式中某行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；若行列式某两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零等。

例如，在考研真题中，可能会给出一个具体的行列式，要求计算其值。

这时，我们可以先观察行列式的特点，看是否可以通过倍加等操作化为上三角或下三角行列式，然后直接计算主对角线元素之积即可。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容，包含众多考点。

矩阵的运算，如加法、乘法、数乘等，需要熟练掌握运算规则。

矩阵的逆是一个重要概念，求逆矩阵的方法有伴随矩阵法和初等变换法。

矩阵的秩也是常见考点，通过初等变换将矩阵化为阶梯形，非零行的行数即为矩阵的秩。

真题中，可能会给出两个矩阵，要求判断它们是否可乘，或者求矩阵的逆，或者通过矩阵的秩来判断线性方程组解的情况。

三、向量向量组的线性相关性是向量部分的重点。

判断向量组线性相关性的方法有定义法、秩法等。

向量组的秩与极大线性无关组的概念和求法也需要掌握。

例如，真题中可能会给出一组向量，要求判断其线性相关性，并求出极大线性无关组。

四、线性方程组线性方程组是考研的重点和难点。

解线性方程组可以使用高斯消元法，将增广矩阵化为行最简形。

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数；非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

在考研真题中，经常会要求求解具体的线性方程组，或者根据线性方程组解的情况确定参数的值。

五、特征值与特征向量这部分内容在考研中经常出现。

计算特征值和特征向量的方法，以及特征值和特征向量的性质要熟练掌握。

相似矩阵的概念和性质也是考点之一，相似矩阵具有相同的特征值。

通过真题可以更好地理解如何运用这些知识解题。

考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析一、矩阵的运算矩阵的加法、乘法、转置以及数量乘法等是矩阵运算的基本操作。

矩阵的加法和乘法具有结合律、交换律和分配律等基本性质。

1.1 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，定义为它们对应元素相加所得到的矩阵。

即，如果A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A + B = [a_ij + b_ij]。

1.2 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，它们可以进行乘法运算，记作C = AB。

矩阵C的元素c_ij可以表示为c_ij =∑(a_ik * b_kj)。

其中∑表示求和符号，k表示对应元素的相同下标。

1.3 矩阵的转置对于一个矩阵A，它的转置记作A^T。

即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。

也就是说，矩阵A的行变为转置后矩阵的列，矩阵A的列变为转置后矩阵的行。

1.4 数量乘法一个数与一个矩阵的乘积称为数量乘法。

对于一个数k和一个矩阵A，它们的乘积记作kA。

即，kA = [ka_ij]。

其中ka_ij表示矩阵A中每个元素乘以k所得到的矩阵。

二、线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。

解一个线性方程组就是找到一组使得方程组中所有方程都成立的未知数的值。

通常通过矩阵的方法来解线性方程组，有三种常用的解法：高斯消元法、克拉默法则和逆矩阵法。

2.1 高斯消元法高斯消元法是通过矩阵的初等变换将线性方程组化为最简形式，从而求解方程组。

具体步骤如下：1) 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成增广矩阵；2) 逐行进行初等变换，使得增广矩阵的主对角线元素为1，其他元素为0；3) 对增广矩阵进行回代，求出方程组的解。

2.2 克拉默法则克拉默法则是通过行列式的性质来解线性方程组。

对于一个n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解，且每个未知数的值可以通过求解n个行列式得到。

