1.1集合的含义及其表示(学教案)

1.1.1《集合的含义与表示》导学案班级组名：姓名【学习目标】A级目标：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.B级目标：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【重点难点】重点：集合的基本概念与表示方法.难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【学习过程】一、课题引入问题1.军训前学校通知:8月30日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？问题2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?二、自主探究得出结论阅读课本第2~3页，完成下列探究任务[问题一]①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合,用a表示高一(1)班的一位同学,b是高一(2)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？[问题二]阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.[问题三]①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?三、合作交流，解决问题例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是什么？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 小于10的所有自然数组成的集合;(2) 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.四．突破疑难例4.若集合A={}23,21,4a a a ---且3A -∈，求实数a 的值组成的集合.例5.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【当堂检测】1. (1) A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2) 所有素质好的人能否表示为集合?(3) A={2,2,4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.3.已知A={x ∈R |x=abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc ≠0},用列举法表示集合A.4.用列举法表示下列集合:(1) 所有绝对值等于8的数的集合A;(2) 所有绝对值小于8的整数的集合B.5.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？【课后巩固提高】1.说出下面集合中的元素:(1) {大于3小于11的偶数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )3.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. (6){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y-2x=0};(7){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.4.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.(4)方程ax+by=0(ab ≠0)的解;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)能被3整除的整数.5.定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A.0B.6C.12D.186.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.7. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?拓展提升1.集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.2.已知集合C={x|x=a+b,a ∈A,b ∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C 中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.。

§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。

○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。

（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。

（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

§1.1.1集合的概念一. 教学目标：1.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的见解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

1．1 集合的含义及其表示1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系．2.理解集合元素的特征．3．掌握集合的表示方法．1．集合(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．(2)记法：通常用大写拉丁字母表示．(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)记法：通常用小写拉丁字母表示．(3)特性：确定性、互异性、无序性．3．元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈A a属于A不属于a不是集合A的元素a∉A或a A a不属于A4.表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等．6．集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}答案：B3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．答案：24．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________．答案：4 －1集合的概念[学生用书P2]判断下列各组对象能否组成一个集合．(1)新华中学高一年级全体学生；(2)我国的大河流；(3)不大于3的所有自然数；(4)在平面直角坐标系中，到原点距离等于1的点．【解】(1)能，所指的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是到原点的距离等于1，故能组成一个集合.判断一组对象组成集合的依据判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合．1.判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)不超过20的非负数；(3)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(4)直角坐标平面内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(3)类似于(2)，也能构成集合．(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．元素与集合的关系[学生用书P2](1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ， 所以若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 只含有1个元素，不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断一个元素是否属于某一个集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．2.(1)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2(2)用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有 17________A ；－5________A . 解析：(1)因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2.(2)由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17，则k ＝5∈Z .所以17∈A .令3k ＋2＝－5， 则k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：(1)D (2)∈ ∉集合中元素的特性[学生用书P3]已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －1若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3.(1)若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形(2)若集合A 中有三个元素x ，x ＋1，1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，求实数x 的值．解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，而x ＝－1满足，所以x ＝－1.集合中元素的表示[学生用书P3]用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为{3，5，7，11}．(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合．4.设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B ，2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6.所以x 只能取0，1，4.所以B ＝{0，1，4}．1．集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．3．对符号“∈”与“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等．(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去．(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．5．描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型．(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．[解析] ①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合．[答案] ③(1)本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误．(2)解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式．1．下列各组对象能构成集合的是( )A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B．大于－5且小于5的有理数C．新华书店中有意义的小说D．π(π＝3.141…)的近似值的全体解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”．故能构成集合．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选 D.偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：34．已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a<0得a>1.答案：a>1[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( )A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B ．某学校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2018年全国经济百强县解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．故选B.3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D.因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D. 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }， 所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B.5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( ) A ．M 是有限集，N 是有限集 B ．M 是有限集，N 是无限集 C ．M 是无限集，N 是无限集 D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B.因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}， 所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a ＝－1，b ＝0. 答案：－1，07．下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3. 答案：39．判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学； (3)方程x ＋y ＝3的非负整数解； (4)与π非常接近的有理数． 解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}． (3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 10．用适当的方法表示下列集合．(1)由x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N 组成的集合； (2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：{0，2，4}；或描述法{x |x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N }． (2)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[B 能力提升]1．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ， 则集合A 用列举法表示为________． 解析：因为126－x∈N ，x ∈N ，所以6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.所以集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数． (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12；②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1，此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}． 所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1. 4．(选做题)设S 是由满足下列条件中的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由． 解：(1)因为2∈S ，2≠1，所以11－2＝－1∈S .因为－1∈S ，－1≠1，所以11－（－1）＝12∈S .因为12∈S ，12≠1，所以11－12＝2∈S . 所以集合S 中有另外两个数为－1和12. (2)证明：因为a ∈S ，所以11－a∈S ， 所以11－11－a ∈S ，即11－11－a＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)． 若a ＝0，则11－a＝1∈S ，不合题意． 所以若a ∈S ，则1－1a∈S . (3)集合S 中的元素不能只有一个．证明如下：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0.因为Δ＝1－4<0，所以此方程无实数解，所以a ≠11－a. 所以集合S 中不能只有一个元素．。

