群论61群论基础

群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。

群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。

群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。

本文将介绍群论的基本概念和运算。

一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。

2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。

3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。

4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。

群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。

2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。

3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。

二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。

1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。

单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。

2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。

单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。

3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。

单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。

4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。

单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。

三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。

群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。

2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。

第1章群论基础11.1基本概念..........................................11.1.1群的定义......................................11.1.2群的乘法......................................11.1.3群的生成元....................................21.1.4更多例子......................................31.1.5半群,环和域*...................................41.2群的分拆..........................................41.2.1集合的分拆....................................51.2.2共轭类.......................................51.2.3子群和陪集....................................61.2.4Lagrange 定理...................................71.2.5不变子群和商群..................................71.2.6双陪集*......................................81.3群的分类..........................................81.3.1同态和同构....................................81.3.2同态基本定理...................................91.3.3其它的同态定理*.................................101.4群在集合上的作用.....................................111.4.1置换群.......................................111.4.2置换可表示为轮换的乘积............................131.4.3置换群的共轭类..................................141.4.4置换表示......................................141.4.5轨道........................................161.5群的直积..........................................171.5.1直积........................................171.5.2半直积.......................................171.6有限群的分类定理*....................................181.6.1Abel 群的分类...................................191.6.2非Abel 群的分类..................................191.6.3小阶群表.......... (19)文件生成时间:2007年10月3日试用讲义.请不要在网上传播.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G 是一些元素的集合,G ={g ,h ,···}.在G 中已经定义了二元运算·,如果G 对这种运算满足一下四个条件,•封闭:∀f ,g ∈G ,f ·g ∈G ;•结合率:∀f ,g ,h ∈G ,(f ·g )·h =f ·(g ·h );•存在唯一的单位元素:∃e ∈G ,∀f ∈G ,e f =f e =f ;•有逆:∀f ∈G ,∃唯一的f −1∈G ,f ·f −1=f −1·f =e ,则称代数结构(G ,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,ϕ:G ×G →G ,ϕ(f ,g )=h⇐⇒f ·g =h .在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G 的元素个数称为群的阶,记为|G |.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel 群)G 是群,并且满足∀a ,b ∈G ,ab =ba ,(1.1.1)则称群G 是Abel 群.Abel 群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R ,+)构成Abel 群.例2非零实数的数值乘法(R \{0},*)构成Abel 群.例3n -维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel 群GL(n,C ).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e }的乘法规则为ee =e .对于二元群G ={e ,a },有ee =e ,ea =a ,ae =a .a 2def=aa 有两种可能,•a 2=e ;•a 2=a ,两边同时乘以a −1,得a =e .于是可得乘法表1.1.三元群G ={e ,a ,b }的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a 2有三种可能,您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文e e a aae表1.1:二元群的乘法表a ab e bbe a表1.2:三元群的乘法表–ab =e b =a −1=a , ;–ab =a b =e , ;–ab =b a =e , .•a 2=a a =e , .•a 2=b ,ab =e ,ba =e ,b 2=a . 所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质,定理1(重排定理)群G 的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a ∈G , aG =G ,Ga =G .(1.1.2)证明G 封闭⇐⇒∀g ∈G ,ag ∈G ⇐⇒aG ⊆G .同样可得a −1∈G ,a −1G ⊆G ,G ⊆aG .故aG =G .重排定理1.1.2对所有的群都成立,包括无限群.连续群的乘法无法列表,例如U (1)def= g (θ)|g (θ)def =e i θ,θ∈[0,2π](1.1.3)其乘法规则为g (θ3)=g (θ1)g (θ2),(1.1.4)θ3=θ1+θ2(1.1.5)其中ϕ(θ1,θ2)=θ1+θ2(1.1.6)称为连续群的结合函数,对应有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一种特殊的有限群.定义3(循环群)C n def={e ,g ,g 2,···,g n −1|g n =1}.(1.1.7)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念·3·其中g k 表示k 个g 相乘.循环群的所有元素都可以由g 自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成C n = g |g n =e .(1.1.8)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G = p ,q |p 3=e ,q 2=e ,(qp )2=e(1.1.9)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp )2=q (pq )p =e pq =q −1p −1=qp 2,(1.1.10)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m p n ,从而|G |=6.群的乘法见表1.3.e p p 2q qp qp 2ee p p 2q qp qp 2p p p 2e qp 2q qp p 2p 2e p qp qp 2q q q qp qp 2e p p 2qp qp qp 2q p 2e p qp 2qp 2qqppp 2e表1.3: p ,q 群的乘法表e a b c df e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e ffbcaed表1.4:D 3群的乘法表对有限群,必有∀g ∈G ,∃n ,m ∈N ,n >m ,g n =g m .(1.1.11)记k def=n −m ∈N ,那么g k =e ,(1.1.12)称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩.§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D 3={e ,a ,b ,c ,d ,f },如图1.1所示,乘法规则列于表1.4中.例5(四元群)除了循环群C 4外,还有一个四元群–反演群(Klein 群)V 4,其乘法规则如表1.5所示.其中P 表示空间反射,T 表示时间反演,PT =T P .V 4是Lorentz 群的分立子群.1P T PT 11P T PT P P 1PT T T T PT 1P PTPT T P 1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid 群)二维空间的转动及平移变换g (θ,a ,b ) x 1x 2def =cos θsin θ−sin θcos θ x 1x 2 + ab (1.1.13)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文·4·第1章群论基础e 不动,a 绕1轴转180◦,b 绕2轴转180◦,c 绕3轴转180◦,d 绕z 轴逆时针转120◦,f绕z 轴逆时针转240◦.x图1.1:例7(仿射群)群元素g (α,β)对实数的作用定义为x def=g (α,β)x ≡αx +β,(1.1.14)这是一个2参数的非Abel 群.例8(SL(2,C )){A 2×2|A jk ∈C ,det A =1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S 上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合率,则称代数结构(S ,·)为半群.定义5(环)在集合R 上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R ,+)是Abel 群(其单位元记为0);•(R ,·)是半群;•满足分配率,∀a ,b ,c ∈R ,a (b +c )=ab +ac ,(b +c )a =ba +ca ,(1.1.15)则称代数结构(R ,+,·)为环.如果环的乘法满足交换率则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x 的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a +b i +c j +d k 构成体.例11有理数域Q ,实数域R 和复数域C .§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.2群的分拆·5·§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A ×A 的一个子集又称为集合A 上的关系.设在集合A 上定义了关系R ,则a ,b ∈A 有R 关系⇐⇒(a ,b )∈R ⇐⇒a ∼b .(1.2.1)定义8(等价关系)集合A 上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a ∈A ,a ∼a ;(自反)(1.2.2)a ∼b ⇒b ∼a ;(对称)(1.2.3)a ∼b ,b ∼c ⇒a ∼c .(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”不是等价关系;“同学”、“同民族”是等价关系。

