鸽巢问题

鸽巢问题的三个公式
1、费马小定理：如果一个正整数a和正整数b及正整数n满足gcd （a，n）=1并且a^b =1 (mod n )，那么称满足该关系的三元组（a，b，n）为一个费马小定理。

2、鸽巢定理：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么存在必然存在某个鸽巢容纳至少两只鸽子。

3、贝祖定理：在满足费马小定理的情况下，若a^(b/2)=1(mod n)，那么该关系称为贝祖定理，并且有a^b=1 (mod n)^2 成立。

费马小定理是一种数论中最古老、最重要的定理，由18世纪意大利数学家费马发现，属于完全平方定理中的一种。

它做出了结论：如果p 是大于零的奇素数，且a是整数，且两者的积不能被p整除，那么a的p次方与a的模p相等。

鸽巢定理又称鸽笼定理，也叫鸽笼原理或卡塔尔定理，是一种数学定理，它主要用于推论系统的存在性，它的陈述是：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么有必然会有某个鸽巢容纳至少两只鸽子，也就是，鸽子至少有一个巢里有两只或以上。

贝祖定理指出，如果a是一个整数，b是一个正整数，n是一个正奇数，满足费马小定理的关系，当且仅当a的b的二分之一的模n的等式为余数1时，该定理用于计算指数为奇数的费马定理，此时，a^b
=1(mod n2)成立。

如果指数为偶数，则不具有贝祖定理。

鸽巢问题典故
鸽巢原理，又称抽屉原理，最早由19世纪的德国数学家狄利克雷提出，所以也被称为狄利克雷原理。

关于鸽巢原理的典故有很多，其中比较著名的一个来自中国的古典名著《红楼梦》。

在这个典故中，贾母为了表彰贤孙，给了探春和黛玉各一块玉，并要求她们投井下石，用做散碎。

探春和黛玉面对这个选择，都没有选择投井中间，而是投井边缘。

这是因为她们知道如果自己投中间，那么另一个人就会选择边缘，这样就能避免冲突与纷争。

这个典故中的选择，与鸽巢原理是高度契合的。

鸽巢原理的一个简单表述为：如果有n个鸽巢和m只鸽子（m>n），那么至少有一个鸽巢里有多于一只鸽子。

在上述典故中，将井看作鸽巢，将探春和黛玉看作鸽子，就能理解这个原理。

这个原理在数学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用，比如在组合数学、概率论、图论等领域都有深入的研究。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅鸽巢原理相关文献或咨询数学领域专业人士。

六年级数学鸽巢知识点总结
鸽巢问题呀，简单来说就是把一些东西放到一些“盒子”里，然后研究怎么放会有什么样的结果。

比如说把 5 个苹果放到 3 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放了 2 个苹果。

鸽巢原理的两种形式
1. 如果把 n + 1 个物体放到 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放进两个或者更多的物体。

就像刚刚说的放苹果的例子，5（n + 1）个苹果放到 3（n）个抽屉里，肯定有抽屉至少放 2 个。

2. 把多于 kn 个物体任意放进 n 个空抽屉（k 是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k + 1）个物体。

比如说把 8 个球放进 3 个盒子，8÷3 = 2……2，那至少有一个盒子里放了 3（2 + 1）个球。

鸽巢问题的应用
1. 最常见的就是在分配问题上，比如分东西、安排座位啥的。

2. 还能用来判断一些可能性，比如从一副扑克牌里抽出几张牌，判断能不能保证有某种花色。

3. 在数学竞赛里也经常出现，需要咱们灵活运用鸽巢原理来解题。

解题小技巧
1. 遇到这类问题，先找出“物体”和“抽屉”分别是什么。

2. 然后根据原理去思考怎么分配。

3. 多做几道练习题，就能更熟练地掌握啦。

鸽巢问题虽然听起来有点复杂，但是只要咱们认真琢磨，多练习，就能轻松搞定它！。

鸽巢问题的总结和答题技巧鸽巢问题是组合数学中常见的问题，涉及到把若干个元素分配到若干个集合中，要求每个集合中的元素个数不能超过一个给定值。

以下是鸽巢问题的总结和答题技巧：总结：1. 鸽巢问题中一般都要求每个集合中元素的个数不能超过一个给定值。

2. 鸽巢问题中的鸽子代表元素，集合代表巢。

3. 如果鸽子的数量大于巢的数量乘以每个巢中鸽子的最大数量，那么必然会出现至少一个巢中有两只鸽子。

答题技巧：鸽巢问题一般涉及到计数问题，我们可以通过以下技巧来简化计数过程：1. 确定鸽子的数量和巢的数量。

2. 确定每个巢中鸽子的最大数量。

3. 利用乘法原理计算总方案数。

4. 利用减法原理计算不符合要求的方案数。

5. 用总方案数减去不符合要求的方案数，得到符合要求的方案数。

6. 一般需要将符合要求的方案数转换为比例或百分数。

例如：1. 将12只鸽子放进4个巢里，每个巢最多只能放3只鸽子，问一种分配方案都不重复的可能性？解法：共有4^3种分配方法，但是有其中有放入3个鸽子的情况，会导致至少一个巢有两只鸽子，不符合要求。