1.1.1集合的含义与表示一．教学目标：l.知识与技能(1)通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；(2)掌握集合中元素的三要素：确定性.互异性.无序性；(3)掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。

2. 过程与方法(1)通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义.(2)快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性.二. 教学重点、难点：重点：集合的含义与表示方法.难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性.三.学习方法与教学用具1. 学习方法：小组合作、探究式学习.2. 教学用具：多媒体.四. 教学过程(一)自学指导：1．教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。

通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容.3.用6分钟时间预习教材P2～P5，完成下列内容：（1）、集合：一般地，我们把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合，简称为：。

（2）、集合元素的三要素（三特征）：、、。

（3）、元素与集合的关系：若a是集合A的元素，则记作：a A；若a不是集合A的元素，则记作：a A。

（4）、常用数集的记法：自然数集：；有理数集：；整数集：；实数集：；正实数集：；正整数集： .（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2．回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1～20以内所有的质数；（2）我国在1991～2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体.教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。

第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素． 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ， 即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

1.1.1集合的含义及其表示教学目标：（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法;（2）初步了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;（3）初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. 教学重点：集合的含义及表示方法.教学过程：一、问题情境:1.情境:介绍自己;2.问题:像“家庭”、“学校”、“男生”、“班级”、“女生”,等概念,有什么共同的特征?二、学生活动1.介绍自己:仿照所给例子,让学生作自我介绍;2.列举生活中的集合实例;3.分析,概括各种集合实例的共同特征.在一定范围内,按一定标准对所讨论的事物进行分类,分类后,我们会用一些术语来描述它们.如“群体”、“全体”“集合”等.三、建构数学1.引导学生归纳总结并给出集合的含义(描述性概念);一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合（set ）.集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素就是北京、天津、上海和重庆. “young 中的字母”构成一个集合,该集合的元素就是y,o,u,n,g.“book 中的字母”也构成一个集合,该集合的元素就是b,o,k.2.常用数集的记法（N ,*N N +,Z ,Q ,R 以及符号∈,∉）3.介绍集合的表示方法（列举法、描述法以及Venn 图）;4.有关集合知识的历史简介.四、数学应用1.例题例1:（1）求方程2230x x --=的解集（2）求不等式235x ->的解集解完后介绍有限集、无限集、空集的概念.例2:求方程210x x ++=所有实数解构成的集合.2.练习（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集.（2）第7页练习3填空（口答）（3）用列举法表示下列集合: ①{,}x x x N ∈是15的约数; ②{(,){1,2},{1,2}}x y x y ∈∈; ③{(,)2,24}x y x y x y +=-=; ④{,}x x n N ∈n =(-1); ⑤{(,)3216,,}x y x y x N y N +=∈∈.（4）用描述法表示下列集合:①{}1,4,7,10,13②{}2,4,6,8,10-----五、回顾小结本节课学习了以下内容:1.集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集;2.集合的表示方法——列举法描述法以及Venn 图3.常用数集的定义及记法.4. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.六、课外作业第7页第2题,第4题.注: （1）应区分∅，{}∅，}0{，0等符号的含义;（2）自然数集包括0.（3）非负整数集内排除0的集.记作*N ，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这 样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。

1.1.1集合的含义与表示学习目标：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.学习重点： 1、元素与集合间的关系2、集合的表示法学习难点：集合的表示方法学习过程：一、新授：1、集合的概念 2、实例引入：⑴ 1~20以内的所有质数;⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸所有的正方形; ⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.2、集合元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2，3，4 ⑵（2，3），（3，4）⑶三角形⑷2，4，6，8，…⑸1，2，（1，2），{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解3、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等4、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A5、常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？6、集合的表示方式（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）二、例题分析例 1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成。

1.1.1 集合的含义与表示教学设计教学过程：一、创设情境，新课引入（1）请第一组的全体同学站起来？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

二、师生互动，新课讲解1、集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。

2、集合的表示方法：（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。

（2）如果a是集合A的元素，就说 a 属于集合A，记作a A;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A(或a A)。

3、常用的数集及其记法：全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0．是自然．．．数．）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。

全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。

学生练习：用符号或填空：1 N ，0 N, -3 N, 0.5 N,2 N1 Z , 0 Z, -3 Z, 0.5 Z,2 Z,1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q,2 Q,1 R , 0 R, -3 R, 0.5 R,2 R.4、集合的表示方法：先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的两种表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。

例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。