第一章群论的发展历史及基础知识1.1群论的发展历史早在古巴比伦时期，人们就能用根式求解一元二次方程的解，并随着时间的推移，可以对一些特殊的一元三次方程做出求解，但是一直无法找出一般的解法。

直到十六世纪初，意大利人才解决了一元三次方程的一般解法。

然后意大利人似乎不满足于一元三次方程，也是在十六世纪初，意大利人费尔拉里又求解出一元四次方程的根是由系数的函数开四次方所得。

1770年前后，法国数学家拉格朗日提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，虽然他一度认为四次以上代数方程不可能有根式解，但是其思维方法和研究根的置换方法给后人以启发，相继的，鲁菲尼和高斯在一元n次方程的一般解做出研究。

随着时间的推移，1824年到1826年期间，挪威数学家阿贝尔着手考察可用根式求解的方程具有何种共性，并且严格证明了，如果一个方程可以用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理数。

并且利用这个定理证明了著名的阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数的求解。

并且解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，这类方程后来被称为阿贝尔方程。

虽然阿贝尔解决了构造任意次数可解的问题的方法，但是却没能给出已知方程是否可以用根式求解的问题。

这时，群的发明者伽罗华继承阿贝尔的事业，然而这位英年早逝的才子只是在他死后留下的遗书中为以后的数学发展做出贡献。

在他的遗书中，他提出了群的概念，用群的方法彻底解决了根式求解方程的问题，并且发展出一套关于群和域的理论。

正是这套理论为此后的数学发展提供了重要的工具——群论，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。

伴随着群论的发展，作为其他学科重要工具的数学，自然而然的群论成为其他学科，包括物理、化学、生物等学科，重要的研究工具，并且为这些学科的发展起到了不可磨灭的推动作用。

1.2 群论基础群的定义：设G是一个非空集合，如果再G上定义一个代数运算，成为乘法，记作ab（或称为加法，记作a+b），当G满足以下条件时1.（结合律）对于G中任意元素a，b，c有a（b c）=（a b）c；2.（左单位元）在G存在一个元素e，它对G中任意一个元素a都有ea = a；3.（逆元）对于G中任意元素a，都存在一个元素b，使得ab=e；则G称为一个群。

