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线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。
了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。
本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。
1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。
如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。
解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。
对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。
然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。
同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。
然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。
因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。
2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。
在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。
试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。
大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。
3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。
4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。
a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。
b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。
5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。
a) 计算 T((3, 2))。
b) 判断 T 是否为一一映射。
6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。
7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。
a) 计算 A 和 B 的内积。
b) 判断 A 和 B 是否正交。
c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。
8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。
以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。
希望能够为你的学习提供一些帮助。
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j n n n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010nn n x x a a a xa----+解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n +a 1-n x + a n == x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xa a a xa-----++213c x c += 32121231010000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a xa --------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=11220000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n xa + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++++方法4n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x ---+21(1)n n a +--00001001x x --+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()na x -+1000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1j j c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝nα＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==00010000101ββββ=βn于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++1010=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,jj a c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=121111101001na a a ---11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。
线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-.2．设()x b c d bxc d f x b cx d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4.设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1||________.B E --=2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+2.设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -2.已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出逆矩阵。
第三章例1 设A 为n 阶方阵, 若存在正整数k 和向量, 使, 且.证明: 向量组线性无关.证明: （利用线性无关定义证明） 假设有常数, 使得1120k k A A λαλαλα-++= （1）将（1）两边左乘, 可得122120k k k k A A A λαλαλα--++=由已知条件, 可知上式从第二项全等于零, 所以, 又由条件, 所以. 类似地, 将（1）两边左乘, 可得； 类似地可证得，所以向量组线性无关.例2 设向量组线性相关, 向量组线性无关, 问:（1）能否由线性表示？ 证明你的结论; （2）能否由线性表示？ 证明你的结论. 解: （1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关, 那么其部分组也线性无关。
又由已知条件有线性相关, 故能由线性表示. (2) 4α不能由123,,ααα线性表示.证明:假设4α能由123,,ααα线性表示,即存在不全为零的常数123,,λλλ,使得4112233ααλαλαλ=++由(1)的结论,我们可以设12233k k ααα=+,代入上式,可得421223133()()k k αλλαλλα=+++即4α可由23,αα线性表示,从而234,,ααα线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4α不能由123,,ααα线性表示.例3 设两向量组()()()123(1)1,2,3,3,0,1,9,6,7TTTααα=-==- ()()()123(2)0,1,1,,2,1,,1,0TTTa b βββ===已知两向量组的秩相等,且3β能由123,,ααα线性表示,求a,b. 解:令123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于矩阵A 已知, 可以先对A 进行初等变换求秩.12231313913913925206061206123331701020000r r A r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=--+-- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此()2r A =,且12,αα为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以()2r B =,从而0B =,即0121011a bB a b ==-= 所以a b =.