信息论基础知识树

Chp02知识点： 自信息量：1）)(log )(i i x p x I -=2）对数采用的底不同，自信息量的单位不同。

2----比特（bit ）、e----奈特（nat ）、10----哈特（Hart ） 3）物理意义：事件i x 发生以前，表示事件i x 发生的不确定性的大小；事件i x 发生以后，表示事件i x 所含有或所能提供的信息量。

平均自信息量（信息熵）：1）)(log )()]([)(1i qi i i x p x p x I E x H ∑=-==2）对数采用的底不同，平均自信息量的单位不同。

2----比特/符号、e----奈特/符号、10----哈特/符号。

3）物理意义：对信源的整体的不确定性的统计描述。

表示信源输出前，信源的平均不确定性；信源输出后每个消息或符号所提供的平均信息量。

4）信息熵的基本性质：对称性、确定性、非负性、扩展性、连续性、递推性、极值性、上凸性。

互信息：1）)()|(log)|()();(i j i j i i j i x p y x p y x I x I y x I =-=2）含义：已知事件j y 后所消除的关于事件i x 的不确定性，对信息的传递起到了定量表示。

平均互信息：1）定义：2）性质：联合熵和条件熵：各类熵之间的关系：数据处理定理：Chp03知识点：依据不同标准信源的分类： 离散单符号信源：1）概率空间表示：2）信息熵：)(log )()]([)(1i qi i i x p x p x I E x H ∑=-==，表示离散单符号信源的平均不确定性。

离散多符号信源：用平均符号熵和极限熵来描述离散多符号信源的平均不确定性。

平均符号熵：)...(1)(21N N X X X H NX H =极限熵（熵率）：)(lim )(X H X H N N ∞>-∞= （1）离散平稳信源（各维联合概率分布均与时间起点无关的信源。