群论需要哪些知识点群论（Group Theory）是数学中一个重要的分支，它研究的是数学结构中的群及其性质。

群论的发展对于数学、物理学、化学等学科都有着重要的影响。

在学习群论之前，需要掌握一些基本的数学知识点，如集合论、代数学、数论等。

接下来，我们将逐步介绍群论需要的知识点。

1.集合论群是一种特殊的集合，因此在学习群论之前，我们需要对集合论有一定的了解。

集合论是数学的基础，它研究的是元素的集合及其关系。

在群论中，我们将关注集合的基本操作，如并、交、差等，以及集合的基本性质，如幂集、子集等。

2.代数学群论是代数学的一个重要分支。

代数学研究的是数学结构及其性质。

在学习群论之前，我们需要了解一些基本的代数学概念，如代数运算、代数结构等。

此外，还需要熟悉代数学中的一些基本性质，如封闭性、结合律、交换律等。

3.数论数论是研究整数性质的数学分支。

在群论中，我们经常会遇到循环群，它是由一个元素生成的群。

数论中的循环群和群论中的循环群有着密切的联系。

因此，在学习群论之前，我们需要对数论中的一些基本概念有所了解，如模运算、欧拉定理等。

4.群的定义与性质群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

在学习群论之前，我们需要了解群的定义及其基本性质。

群的基本性质包括封闭性、结合律、单位元、逆元等。

此外，还需要了解群的子群、同态等概念。

5.群的分类与应用群论研究的是群及其性质，不同的群有着不同的性质和应用。

在学习群论时，我们需要了解不同类型的群，如阿贝尔群、循环群、对称群等。

此外，还需要了解群在数学、物理学、化学等领域的应用，如密码学、晶体学等。

6.群论的进一步研究群论是一个广泛而深入的数学领域，学习群论之后，我们可以进一步研究更深层次的群论内容，如拉格朗日定理、卡西迪定理等。

此外，还可以学习群的表示论、群的作用等高级内容。

综上所述，群论需要的知识点包括集合论、代数学、数论、群的定义与性质、群的分类与应用，以及群论的进一步研究。

群论：知识点写一篇文章（step by step thinking）一、引言群论（Group theory）是数学中的一个重要分支领域，研究的是集合上的一种代数结构，即群。

群论是现代数学的基础之一，也是其他学科中的重要工具和方法。

本文将从基本概念、性质和应用三个方面来介绍群论的知识点。

二、基本概念1.群的定义：群是一个集合，其中包含一个二元运算（通常表示为乘法或加法），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。

2.子群：如果一个群的子集在相同的运算下也构成一个群，则该子集称为原群的子群。

3.同态：如果两个群之间存在一个保持运算的映射，则称这个映射为同态。

4.环和域：环是一个满足加法和乘法条件的集合，域是一个满足加法、乘法和逆元条件的集合。

三、性质1.单位元唯一性：每个群都有一个唯一的单位元，它与群中的任何元素相乘（或相加）都不改变该元素的值。

2.逆元唯一性：每个群中的元素都有一个唯一的逆元，它与该元素相乘（或相加）得到单位元。

3.结合律：群中的运算满足结合律，即无论元素的顺序如何，结果都是相同的。

四、应用1.几何学：群论在几何学中有广泛的应用，特别是对称性和对称群的研究。

通过对称性的分析，可以研究物体的旋转、平移和镜像等性质。

2.密码学：群论在密码学中有重要的应用，特别是在公钥密码系统中。

公钥密码系统利用群论中的离散对数问题来实现安全的加密和解密过程。

3.物理学：群论在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学和场论中。

通过对称群的研究，可以得到物理系统的对称性和守恒量。

五、总结群论作为数学的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用领域。

本文从基本概念、性质和应用三个方面对群论进行了简要介绍。

通过了解群论的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用群论在各个学科中的重要性。

同时，群论的应用也为我们提供了解决实际问题的工具和方法。

希望本文能够对读者对群论有一个初步的了解，并激发对数学的兴趣和探索欲望。

数学中的群论基础理论探究群论作为一门重要的数学分支，被广泛应用于量子力学、密码学、计算机科学等领域。

它是描述对称性和变换的基础理论。

本文将探究群论的基础概念、性质和应用。

一、群的定义及基本性质群是由一个非空集合和一个二元运算组成的数学结构。

如果满足以下四个条件，则称该数学结构为群：1. 闭合性：群中的任意两个元素通过二元运算得到的结果也在该群中；2. 结合律：群中的任意三个元素a、b、c，都满足(a*b)*c=a*(b*c)；3. 单位元素：群中存在唯一的一个元素e，使得对于任意的群元素a，都有a*e=e*a=a；4. 逆元素：对于任意一个群元素a，都存在一个唯一的元素b 使得a*b=b*a=e。