2.3 逆矩阵法逆矩阵法是通过求解方程AX = B来解线性方程组。

线性代数高频考点总结及解析线性代数是一门应用广泛的数学学科，掌握线性代数的基本概念和方法对于数理科学、工程技术以及计算机领域都具有重要意义。

本文将就线性代数的高频考点进行总结和解析，帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。

一、向量与矩阵1. 向量的定义与性质向量是线性代数中最基本的概念之一，它由具有相同属性的数据集合组成。

向量可以表示点、向量、函数等，具有加法、数乘等运算规则。

向量的模、方向、正交性等性质也是高频考点。

2. 矩阵的定义与运算矩阵是由一组数按照矩阵的排列方式排列成的集合，可以表示线性变换、方程组、图像等。

矩阵的加法、数乘、乘法等运算规则是考点之一。

此外，矩阵的转置、共轭、逆等性质也需要掌握。

3. 向量空间与矩阵空间向量空间是由一组向量组成的集合，具有加法、数乘等运算规则，并满足一定的性质。

矩阵空间是由一组矩阵组成的集合，同样具有加法、数乘等运算规则。

了解向量空间和矩阵空间的定义和性质对于理解线性代数的本质十分重要。

二、线性变换与矩阵的应用1. 线性变换的定义和性质线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射，它可以用矩阵表示。

线性变换的基本性质包括保持零向量不变、保持向量加法和数乘运算等，这些性质是考点之一。

2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念。

特征值是一个标量，特征向量是对应于特征值的非零向量。

理解特征值与特征向量的意义，以及它们的计算方法和性质对于矩阵的运算和应用至关重要。

3. 行列式的定义与计算行列式是一个标量，它是矩阵的一个重要的特征。

行列式的计算方法包括按行展开、按列展开等。

行列式用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等问题。

三、线性方程组的求解及应用1. 线性方程组的解的存在唯一性理解线性方程组解的存在唯一性是解决线性方程组问题的基础之一。

矩阵的秩、行列式、特解与齐次解等概念与线性方程组解的存在唯一性密切相关。

2. 线性方程组的求解方法线性方程组的求解方法包括高斯消元法、克拉默法则、矩阵的逆等。

《线性代数的认识》知识点归纳与典型习题.txt线性代数的认识知识点归纳线性代数是一门研究线性方程组、向量空间和线性变换的数学学科。

以下是线性代数的几个重要知识点归纳：1. 线性方程组：线性方程组是由一系列的线性方程组成的。

解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵法和行列式法等。

2. 矩阵与向量：矩阵是由若干行若干列数组成的矩形阵列，通常用括号表示。

向量是具有方向和大小的量，也可以看作是一个特殊的矩阵。

3. 行列式：行列式是矩阵的一个重要概念，可以用来计算矩阵的特征值、特征向量和逆矩阵等。

它由矩阵的元素按一定的规律组成。

4. 向量空间：向量空间是由满足一定性质的向量组成的集合。

向量空间需要满足加法封闭性、标量乘法封闭性以及向量加法和标量乘法的结合律和分配律等。

5. 线性变换：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

它可以用矩阵表示，并具有一些重要的性质，如保持向量线性组合和向量数量的比例关系等。

典型题以下是线性代数的一些典型题，供研究和练：1. 计算线性方程组的解：2x + 3y - z = 1x - y + 2z = 43x + 2y - 2z = -32. 计算给定矩阵的逆矩阵。