）（2）离散无记忆信源：信源各消息符号彼此互不相关。

信息论基础1~81 绪论与概览2 熵相对熵与互信息2.1 熵H(X)=−∑x∈X p(x)logp(x)H(X)=−∑x∈Xp(x)log⁡p(x)2.2 联合熵H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Yp(x,y)log⁡p(x,y)H(Y|X)=∑x∈X p(x)H(Y|X=x)H(Y|X)=∑x∈Xp(x)H(Y|X=x)定理2.2.1(链式法则): H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)H(X,Y)=H(X)+H(Y|X) 2.3 相对熵与互信息相对熵(relative entropy): D(p||q)=∑x∈X p(x)logp(x)q(x)=Eplogp(x)q(x)D(p||q)=∑x∈Xp(x)lo g⁡p(x)q(x)=Eplog⁡p(x)q(x)互信息(mutual information): I(X;Y)=∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))I(X;Y) =∑x∈X∑y∈Yp(x,y)log⁡p(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))2.4 熵与互信息的关系I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)互信息I(X;Y)是在给定Y知识的条件下X的不确定度的缩减量I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)2.5 熵,相对熵与互信息的链式法则定理 2.5.1(熵的链式法则): H(X1,X2,...,X n)=∑ni=1H(Xi|X i−1,...,X1)H(X1,X2,...,Xn)=∑i=1nH(Xi| Xi−1, (X1)定理 2.5.2(互信息的链式法则): I(X1,X2,...,X n;Y)=∑ni=1I(Xi;Y|X i−1,...,X1)I(X1,X2,...,Xn;Y)=∑i=1nI(Xi ;Y|Xi−1, (X1)条件相对熵: D(p(y|x)||q(y|x))=∑x p(x)∑yp(y|x)logp(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)logp(Y|X)q( Y|X)D(p(y|x)||q(y|x))=∑xp(x)∑yp(y|x)log⁡p(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)log⁡p (Y|X)q(Y|X)定理 2.5.3(相对熵的链式法则): D(p(x,y)||q(x,y))=D(p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))D(p(x,y)||q(x,y))=D( p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))2.6 Jensen不等式及其结果定理2.6.2(Jensen不等式): 若给定凸函数f和一个随机变量X,则Ef(X)≥f(EX)Ef(X)≥f(EX)定理2.6.3(信息不等式): D(p||q)≥0D(p||q)≥0推论(互信息的非负性): I(X;Y)≥0I(X;Y)≥0定理2.6.4: H(X)≤log|X|H(X)≤log⁡|X|定理2.6.5(条件作用使熵减小): H(X|Y)≤H(X)H(X|Y)≤H(X)从直观上讲,此定理说明知道另一随机变量Y的信息只会降低X的不确定度. 注意这仅对平均意义成立. 具体来说, H(X|Y=y)H(X|Y=y) 可能比H(X)H(X)大或者小,或者两者相等.定理 2.6.6(熵的独立界): H(X1,X2,…,X n)≤∑ni=1H(Xi)H(X1,X2,…,Xn)≤∑i=1nH(Xi)2.7 对数和不等式及其应用定理 2.7.1(对数和不等式): ∑ni=1ailogaibi≥(∑ni=1ai)log∑ni=1ai∑ni=1bi∑i=1nailog⁡aibi≥(∑i =1nai)log⁡∑i=1nai∑i=1nbi定理2.7.2(相对熵的凸性): D(p||q)D(p||q) 关于对(p,q)是凸的定理2.7.3(熵的凹性): H(p)是关于p的凹函数2.8 数据处理不等式2.9 充分统计量这节很有意思,利用统计量代替原有抽样,并且不损失信息.2.10 费诺不等式定理2.10.1(费诺不等式): 对任何满足X→Y→X^,X→Y→X^, 设Pe=Pr{X≠X^},Pe=Pr{X≠X^}, 有H(Pe)+Pe log|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)H(Pe)+Pelog⁡|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)上述不等式可以减弱为1+Pe log|X|≥H(X|Y)1+Pelog⁡|X|≥H(X|Y)或Pe≥H(X|Y)−1log|X|Pe≥H(X|Y)−1log⁡|X|引理 2.10.1: 如果X和X’独立同分布,具有熵H(X),则Pr(X=X′)≥2−H(X)Pr(X=X′)≥2−H(X)3 渐进均分性4 随机过程的熵率4.1 马尔科夫链4.2 熵率4.3 例子:加权图上随机游动的熵率4.4 热力学第二定律4.5 马尔科夫链的函数H(Yn|Y n−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Y n|Y n−1,…,Y1)H(Yn|Yn−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Yn|Yn−1,…,Y1)5 数据压缩5.1 有关编码的几个例子5.2 Kraft不等式定理5.2.1(Kraft不等式): 对于D元字母表上的即时码,码字长度l1,l2,…,l m l1,l2,…,lm必定满足不等式∑iD−li≤1∑iD−li≤15.3 最优码l∗i=−log Dpili∗=−logD⁡pi5.4 最优码长的界5.5 唯一可译码的Kraft不等式5.6 赫夫曼码5.7 有关赫夫曼码的评论5.8 赫夫曼码的最优性5.9 Shannon-Fano-Elias编码5.10 香农码的竞争最优性5.11由均匀硬币投掷生成离散分布6 博弈与数据压缩6.1 赛马6.2 博弈与边信息6.3 相依的赛马及其熵率6.4 英文的熵6.5 数据压缩与博弈6.6 英语的熵的博弈估计7 信道容量离散信道: C=maxp(x)I(X;Y)C=maxp(x)I(X;Y)7.1 信道容量的几个例子7.2 对称信道如果信道转移矩阵p(y|x)p(y|x) 的任何两行相互置换,任何两列也相互置换,那么称该信道是对称的.7.3 信道容量的性质7.4 信道编码定理预览7.5 定义7.6 联合典型序列7.7 信道编码定理7.8 零误差码7.9 费诺不等式与编码定理的逆定理7.10 信道编码定理的逆定理中的等式7.11 汉明码7.12 反馈容量7.13 信源信道分离定理8 微分熵8.1 定义h(X)=−∫Sf(x)logf(x)dxh(X)=−∫Sf(x)log⁡f(x)dx均匀分布 h(X)=logah(X)=log⁡a正态分布h(X)=1/2log2πeδ2h(X)=1/2log⁡2πeδ2 8.2 连续随机变量的AEP8.3 微分熵与离散熵的关系8.4 联合微分熵与条件微分熵8.5 相对熵与互信息8.6 微分熵, 相对熵以及互信息的性质。

信息论基础知识主要内容：信源的数学模型 信源编码定理 信源编码算法 信道容量 通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。

狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方 法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。

实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息 论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。

广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用， 如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物 学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。

第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传 输的最高速率是多少？噪声信道编码定理 噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压 缩信息中以无差错或低差错恢复的 最低速率是多少？香农信源编码理论 香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)， 美国数学家，信息论的创始人。