群具有以下基本性质：1. 群的单位元素唯一；2. 群中任意一个元素的逆元素也是唯一的；3. 群中的任何两个元素都具有可交换性，即满足交换律的群被称为阿贝尔群。

二、置换群的概念及性质置换群是指一个有限集合在交换两个元素的操作下的所有变换形成的群。

它可以表示为Sn，其中n为有限集合的元素个数。

对于一个置换群G，可以定义置换群的四个基本运算：1. 将两个变换进行相应的操作，得到一个新的变换；2. 变换的复合，也就是将两个变换进行连续操作，得到新的变换；3. 变换的逆，也就是将一个变换进行反向操作，得到逆变换；4. 恒等变换，也就是保持元素不变的变换。

置换群具有以下性质：1. 置换群中每个置换都可以唯一表示为一组置换元P1、P2、…、Pn；2. 置换群中的单位元素为恒等变换；3. 置换群中的逆元是将置换元的操作进行反向操作得到的逆变换；4. 置换群的复合可交换。

三、群同态与同构群同态是一种保持群结构的映射，即对于任何两个群元素a和b，都有f(a*b)=f(a)*f(b)，其中f是群同态。

如果群同态f是双射，则称该群同态为群同构。

群同构是两个群在结构上完全一致，可以互相映射。

例如，旋转和翻转两个操作都可以将正方形变为另一个正方形，因此这两个操作所得到的群是同构的。

群论知识点总结群论是数学中的一个重要分支，研究群这种抽象代数结构以及它们之间的联系和性质。

群论的发展历程可以追溯到19世纪初，而在20世纪上半叶，群论得到了长足的发展，并且在现代物理学、密码学、计算机科学等领域中得到广泛的应用。

本文将介绍群论的基本概念、重要性质以及一些典型的应用。

一、基本概念1. 群的定义群G是一个非空集合，配合一个二元运算$\star$（称为群运算），满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的$a,b\in G$，$a\star b$仍然是G的元素。

（2）结合律：对于任意的$a,b,c\in G$，有$a\star (b\star c)= (a\star b)\star c$。

（3）单位元：存在一个元素$e\in G$，使得对于任意的$a\in G$，都有$a\star e = e\star a = a$。

（4）逆元：对于任意的$a\in G$，都存在一个元素$a^{-1}\in G$，使得$a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e$。

如果群的群运算满足交换律，则称该群为交换群或阿贝尔群。

2. 子群的定义如果群G的一个非空子集H也是一个群，并且在G中的群运算下封闭，则称H为G的子群。

3. 同态的定义设有两个群$G_1$和$G_2$，它们之间的一个映射$\varphi:G_1\rightarrow G_2$，若满足：（1）$\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}$。

（2）$\varphi(a\star_{G_1} b)=\varphi(a)\star_{G_2}\varphi(b)$，对于任意的$a,b\in G_1$。

则称$\varphi$为一个同态映射。

若$\varphi$是双射，那么称$\varphi$为同构映射。

同构的两个群在结构上完全相同，只是元素的名称不同。

4. 循环群的定义如果群G中某个元素a的所有幂次构成的集合$<a>$在群G中稠密排列，那么称G为循环群，a为循环群的生成元。

群论是数学中的一个重要分支，研究的是群及其性质。

群论的基本原理包括群的定义、群的运算、群的性质以及群的分类等方面。

本文将从这几个方面介绍群论的基本原理。

首先，群的定义是群论的基础。

群是一个集合G，上面定义有一个运算，满足封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性等四个条件。

封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a·b∈G；结合性指的是对于任意的a、b、c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)；单位元存在性指的是存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a·e=e·a=a；逆元存在性指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a·b=b·a=e。