又由条件3β能由123,,ααα线性表示而12,αα为(1)的一个极大无关组.所以3β能由12,αα线性表示,则1230ααβ=,即123132012100310b b ααβ⎛⎫⎪==-= ⎪⎪-⎝⎭,解得 5b =,所以有5a b ==.例4求向量组()11,1,1,3,T α=-()21,3,5,1Tα=-,()32,6,10,Ta α=-,()44,1,6,10Tα=-,()53,2,1,Tc α=-的秩和一个极大无关组.解:对以12345,,,,ααααα为列构成的矩阵A,做初等变换112431124313612024311510610612243110046291124311243024310243100077000110028110203A a c a c Ba c a c ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦当a=2且c=3时, ,B 中第1.2.4列线性无关, 此时向量组的秩为3, 是一个极大无关组；当时, , B 中第1.2.3.4列线性无关, 此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组；当, , B 中第1.2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4,证明:向量组的秩为4.证明: （要证明的秩为4, 可通过证明线性无关来得到想要的结论） 由向量组（2）的秩为4, 可知线性无关, 又由向量组（1）的秩为3, 可知线性相关, 从而可由线性表示, 即存在不全为零的常数, 使得, 不妨设, 将代入, 可得14112422343345()()()0k k l k k l k k l k αααα-+-+-+= 由于线性无关, 所以1412421234343400000k k l k k l k k k k k k l k -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩故线性无关, 从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r, , , , , 证明向量组12,,,m βββ的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩, 此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示, 且有下式成立1212(1)()m m m βββααα+++=-+++从而,于是有, 即也可由, 故向量组与向量组等价, 从而他们的秩相等, 从而向量组的秩为r.。
（22）（本题满分11分）已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是1253102a A b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，求,a b 的值，并证明A 的任一特征向量均能由ξ线性表出. 解设ξ是λ所对应的特征向量，则A ξλξ=，即1211531110211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即12,53,1,2,312,a b a b λλλλ--=⎧⎪+-=⇒=-==-⎨⎪-+=⎩故211533102A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪--⎝⎭由323(2(3)(2))(162)(1)(1)E A λλλλλ-=-+-+-+-+---=-， 知1λ=-是A 的三重特征根.又因312()5232101r E A r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A 的特征向量均可由ξ线性表出.(23) （本题满分11分）已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化为标准型23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵.解 变换前后二次型的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=500020001B ，由正交变换性质知，A 与B 相似，于是B E A E -=-λλ即)5)(2)(1()96)(2(22---=-+--λλλλλλa 将1=λ(或5=λ)代入上式，得2,042±==-a a因0>a ，故2=a ，这时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A 其特征值分别为5,2,1321===λλλ(与B 的特征值相同)当11=λ时，解方程0)(1=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ；当22=λ时，解方程0)(2=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ当53=λ时，解方程0)(3=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ将321,,ξξξ单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21210111ξξη，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==001222ξξη，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21210333ξξη 故所用正交变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2102121021010Q . (22) （本题满分11分）设向量组1(,2,10)T a α=，2(2,1,5)T α-，3(1,1,4)T α=-，(1,,)T b c β=.试问：当,,a b c 满足什么条件时(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？(2) β不能由123,,ααα线性表出？(3) β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.解 设有一组数123,,x x x ，使得 112233x x x αααβ++=对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有2111211211021122210540015a a a ab A b c c b ⎛⎫--⎛⎫⎪⎪⎪=→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭线性表出，且表示唯一.(1)当202a --≠，即4a ≠-时，秩()A =秩()A =3，方程组有唯一解，β可由123,,ααα(2)当202a --=，即4a =-时，对A 作初等行变换，有21010011200013b A b b c --⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭当31b c -≠时，秩()A ≠秩()A ，方程组无解，β不能由123,,ααα线性表出. (3)当4a =-且31b c -=时，秩()A =秩()A =2<3，方程组有无穷多解，β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一.此时，解得123,21,21k t k t b k b ==---=+(t 为任意常数) 因此有123(21)(21)t t b b βααα=-++++(23)（本题满分11分）已知矩阵2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭有特征值5λ=，求a 的值；并当0a >时，正交矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ.解 因5λ=是矩阵A 的特征值，则由23005023(4)002E A a a a -=-=-=-.可得2a =±.当2a =时，则由矩阵A的特征多项式200032(2)(5)(1)0023E A λλλλλλλ--=--=---=--，知矩阵A 的特征值是1,2,5.由()0E A x -=得基础解系1(0,1,1)T α=- 由(2)0E A x -=得基础解系2(1,0,0)T α=由(5)0E A x -=得基础解系3(0,1,1)T α= 即矩阵A 属于特征值1,2,5的特征向量分别是123,,ααα.由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有101,1λ⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭2100γ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011γ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭那么，令123010()00Q γγγ⎛⎫⎪ ⎪ == ⎝，则有1125Q AQ -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）设A 为三阶矩阵，123,,ααα为3维列向量.