创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对 信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。

1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。

1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了 全面的论述，奠定了密码学的基础。

1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基 础，为信源编码的研究奠定了基础。

1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研 究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年 奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之 间的关系。

信息论基础教程信息论基础教程1. 什么是信息论•信息论是一门研究信息传输与处理的数学理论。

•信息论的概念由克劳德·香农于1948年提出。

2. 信息的定义与表示•信息是用来消除不确定性的东西。

•信息可以用概率来表示。

信息的定义•定义：信息是用来消除不确定性的核心内容。

•信息量的多少与不确定性的减少程度成正比。

信息的表示•使用比特（bit）作为计量单位。

•一个比特可以表示一个二进制信息（0或1）。

•信息量的大小与比特数目成正比。

•信息熵是衡量信息量的概念。

•能量守恒定律：信息熵不会减少，只会增加。

信息熵的计算公式•信息熵的计算公式为：H(X) = -Σp(x)log2p(x)，其中p(x)为事件x发生的概率。

信息熵的含义•信息熵越大，信息量越多，不确定性越高。

•信息熵越小，信息量越少，不确定性越低。

4. 信道容量•信道容量是信息传输的极限。

•信道容量的计算需要考虑信道的带宽和信噪比。

信道容量的计算公式•信道容量的计算公式为：C = Blog2(1 + SNR)，其中B为信道带宽，SNR为信噪比。

信道容量的含义•信道容量表示一个信道能够传输的最大信息量。

•信噪比越高，信道容量越大。

•香农定理是信息论的核心定理。

•香农定理给出了可靠传输信息的极限。

香农定理的表达式•香农定理的表达式为：C = Blog2(1 + SNR)。

香农定理的应用•香农定理可以用来优化通信系统的设计。

•香农定理可以用来判断信息传输的可靠性。

以上为信息论基础教程的概要，希望对你的学习有所帮助。

信息论复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。

平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。

2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。

3、最大熵值为。

4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。

6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。

7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。

8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。

9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。

按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。

人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。

信息的可度量性是建立信息论的基础。

统计度量是信息度量最常用的方法。

熵是香农信息论最基本最重要的概念。

事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。

10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。

12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。

13、必然事件的自信息是 0 。

14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。

15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。

16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。

信息理论基础知识点总结1.信息量信息量是表示信息的多少的一个概念。

在信息理论中，通常使用二进制对数函数来表示信息的量，这个函数被称为信息自由度函数。

它的表达式是I(x)=-log2P(x)，其中x是一种情况，P(x)是x发生的概率。

信息量的单位是比特（bit），它表示传递或存储信息的最小单位。

当一种情况的概率越大，它所携带的信息量就越小；反之，概率越小的情况所携带的信息量就越大。

信息量的概念在通信、数据压缩和密码学等领域有着广泛的应用。

2.信息熵信息熵是表示信息不确定度的一个概念。

在信息理论中，熵被用来度量信息源的不确定性，它的值越大，信息源的不确定性就越大。

信息熵的表达式是H(X)=-∑p(x)log2p(x)，其中X 是一个随机变量，p(x)是X的取值x的概率。

信息熵的单位也是比特（bit）。

当信息源的分布是均匀的时候，信息熵达到最大值；当某种情况的概率接近于0或1时，信息熵达到最小值。

信息熵的概念在数据压缩、信道编码和密码学等领域有着重要的作用。

3.信道信道是信息传递的媒介，它可以是有线的、无线的或者光纤的。

在信息理论中，通常使用信道容量来度量信道的传输能力，它的单位是比特每秒（bps）。

信道容量取决于信噪比和带宽，信噪比越大、带宽越宽，信道容量就越大。

在通信系统中，通过对信道进行编码和调制可以提高信道的传输能力，从而提高通信的可靠性和效率。

信息理论还研究了最大化信道容量的编码方法和调制方法，以及如何在有损信道中进行纠错和恢复等问题。

4.编码编码是将信息转换成特定形式的过程，它可以是数字编码、字符编码或者图像编码等形式。

在信息理论中，编码的目的是为了提高信息的传输效率和可靠性。

信息理论研究了各种类型的编码方法，包括线性编码、循环编码、卷积编码和码分多址等方法。

在通信系统中，通过使用合适的编码方法，可以提高信道的传输效率和抗干扰能力，从而提高通信的质量和可靠性。

综上所述，信息量、信息熵、信道和编码是信息理论的基础知识点。