3. 计算给定矩阵的行列式。

4. 判断给定向量组是否线性相关。

5. 求线性变换的基变换矩阵。

这些典型题涉及了线性代数的各个方面，通过解答这些题，可以加深对线性代数知识点的理解和掌握。

总结：线性代数是一门重要的数学学科，它的知识点主要包括线性方程组、矩阵与向量、行列式、向量空间和线性变换等。

通过练典型题，可以巩固和应用这些知识点，提高线性代数的研究效果。

T 若存在 x1 ≠ 0,使得 f = x1 Ax1 > 0 ; 且存在 x2 ≠ 0, 使得
T 不定矩阵. 不定矩阵 f = x2 Ax2 < 0, 则称f 为不定二次型 A为不定矩阵 不定二次型, 不定二次型
(2). 可逆线性变换不改变二次型的正定性
f = xT Ax经过可逆线性变换x = Cy 化成 yT CT ACy 二次型
(4).正(负)定二次型及正 负)定矩阵的充要条件 正 负 定二次型及正 定二次型及正(负 定矩阵的充要条件 f = xT Ax 是正定二次型(A是正定矩阵) ⇔ A的正惯性指数p = n (A的阶数) = r (A的秩) ⇔A E ⇔ 存在可逆阵D, 使得 A = DT D ⇔ A的顺序主子式大于零, 即
即xT Ax
x = Cy
T T yT CT ACy,此时二次型 xT Ax 和 y C ACy
且 A和 CT AC(C为可逆阵)也有相同的 有相同的正定性. 的正定性.即可逆线性变换不改变二次型的正定性. (3). A是正定矩阵的必要条件 是正定矩阵的必要条件 A是n阶正定矩阵,则 aii > 0 (i =1,2,L, n), 且 |A| > 0 . (即 A 是实对称矩阵, 且 A 是可逆矩阵.)
其中 则p与q 是由A唯一确定的. (4) 正惯性指数、负惯性指数、符号差 正惯性指数、负惯性指数、 二次型化为标准形以后, 标准形中正项项数称为正惯 正惯 性指数, 负惯性指数, 性指数 负项项数称为负惯性指数 正、负惯性指数的 负惯性指数 差称为符号差 符号差. 符号差
3. 正定二次型、正定矩阵 正定二次型、
简记为 其中A是实对称矩阵 是实对称矩阵 称为二次型对应的矩阵,
且二次型 f 与实对称矩阵A存在一一对应的关系. (2)线性变换 设两组变量 线性变换 有关系

(直打版)线性代数重要知识点及典型例题答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)线性代数重要知识点及典型例题答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(直打版)线性代数重要知识点及典型例题答案(word版可编辑修改)的全部内容。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零. ④行列式具有分行（列)可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行(列）上，值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零. 克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式：3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,。

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。

112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程 ，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组有非零解。

当时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组的解满足：（1） 线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。

则叫做的基础解系。

定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。

齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。

唯一解。

无数解。

无解。

非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。

行列式注：逆序 12345678 12346578 65构成一个逆序； 求213563748所有的逆序之和 1、行列式的定义n 级行列式1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑2、几种特殊的行列式对角形行列式1212n nd d d d d d =上三角形行列式111212221122000nn nn nn a aa a a a a a a =下三角形行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a =转置行列式：112111222212n n nn nna a a a a a a a a （原行列式的行与列互换）3、行列式的性质1）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外 2）对换行列式中两行（列）位置，行列式反号3）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 由此推出：行列式中某一行（列）为零，则行列式为零如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0． 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+4、行列式安一行一列展开设,ij n D a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i ==++⎧+++=⎨≠⎩ 按行展开,即11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩按行展开,即 10n i s i ss D k ia A k i==⎧=⎨≠⎩∑ ， 10ns l s j s D l ja A l j==⎧=⎨≠⎩∑ 5、计算n 级行列式对有限级行列式 利用初等变换化成三角行列式对n 级行列式 一般方法为把某一行化成自有一个非零数，然后按这一行展开。

天津市考研数学复习资料线性代数重要概念总结与例题讲解天津市考研数学复习资料——线性代数重要概念总结与例题讲解线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学的重要内容之一。

在天津市考研数学中，线性代数占据了相当重要的地位。

本文将对线性代数中的一些重要概念进行总结，并结合例题进行讲解，帮助考生更好地复习备考。

一、向量与矩阵在线性代数中，向量和矩阵是最基本的概念。

向量可以用来表示有方向和大小的量，而矩阵则用于表示线性方程组。

在数学上，向量通常用列向量来表示，例如：\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \]其中，\[ v_1, v_2, \cdots, v_n \] 是向量的各个元素。

矩阵则是由一列列的向量组成的，例如：\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]其中，\[ a_{ij} \] 表示矩阵的第 i 行第 j 列的元素。

二、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断线性方程组的解的情况。

一个 n 阶方阵的行列式可以用如下形式表示：\[ \det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]行列式的值可以通过展开式或性质来求解，通过求解行列式的值我们可以判断矩阵是否可逆以及线性方程组是否有唯一解。