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鸽巢问题的三个公式
1、费马小定理：如果一个正整数a和正整数b及正整数n满足gcd （a，n）=1并且a^b =1 (mod n )，那么称满足该关系的三元组（a，b，n）为一个费马小定理。
2、鸽巢定理：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么存在必然存在某个鸽巢容纳至少两只鸽子。
3、贝祖定理：在满足费马小定理的情况下，若a^(b/2)=1(mod n)，那么该关系称为贝祖定理，并且有a^b=1 (mod n)^2 成立。
费马小定理是一种数论中最古老、最重要的定理，由18世纪意大利数学家费马发现，属于完全平方定理中的一种。
它做出了结论：如果p 是大于零的奇素数，且a是整数，且两者的积不能被p整除，那么a的p次方与a的模p相等。
鸽巢定理又称鸽笼定理，也叫鸽笼原理或卡塔尔定理，是一种数学定理，它主要用于推论系统的存在性，它的陈述是：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么有必然会有某个鸽巢容纳至少两只鸽子，也就是，鸽子至少有一个巢里有两只或以上。
贝祖定理指出，如果a是一个整数，b是一个正整数，n是一个正奇数，满足费马小定理的关系，当且仅当a的b的二分之一的模n的等式为余数1时，该定理用于计算指数为奇数的费马定理，此时，a^b
=1(mod n2)成立。
如果指数为偶数，则不具有贝祖定理。
六年级数学鸽巢知识点总结
鸽巢问题呀，简单来说就是把一些东西放到一些“盒子”里，然后研究怎么放会有什么样的结果。
比如说把 5 个苹果放到 3 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放了 2 个苹果。
鸽巢原理的两种形式
1. 如果把 n + 1 个物体放到 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放进两个或者更多的物体。
就像刚刚说的放苹果的例子，5（n + 1）个苹果放到 3（n）个抽屉里，肯定有抽屉至少放 2 个。
2. 把多于 kn 个物体任意放进 n 个空抽屉（k 是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k + 1）个物体。
比如说把 8 个球放进 3 个盒子，8÷3 = 2……2，那至少有一个盒子里放了 3（2 + 1）个球。
鸽巢问题的应用
1. 最常见的就是在分配问题上，比如分东西、安排座位啥的。
2. 还能用来判断一些可能性，比如从一副扑克牌里抽出几张牌，判断能不能保证有某种花色。
3. 在数学竞赛里也经常出现，需要咱们灵活运用鸽巢原理来解题。
解题小技巧
1. 遇到这类问题，先找出“物体”和“抽屉”分别是什么。
2. 然后根据原理去思考怎么分配。
3. 多做几道练习题，就能更熟练地掌握啦。
鸽巢问题虽然听起来有点复杂，但是只要咱们认真琢磨，多练习，就能轻松搞定它！。
鸽巢问题PPT课件contents •鸽巢问题概述•鸽巢问题基本原理•鸽巢问题在数学中的应用•鸽巢问题在组合数学中的应用•鸽巢问题在算法设计中的应用•鸽巢问题的拓展与延伸目录01鸽巢问题概述起源背景定义性质鸽巢原理的实质是揭示了一种存在性规律，即“若有限个集合中的元素个数和大于集合的个数，则至少有一个集合中存在两个相同的元素”。
鸽巢问题的应用场景组合数学计算机科学日常生活02鸽巢问题基本原理抽屉原理又称鸽巢原理，是组合数学中一个重要的原理。
简单形式：如果将n+1 个物品放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有多于一个的物品。
抽屉原理的应用非常广泛，可以用于解决各种存在性问题。
抽屉原理简介鸽巢原理的表述与证明表述证明鸽巢原理与抽屉原理是等价的，只是表述方式略有不同。
抽屉原理强调“至少有一个抽屉里含有多于一个的物品”，而鸽巢原理强调“至少有一个鸽巢里有两只或两只以上的鸽子”。
两者都可以用于解决各种存在性问题，如整除性问题、染色问题等。
鸽巢原理与抽屉原理的关系03鸽巢问题在数学中的应用存在性问题的证明抽屉原理如果要将n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放有两个物品。
这是鸽巢问题最基础的应用，用于证明某些存在性问题。
整数性质利用整数的性质，结合鸽巢原理可以证明一些数学定理和命题，如费马小定理等。
组合数学在组合数学中，鸽巢原理常用于证明某些组合构型的存在性，如拉姆齐定理等。
排列组合重复计数在排列组合问题中，鸽巢原理可以帮助我们确定某些排列或组合的存在性或数量。
概率统计点集性质利用鸽巢原理可以证明一些与点集性质有关的结论，如平面上n 个点中必有两个点距离小于某个值等。
图形分割在几何图形分割问题中，鸽巢原理可以帮助我们确定某些分割方式的存在性或最优性。
几何构型在几何构型问题中，鸽巢原理可以帮助我们证明某些几何构型的存在性或性质，如三维空间中的柯克曼女生问题等。
04鸽巢问题在组合数学中的应用基本原理地位重要应用广泛030201鸽巢原理在组合数学中的地位鸽巢原理在组合数学中的应用举例例子1例子2例子3鸽巢原理在组合数学中的推广推广101推广202推广30305鸽巢问题在算法设计中的应用0102鸽巢原理在算法设计中的应用背景的物体。
鸽巢问题一同学们大家好，从今天开始，我们学习第五单元鸽巢问题。
你准备好了吗好，我们现在开始上课。
请同学们先来看例一。
把四支铅笔放进三个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两只铅笔。
请你再把题读一次，这是为什么呢要想解决这个问题，我们首先要理解，总有一个笔筒里至少有2支铅笔这句话。
我们再思考这一句话中，总有和至少是什么意思对总有就是一定的意思。
至少就是最少的意思至少有两支铅笔，就是说最少有两支铅笔。