这四个条件是群的基本定义，也是群论的基本原理之一。

其次，群的运算是群论研究的重点。

群的运算可以是加法或乘法，也可以是其他类型的运算，但必须满足封闭性和结合性。

在群的运算中，还存在着交换律、分配律等性质。

交换律是指对于任意的a、b∈G，a·b=b·a；分配律是指对于任意的a、b、c∈G，a·(b+c)=a·b+a·c。

这些性质在群的运算中起着重要的作用，它们是群论的基本原理之一。

此外，群的性质也是群论的重要内容。

群的性质涉及到群的子群、循环群、陪集等概念。

子群是指给定一个群G，如果H是G的非空子集且H也是G的群，那么称H是G的子群。

循环群是指由一个元素生成的群，该元素称为循环群的生成元。

陪集是指给定一个群G和它的一个子群H，对于任意的a∈G，aH={ah|h∈H}称为a关于H的左陪集。

群的性质研究的是群中的一些特殊结构和关系，它们是群论的基本原理之一。

最后，群的分类是群论的一个重要问题。

由于群的性质非常复杂，所以对群进行分类是很有必要的。

群的分类可以从不同的角度进行，比如根据群的阶、根据群的特殊性质等。

根据群的阶可以将群分为有限群和无限群，有限群又可以进一步分为循环群、交错群、对称群等。

探讨群论的基础原理和实际应用群论是数学中的一个分支，主要研究的是群的基本性质、群的结构以及群的应用等方面。

在实际应用中，群论可以用于密码学、化学、物理学等领域，具有广泛的应用。

本文将围绕着群论的基础原理和实际应用展开探讨。

一、群的基本概念在群论的研究中，群是最基本的概念。

群是一个有限或无限的元素集合，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件：1.封闭性：任意两个群元的运算结果仍然属于该群。

2.结合律：群元素间的运算具有结合律。

3.单位元：存在一个群元，满足该元素与其他群元进行运算的结果等于这个群元本身。

4.逆元：每个群元都存在一个逆元，使得这个群元与其逆元进行运算后等于群的单位元。

值得注意的是，以上四点是构成群的必要条件。

具有这四个条件的元素集合与所定义的运算称为一个群。

可以用G=(S,*)来表示一个群，其中G表示群，S表示群的元素集合，*表示群的二元运算。

二、群的性质群在运算中有许多特殊的性质，下面我们将介绍其中一些性质：1.唯一性：一个群只能有一个单位元。

2.左右消元性质：对于一个群元素，左、右两侧可以分别用其逆元素消去。

3.结合律：群元素间的运算具有结合律。

4.交换性：如果一个群的任意两个元素进行二元运算结果都是相同的，则该群是一个交换群。

5.子群：一个群的子集合，仍然是一个群。

6.周期性：如果一个群元素经过多次运算能够得到它本身，则该元素称为该群的周期元素，它的最小周期称为该元素的阶。

三、群的实际应用1.密码学中的应用密码学是一门通过信息加密、解密和验证等技术来确保信息安全的学科。

在密码学中，群论被广泛应用。

例如，在以RSA为代表的基于大素数分解的公钥算法中，令p和q为两个不同的大素数，N=p*q，φ(n)=(p-1)*(q-1)，选择任意e∈[1,φ(n)]，满足gcd(e,φ(n))=1，那么(e,N)即为RSA公钥。

怎么选取私钥呢？设d 为任意正整数，判断e*d mod φ(n) = 1是否成立。

群论基础知识讲解
嘿，朋友！咱们今天来聊聊群论这个神秘又有趣的东西。

你知道吗？群论就像是一个魔法盒子，里面装满了各种奇妙的规则
和秘密。

先来说说啥是群。

想象一下，你有一群小伙伴，大家在一起玩游戏，有着特定的玩法和规则，这就有点像群啦！比如说，你们规定只能向
前走三步或者向后退两步，这就是一种规则。

群里有个重要的概念叫“封闭性”。

这就好比你在一个封闭的房间里，不管怎么折腾，都还在这个房间里。

在群里，不管你怎么对元素进行
操作，得到的结果还是在这个群里。

还有“结合律”，这就好像是搭积木，不管先把哪几块积木拼在一起，最后的结果都不会变。

再说说“单位元”，它就像是一个魔法原点，任何元素和它结合，都
不会改变自身。

比如说数字运算中的 0 ，任何数加 0 都还是原来那个数。

“逆元”也很有意思，它就像是每个元素的“克星”。

比如数字 5 ，它
的逆元就是 -5 ，两者相加就等于那个神奇的单位元 0 。

群论在生活中的应用可不少呢！比如说密码学，那些复杂的加密算
法背后，群论可出了不少力。

就好像给你的秘密穿上了一层厚厚的铠甲，让别人很难破解。

再想想，我们的钟表，从 1 点走到 12 点又回到 1 点，这是不是也
有点群的意思？
学习群论就像是在探索一个神秘的宝藏，一开始可能会觉得有点迷糊，但只要你坚持，慢慢就能发现其中的乐趣和奥秘。

朋友，你想想，如果没有群论，我们的世界得少多少精彩啊！所以，好好去感受群论的魅力吧，说不定你能在这个神奇的世界里发现更多
让人惊叹的东西！。