所以，需要减去这些不符合要求的方案。

3只鸽子放入每个巢中的情况有4种，所以总共有4^3-4种不重复的可能性。

2. 将10只鸽子分配到6个巢里，每个巢最多只能放2只鸽子，那么至少有几个巢中会有两只鸽子？解法：每个巢最多只能放2只鸽子，所以最多放入6*2=12只。

由于鸽子的数量是10只，所以必然会有至少1只鸽子没有被安排在巢里。

因此，最少会有1个巢中只有1只鸽子，那么剩下的9只鸽子必须被安排在剩下的5个巢中。

根据鸽巢原理，至少会有一个巢中有两只鸽子。

2023年《鸽巢问题》教学反思10篇《鸽巢问题》教学反思1“鸽巢”问题就是“抽屉原理”，教材通过三个例题来呈现__知识，“鸽巢”问题教学反思。

例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况，例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。

本节内容实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。

让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，是课标的重要要求。

兴趣是学习最好的老师。

所以在本节课我认真钻研教材，吃透教材，尽量找到好的方法引课，在网上搜索了一个较好的引课设计，就照搬了：“同学们：在上新课之前，我们来做个“抢凳子”游戏怎么样？想参与这个游戏的请举手。

叫举手的一男一女两个同学上台，然后问，老师想叫三位同学玩这个游戏，但是现在已有两个，你们说最后一个是叫男生还是女生呢？”同学们回答后，老师就说：“不管是男生还是女生，总有二个同学的性别是一样的，你们同意吗？”并通过三人“抢凳子”游戏得出不管怎样抢“总有一根凳子至少有两个同学”。

借机引入本节课的重点“总有……至少……”。

这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与。

《鸽巢问题》教学反思2《鸽巢问题》就是以前奥数的教学内容《抽屉原理》，新教材把这一部分内容纳入了数学广角，《鸽巢问题》教学反思。

当第一次看到《鸽巢问题》成为必学内容时，老师们都很困惑：什么是鸽巢问题？这么难的内容学生能理解吗？我的印象里《抽屉原理》也是非常坚深难懂的。

为了上好这一内容，我搜集学习了很多资料，文中对“抽屉原理”作了深入浅出的分析，使我对“抽屉原理”有了新的认识，也终于理出了头绪。

抽屉原理是教给我们一种思考方法，也就是从“最不利”的情况来思考问题，所以要让学生充分体会什么是“最不利”。

兴趣是学习最好的老师。

所以在本节课我就设计了“抢凳子”游戏来导入新课，在上课伊始我就说：同学们，在上新课之前，我们来做个“抢凳子”游戏怎么样？想参与这个游戏的请举手。

鸽巢问题知识点：鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此,也称为狭利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。

类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。

鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。

如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+1摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数＝颜色数×（相同颜色数－1）＋1②极端思想（最坏打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。

2、班上有50名学生，将书分给大家,至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

3、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。

人教版数学六年级下册第２８课鸽巢问题的应用说课稿精选３篇〖人教版数学六年级下册第28课鸽巢问题的应用说课稿第【1】篇〗一、教学内容教材第6二、说教学目标1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。

三、教学重难点重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。

难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

四、说教学准备多媒体课件纸杯吸管五、说教学过程一、课前游戏引入。

师：孩子们，你们知道刘谦吗？你们喜欢魔术吗？今天老师很高兴和大家见面，初次见面，所以老师特地练了个小魔术，准备送给大家做见面礼。

孩子们，想不想看老师表演一下？生：想师：我这里有一副扑克牌，我找五位同学每人抽一张。

老师猜。

（至少有两张花色一样）师：老师厉害吗？佩服吗？那就给老师点奖励吧！想不想学老师的这个绝招。

下面老师就教给你这个魔术，可要用心学了。

有没有信心学会？二、通过操作，探究新知（一）探究例11、研究3根小棒放进2个纸杯里。

（1）要把3枝小棒放进2个纸杯里，有几种放法？请同学们想一想，摆一摆，写一写，再把你的想法在小组内交流。

（2）反馈：两种放法：（3，0）和（2，1）。

(教师说板书)（3）从两种放法，同学们会有什么发现呢？（总有一个文具盒至少放进2枝铅笔）你是怎么发现的？（说得真有道理）（4）“总有”什么意思？（一定有）（5）“至少”有2枝什么意思？（不少于2枝）小结：在研究3根小棒放进2个纸杯时，同学们表现得很积极，发现了“不管怎么放，总有一个纸杯里放进2根小棒）2、研究4根小棒放进3个纸杯里。

（1）要把4根小棒放进3个纸杯里，有几种放法？请同学们动手摆一摆，再把你的想法在小组内交流。

（2）反馈：四种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。