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函数的最大值与最小值

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函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值

课题:函数的最大值和最小值教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1、求()342+-=x x x f 在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。

最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。

求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。

本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。

一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。

局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。

为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。

假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。

当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。

可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。

因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。

然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。

因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。

二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。

1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。

它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。

假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。

首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。

然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。

可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。

2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。

具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。

函数的最大值与最小值90830

函数的最大值与最小值90830
已知a为实数，f ( x) ( x2 4)( x a)
（Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x)在[-2，2]上的 最大值和最小值；
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
r 2

V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大 值(极小值)不一定就是最大值(最小值),
但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一 定是极大值(或极小值).
的最大值为 ,最小值为
。
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
x -4 (-4,-3) -3 (- 1 (1,4) 4 3,1)
大值和最小值.
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
四、实际应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值

1 1 2 2 思考:证明不等式: 思考 证明不等式 ln x + − ( x − 1) ≥ 1 + (1 − x)3 ( x > 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x) = ln x + − ( x − 1) + ( x − 1)3 ( x > 0). 证:设 设 x 2 3 1 1 2x + 1 ′( x) = − 2 − ( x − 1) + 2( x − 1)2 = ( x − 1)3 ⋅ 2 , 则f x x x
如图,在二次函数 在二次函数f(x)= 思考: 如图 在二次函数 的图象与x轴所 4x-x2的图象与 轴所
y
围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 内接矩形 求这 个矩形的最大面积. 个矩形的最大面积 x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 设 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 故矩形ABCD的面积 从而 故矩形 的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令 f ′( x) = 0 ,结合 结合x>0得x=1. 得 结合 而0<x<1时, f ′( x) < 0;x>1时, f ′( x) > 0 ,所以 所以x=1是f(x)的 时 时 所以 是 的 极小值点. 极小值点 所以当x=1时,f(x)取最小值 时 取最小值f(1)=1. 所以当 取最小值
复习
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时 判别 0)是极大 小)值的 判别f(x 是极大 是极大(小 值的 当函数 在 处连续时,判别 方法是: 方法是 右侧f ①如果左侧f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 , 如果左侧 ） 右侧 那么,f(x0)是极大值 那么 是极大值; 是极大值 ②如果左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 , 右侧f 那么,f(x0) 是极小值 是极小值. 那么

函数的最大值和最小值

函数的最大值和最小值

函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2

函数的最大值、最小值


因为 2≤x1＜x2≤5， 所以(x1－1)(x2－1)＞0. 又 x1－x2＜0，所以 f(x2)－f(x1)＜0. 2 所以函数 f(x)＝ 在[2，5]上是减函数． x－ 1 1 所以 f(x)在区间[2，5]上的最小值是 ，最大值是 2. 2
函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意的
x I ，都有f(x)≥N ；
（2）存在 x0 I ，使得f(x0)=N. 那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最
M
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？ 【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有 最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函
数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【提示】 f(x)≤M
最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
y
4
1 O 1
3
x
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.

大学数学_3_4 函数的最大值与最小值


例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.

函数的最大值和最小值


(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素。
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果
存在x0∈D，f(x0)＝N，使得对于任
意x∈D，都有f(x) ≥M，那么称M是 函数y＝f(x)的最小值，既当x= x0 时 ， f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记 作
ymin f x0
函数最大值、最小值的几何
意义是什么？
函数最大值或最小值是函数的 整体性质，从图象上看，函数的 最大值或最小值是图象最高点或 最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8．
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
二次函数图象
一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为D，如
果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于 任意x∈D，都有f(x)≤M，那么称M
是函数y＝f(x)的最大值，既当x= x0
时， f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，

函数的最大值与最小值


题型二 利用函数的单调性求最值 求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值．
2．(1)函数 f(x)＝2－3x，当 x∈[－2,3]时，f(x)的最小值为________，最大值 为________；
(2)已知函数 f(x)＝x2＋－1x，x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值．
【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从 函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
[课堂小结]
题型一 图象法求函数的最值 如图所示为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值
及单调区间．
[基础自测]
1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
() A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
【方法总结】
图象法求最值的一般步骤
【方法总结】
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，
最小值为 f(b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，
最小值为 f(a)．
[注意] 求最值时一定要注意所给区
题型三 二次函数最值 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[规范解答] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为 x＝a.2 分 (1)当 a<0 时，由图(1)可知， f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.4 分
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函数的最大值与最小值
学习要求:
1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
学习重点: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
学习难点: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
【自主预习】
1．预习作业：
求2()43f x x x =-+ 在区间[]
1,4-上的极大值与极小值，并求(1)f -，(4)f ，(2)f
2．函数的最大值和最小值
函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ．
3．利用导数求函数的最值步骤:
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
第一步
第二步
【典例示范】
例1. 求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值
例2. 求函数1sin 2
y x x =
+在区间[]0,2π上的最大值与最小值
例3. 求2()43f x x x =-+ 在区间[]1,4-上的最大值与最小值
【巩固练习】
1．求下列函数在所给区间上的最大值与最小值.
（1）()32,[1,3]f x x x =+∈- （2） 23,[1,3]y x x x =-∈-
（3） 1
1,[,3]3
y x x x ∈＝＋ （4） 3,[0,2]y x x x =-∈
（5）ln ,(0,1]y x x x =-∈ （6）,(0,1]x y e x x =-∈
（7）22,[0,3]y x x x =-∈ （8）]1,0,22x y x x -⎡=∈⎣+
（9）1cos ,,222y x x x ππ⎡
⎤
=-∈-⎢⎥⎣⎦
2．求下列函数在所给区间上的值域
（1）[]1
,1,31y x x x =+∈+
（2）3235,[2,3]y x x x =-+∈-
（3）sin y x x =+，[]0,2x π∈
（4）22ln y x x =-
3、已知函数()f x =3239x x x a -+++
（1）求()f x 的单调递减区间
（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值？
4、求函数3395y x x =-+在区间[]2,2-上的最大值与最小值。