或者是说，铅笔的支数要大于或等于两支。
那你能现在说说，总有一个笔筒里至少有两支铅笔这句话的意思了吗对，这句话就是说，一定有一个笔筒里最少有两支铅笔，或者是说一定有一个笔筒里的铅笔数是大于或等于两支的。
你说对了吗那为什么总有一个笔筒里至少有两支铅笔呢请你静静思考一下。
老师提示一下大家，大家可以用摆一摆，画一画，剪一剪的方法，把自己的想法表示出来。
好，我们来看看这几种表示的方法。
我们最常用的方法就是用铅笔来摆一摆，一起来看，四支铅笔，三个笔筒。
我们可以把四支铅笔都放在左边的笔筒里。
:也可以在左边的笔筒里放三支，中间的笔筒里放一支，右边不放。
也可以在左边笔筒里放两支，中间笔筒里放两支，右边不放。
还可以在左边的笔筒里放2支，中间的笔筒里放1支，右边笔筒里1支。
这样我们就用有序思考的办法，发现共有四种摆法。
来看看这4种摆法，我们说说为什么总有一个笔筒里至少有两支铅笔吗鸽巢问题（一）【教学内容】教科书第68页例1、69页例2。
【教学目标】1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题或解释相关现象。
2．通过操作、观察、比较、说理等活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
3．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
【学情分析】《鸽巢问题》是一类较为抽象和难以理解的问题，对全体学生来说都具有一定的挑战性。
因此选择一些学生常见的、熟悉的事物，或者一些有趣、新颖的内容作为学习的素材，如坐凳子、玩扑克牌游戏。
以增强学生的学习积极性，建立鸽数学与生活的联系。
另外，根据学生爱动手的特点，让学生通过动手操作和直观观察，发现其中的规律，并能运用这一“模型”解决生活中的问题。
【教学重点】经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
【教学难点】理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学方法】触景教学【教具、学具准备】每组都有相应数量的小棒、杯子。
教学过程：一、触景生趣，触景生疑。
今天我非常想跟大家做个游戏。
游戏：老师组织学生做“抢凳子的游戏”。
请4位同学上来，摆开3张凳子。
老师宣布游戏规则：4位同学坐三张凳子，老师喊“开始”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。
允许有不同的坐法。
（2，1，1）（3，1，0）（4，0，0）（2,2,0）公布结论：总有一张凳子上至少坐了两个人。
理解总有和至少什么意思为什么能做出准确的判断呢道理是什么这其中蕴含着一个有趣的数学原理，想知道这个原理吗今天我们就一起用小棒和杯子来探究这个原理。
二、触景探究1.列举法现在如果把5根小棒放在4个杯子里，可以怎么放，一共有几种不同的放法，放一放，看看你能从中发现什么小组合作。
出示合作要求：1.把5根小棒放在4个杯子里，有几种放法分工合作，做好记录。
2.观察你记录的每种放法中，放得最多的杯中的小棒数量，你发现了什么小组合作，师巡视辅导。
小组汇报，发现结论：总有一个杯子里至少放了两根小棒。
师：象这样把每种放法一一列举的方法，在数学中叫做列举法。
除了象这样把所有可能的情况都列举出来外，你能用更直接的摆法，只摆一种情况，就得到这样的结论吗小组动手摆一摆并讨论交流。
找同学汇报：先把每个杯子里分一根小棒，剩下的一根不管放到哪个杯子里，那个杯子里就有2根。
2.假设法先假设每个杯子里各放一根，这种叫什么分（平均分）和学生一起探讨假设法。
师：你为什么一开始要平均分呢平均分可以尽可能把小棒分散，保证每个杯子中的小棒尽可能少。
师：但这样只能证明总有一个杯子里肯定会有两根小棒，怎么能证明至少呢平均分已经使每个杯子里的小棒尽可能少了，如果这样都符合要求，那别的分法就更符合要求了。
如果把6根小棒放在5个杯子里，还用一一列举吗（让学生用假设法得出结论）3.算式法像这样假设先平均分，我们可以怎样来列算式表示那你们能不能把刚才的平均分用算式表示出来（学生说算式，课件展示）如果把100根小棒放在99个杯子里，总有一个杯子里至少放（）根小棒。
怎样列式探究到这里，你发现了什么小棒比杯子多1时，总有一个杯子里至少放两根小棒。
至少数=商+余数如果把7根小棒放在5个杯子里，先让同学猜测，再同桌之间进行实验验证。
强调指出：余数也要平均分。
才能保证至少的数量。
小组探究：9根小棒放在6个杯子里，10根小棒放在5个杯子里呢14根小棒放在3个杯子里呢找同学说结论并讲道理。
2.综上观察，你发现了什么规律。
当小棒数比杯子数多时，把小棒放到杯子里，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。
3.简单了解鸽巢问题的由来。
经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，我把我们的这一发现，称为杯子问题。
但其实最早发现这个规律的不是我们，而是德国的一个数学家“狄里克雷”。
而且最早人们也不是从小棒和杯子中探究出来的这个规律，而是从两个有趣的事情中发现的。
我们来了解一下。
三、触景实践。
1.课件出示：，6只鸽子飞进5个鸽巢，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽巢里。
为什么学生独立思考，自主探究——交流，说理。
2.把10个苹果放进9个抽屉，你能确定什么为什么学生独立思考——交流，说理。
3、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，请大家猜测一下，同种花色的至少有几张如果抽取其中的14张牌，请大家猜测一下，同点数的至少有几张如果抽取其中的15张牌，你能确定什么为什么五、触景升华谈谈你今天的感受和想法师：说得太好了！我们要象狄里克雷一样，善于从生活中平凡的小事发现规律，善于团结合作。