若向量组123,,ααα线性无关，且112322A αααα=-++，212322A αααα=--，312322A αααα=--. (1)求矩阵A 的特征向量；（2）设2B A E *=-，求B .解 123123123122(,,)(,,)(,,)212221A A A A ααααααααα-⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭，因为123,,ααα线性无关，所以123(,,)ααα可逆，于是1123123122(,,)(,,)212221A αααααα--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，即122212221AC -⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭，则A 与C 有相同的特征值，由1222120221E C λλλλ+---=-+=-+，得1235,1λλλ=-== 于是A 的特征值为1235,1λλλ=-==（2）1235A λλλ==-，A *的特征值为11Aλ=，25Aλ=-，35Aλ=-，于是2B A E *=-的特征值为1,11,11--，故121B =-.（23）设实二次型123(,,)T f x x x x Ax =经过正交变换后得到的标准型为2221232f y y y =--，A *是A 的伴随矩阵，且向量(1,1,1)T α=-满足A αα*=，求二次型123(,,)f x x x .解 由于A 的特征值为2,1,1--，所以2(1)(1)2A =⨯-⨯-=.对A αα*=两边左乘A ，并利用AA A E *=得2A αα=，这表明α是A 对应于特征值2的特征相量.取2(0,1,1)T α=，3(2,1,1)α=--，则123,,ααα两两正交，将它们分别规范化为1T q =，2T q =，3(Tq =，令123(,,)Q q q q =，则Q 为正交矩阵，且011101110T A Q Q -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--.。
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
近年线性代数考研题目及答案线性代数是数学中一个重要的分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
考研中的线性代数题目通常包括矩阵运算、向量空间、线性变换、特征值问题等。
以下是一些近年线性代数考研题目及答案的示例：1. 题目：设矩阵A是一个3×3的实对称矩阵，且满足A^2 - 2A - 3I = 0，其中I是单位矩阵。
证明A的特征值都为3。
答案：首先，由于A是实对称矩阵，它必定存在一组正交的特征向量。
设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为v。
根据特征值的定义，我们有Av = λv。
将题目中的等式A^2 - 2A - 3I = 0两边同时乘以v，得到A(Av) - 2Av - 3v = 0，即A(λv) - 2(λv) - 3v = 0，这可以化简为λ^2v - 2λv - 3v = 0。
由于v非零，我们可以除以v得到λ^2 - 2λ - 3 = 0。
解这个二次方程，我们得到λ = 3或λ= -1。
由于A^2 - 2A - 3I = 0，我们可以推断出A的特征值不可能为-1，因此A的特征值只能是3。
2. 题目：设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，证明向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn, αn + α1也是线性无关的。
答案：假设存在一组标量k1, k2, ..., kn，使得k1(α1 + α2)+ k2(α2 + α3) + ... + kn(αn + α1) = 0。
我们可以将这个等式重新排列，得到(k1 + kn)α1 + (k2 - k1)α2 + ... + (k1 -kn)αn = 0。
由于α1, α2, ..., αn线性无关，我们可以得出k1 + kn = 0，k2 - k1 = 0，...，k1 - kn = 0。
这意味着k1 = k2 = ... = kn = 0，因此向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn,αn + α1是线性无关的。
线性代数练习题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，它在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
下面是一些线性代数的练习题及答案，供同学们学习和参考。
练习题1：向量空间的基与维数设向量空间V由以下向量构成：{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
请确定这个向量空间的基和维数。
答案1：这个向量空间的基就是给定的向量集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
因为这些向量线性无关，并且任何向量空间中的向量都可以表示为这些向量的线性组合。
所以，这个向量空间的维数是3。
练习题2：矩阵的行列式给定矩阵A如下：\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]计算矩阵A的行列式。
答案2：矩阵A的行列式可以通过公式\( \text{det}(A) = a_{11} \cdota_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \)来计算。
将矩阵A的元素代入公式，得到：\[ \text{det}(A) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 \]练习题3：线性方程组的解解线性方程组：\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]答案3：使用消元法，我们可以将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ 3x = 9 \]解得 \( x = 3 \)。
将 \( x \) 的值代入第一个方程，得到 \( y = 2 \)。
所以，方程组的解为 \( (x, y) = (3, 2) \)。
练习题4：特征值与特征向量给定矩阵B：\[ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵B的特征值和对应的特征向量。
答案4：设特征值为λ，特征向量为 \( \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} \)。
第一章矩阵与行列式1．矩阵的运算 例1 设n 阶对称阵()ij A a =满足2A O =，证明：.A O =分析 一般地，要证明A 为零阵，只有证其所有元素0ij a =。
这里，关键是由把2A 化为AA '而将矩阵的乘方转化为数的乘方。
证 由于A 为对称阵，故,A A '=从而2.AA A O '==比拟此式两端的元素，可得()122121,i n i i i in ik k in a a a a a a a =⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 〔1,2,,i n =〕由于ik a 为实数，因而有0(,1,2,,)ik a i k n ==，即.A O =注释 对于有关矩阵的类似问题，不可把矩阵与数的性质弄混。
这里，由于矩阵乘法〔方〕定义的特殊性，其性质不同于数的乘法的性质，即不可指接由2A O =推出A O =。
事实上，如1111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，但2A O =。
例2 设n 阶方阵,A B 满足222,,(),A A B B A B A B ==+=+证明： .AB O = 证 首先，由乘法的运算法那么和2()A B A B +=+得 22A AB BA B A B +++=+；又22,,A A B B ==故有 AB BA O +=； 〔*〕用A 左乘〔*〕两端及由2A A =可得AB ABA O +=，用A 右乘〔*〕两端及由2A A =可得ABA BA O +=，上述二式相减，得代入〔*〕式得 .AB O =注释 这里切不可把2()A B +写成222,A AB B ++否那么证明就要出错。
也要注意由〔*〕式欲证得结论在此式两端左〔右〕乘A 的技巧。
例3 设132254211,422,121141A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 求22422.A B BA AB --+分析 假设直接计算，由于,A B 比拟一般，运算量较大，故应考虑先把所求之式变形、化简，可能会减少计算量。
线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-.2．设()x bc d bxc d f x b cx d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4.设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1||________.B E --=2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+2.设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -2.已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出逆矩阵。
3.设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量，且2T x y =,求A 的逆矩阵。
4.设,A B 为n 阶矩阵，且E AB -可逆，证明E BA -也可逆。
三、解矩阵方程1.设矩阵111111111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X . 2.已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++，求X . 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1.证明下列等式(1)**()()T T A A =； (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=； （3）||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=；(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）； （5）若,A B 为同阶可逆矩阵，则***()AB B A =.2.设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数，则11_______.a = 五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）第三章 矩阵典型例题一、判断向量组的线性相关性 1.设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==<是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知12(,,,)T n b b b β=是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的非零解向量，试判断向量组12,,,,r αααβ的线性相关性。
2.设12,,,n ααα是n 个n 维的线性无关向量，11122n n n k k k αααα+=+++，其中12,,,n k k k 全不为零，证明121,,,n ααα+中任意n 个向量均无关。
3.设A 为43⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，证明B 的列向量组线性相关。
4.设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，1ξ和2ξ是与121,,,n ααα-均正交的n 维非零列向量，证明（1）1ξ、2ξ线性相关；（2）121,,,n ααα-，1ξ线性相关。
二、把一个向量用一组向量线性表示证明线性方程组111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解都是11220n n b x b x b x +++=的解的充要条件是β是12,,,m ααα的线性组合，其中12(,,,)n b b b β=，12(,,,)(1,2,,)i i i in i m αααα==.三、求向量组的秩1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
2.已知向量组（1）123,,ααα；（2）1234,,,αααα；（3）1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4. 四、有关矩阵秩的命题1.设A 为m n ⨯实矩阵，证明：()().T R A R A A =2.设A 为n 阶方阵，且满足22A A E =+，证明：(2)()R A E R A E n -++=. 综合题1. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为()n n m ⨯-矩阵，且已知0AB =，(),()R A m R B n m ==-，设α是满足0Ax =的一个n 维向量，证明：存在唯一的一个()n m -维列向量β，使B αβ=.2.已知随机变量01~0.250.75X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，{}0.51P Y =-=，又n 维向量123,,ααα线性无关，求向量122331,2,X Y αααααα+++线性相关的概率。
第四章 线性方程组典型例题一、基本概念题（解的判定、性质、结构） 二、含有参数的线性方程组的求解 三、抽象线性方程组求解1.已知线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪I ⎨⎪⎪+++=⎩的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b x b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩的通解，并说明理由。
2.已知4阶方阵12341234(,,,),,,,A αααααααα=均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-，如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解。
四、讨论两个方程组的公共解1.设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解。
2.已知下列非齐次线性方程组124123412326()4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩，1234234345()21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩（1）求解方程组()I ，用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时，方程组()I 与()II 同解。
3.设,A B 都是n 阶级矩阵，且()()r A r B n +<，证明齐次方程组0Ax =与0Bx =有非零公共解。
五、讨论两个方程组解之间的关系 1. 0Ax =与0T A Ax =的解的关系。
2.设有齐次线性方程组0Ax =与0Bx =，其中,A B 都是m n ⨯矩阵，现有4个命题： ①若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()r A r B ≥； ②若()()r A r B ≥，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③若0Ax =与0Bx =同解，则()()r A r B =； ④若()()r A r B =，则0Ax =与0Bx =同解。
以上命题中正确的是：(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④六、已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数1.设121201101A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且方程组0Ax =的基础解系含有2个线性无关的解向量，求0Ax =的通解。
2.设12112010131,1,11101A b a c η⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦，如果η是Ax b =的一个解，试求Ax b =的通解。
七、有关基础解系的讨论 1.设12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系，1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+其中12,t t 为实常数，试问12,t t 满足什么关系时，12,,,s βββ也为0Ax =的一个基础解系？2.若矩阵A 的秩为r ，其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B 为r 阶非奇异矩阵，证明：AB 的r 个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系。
3.设*ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，证明： （1）*12,,,,n r ξηηη-线性无关；（2）****12,,,,n r ξξηξηξη-+++是方程组Ax b =的1n r -+个线性无关的解；（3）方程组Ax b =的任一解x ，都可以表示为这1n r -+个解的线性组合，而且组合系数之和为1. 八、有关0AB =的应用1.已知方阵12221311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，三阶方阵0B ≠满足0AB =，试求λ的值。