你将成为一个充满智慧的人！板书设计：鸽巢问题（杯子问题）总有……至少……列举法（待分物体）小棒数÷杯子数至少数=商+1假设法整除时至少数=商《鸽巢问题》教学设计教学内容：教材第68-69页例1、例2，及“做一做”。
学习目标：1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。
使学生用此原理解决简单的实际问题。
2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点：找出“鸽巢问题”的解决窍门进行反复推理。
教学准备：课件、铅笔、笔筒。
学习过程：导入师：我给大家表演一个“魔术”。
一副牌，取出大小王，还剩52张，你们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。
相信吗师：解决这一类问题的理论依据就是“鸽巢问题”。
今天我们就一起来研究这一类问题。
（板书课题：鸽巢问题）看到课题，你想知道哪些问题二、出示目标1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。
2、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
把具体问题转化成“鸽巢问题”。
3、找出“鸽巢问题”的解决窍门进行反复推理。
三、学习例11、思考：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
为什么呢“总有”和“至少”是什么意思理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
2、自学数学书P68例1，后思考回答下列问题：（1）、把4枝铅笔放进3个文具盒中，可以怎么放有几种情况第一种放法：第二种放法：第三种放法：第四种放法：（2）提出问题。
不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进枝铅笔。
为什么如果每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3枝，剩下1枝还要放进其中的一个文具盒，所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。
3、探究证明方法一：用“枚举法”证明。
方法二：用“分解法”证明把4分解成3个数。
我们发现有（4,0,0）（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。
方法三：用“假设法”证明。
先放3支，在每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。
(平均分)小结：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒至少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。
在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的言语描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。
这里“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有的方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
(5)做一做：A、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。
为什么B、实验小学六（1）班第一小组一共13位同学，一定至少有2名同学的生日在同一个月。
原理1：把n+1个物体任意放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有1个抽屉中至少放进了2个物体。
5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
为什么小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔数比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒至少放2支……只要放的铅笔数比笔筒数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
四、学习例2思考：（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。
为什么呢（2）如果有8本书会怎样呢10本书呢摆一摆，有几种放法。
归纳：不难得出，总有一个抽屉至少放进本。
说一说你的思维过程。
如果每个抽屉放2本，放了4本书。
剩下的1本还要放进其中一个抽屉，所以至少有1个抽屉放进3本书。
如果一共有7本书会怎样呢9本呢学生独立思考，寻找结果。
与同学交流思维过程和结果。
汇报结果，全班交流。
4. 你能用算式表示以上过程吗你有什么发现5÷2=2……1 （至少放本）7÷2=3……1 （至少放本）9÷2=4……1 （至少放本）说明：先平均分配，再把余数进行分配，得出的就是一个抽屉至少放进的本数。
五、全课总结通过这节课的学习，你有什么收获六、当堂练习1、7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么想：如果每个鸽舍只飞进1只鸽子，最多飞回5只鸽子，剩下2只鸽子还要飞进其中的一个鸽舍或分别飞进其中的两个鸽舍。
所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽舍。
2、8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
