2017-2018年山东省临沂市罗庄区高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，则下列结论正确的是（）A．∁U A={1，5}B．A∩B=∅C．A∪B={1，2，4，5} D．A⊆B2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0 3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．24．（5分）sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）将余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为（）A．y=cos（2x+） B．y=﹣sin2x C．y=sin2x D．y=cos（x+）6．（5分）在△ABC中，点D是边BC上的一点，若=+λ，则实数λ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣38．（5分）已知a=2，b=ln2，c=log52，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺10．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）11．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）+sinx是偶函数，函数f （x）+cosx是奇函数，则f（）=（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，0]D．（﹣3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=．14．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负重合，终边在y=2x上，则cos2θ=．15．（5分）设x＞0，y＞0，x+y=5，则+的最小值为．16．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面相切，则该四棱锥P﹣ABCD的高是．三、解答题（本大题共6小题，共68分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且f（）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a5=32，6a2，a4，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥PM；（Ⅱ）若AB=BD=PA=2，求三棱锥M﹣PBD的体积．21．（12分）某企业生产某种产品，生产每件产品的成本为6元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（10≤x≤13）时，一年的产量为（14﹣x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，且为了保护环境，用于污染治理的费用h（万元）与出厂价x（元）之间满足函数关系式h（x）=k（14﹣x）2（k为常数，且1≤k≤3）．（Ⅰ）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2，g（x）=e x﹣1，a∈R．（Ⅰ）若∀x1，x2∈（0，1），当x1≠x2时，都有f（x1）≠f（x2），求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，证明：∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，则下列结论正确的是（）A．∁U A={1，5}B．A∩B=∅C．A∪B={1，2，4，5} D．A⊆B【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，∴∁U A={1，5}，A正确；A∩B={3}，B错误；A∪B={1，2，3，4，5}，C错误；A⊈B，D错误．故选：A．2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0【解答】解：对于A，令x=1，成立，对于B，x=0时，不成立，对于C，令x=0，成立，对于D，根据指数函数的性质，成立，故选：B．3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=，f（f（1））=f（）=，解得b=．故选：B．4．（5分）sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin 70° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin （70°﹣40°）=sin30°=．故选：A．5．（5分）将余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为（）A．y=cos（2x+） B．y=﹣sin2x C．y=sin2x D．y=cos（x+）【解答】解：余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为y=cos （2x﹣）=sin2x故选：C．6．（5分）在△ABC中，点D是边BC上的一点，若=+λ，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：在△ABC中，点D是边BC上的一点，则：B、C、D三点共线，则设，整理得：，已知：=+λ，则：，解得：．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，当直线z=2x+y过点A时，，可得A（﹣1，﹣1）直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣3．故选：D．8．（5分）已知a=2，b=ln2，c=log52，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵a=2=，1＞b=ln2=，c=log 52=，∴c＜b＜a．故选：B．9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰梯形，高为1265的直四棱柱，计算该几何体的体积为V四棱柱=S底面积h=×（20+40）×50×1265=1897500（立方尺）．故选：D．10．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【解答】解：由题意关于x的不等式ax+b＜0的解集是（﹣∞，1）可得=﹣1，且a＜0，（ax﹣b）（x﹣3）＞0可变为（x﹣3）（x﹣）＜0，即得（x﹣3）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜3，不等式的解集是（﹣1，3）故选：A．11．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）+sinx是偶函数，函数f （x）+cosx是奇函数，则f（）=（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）+sinx是偶函数，得f（﹣x）﹣sinx=f（x）+sinx，①由函数f（x）+cosx是奇函数，得f（﹣x）+cosx=﹣f（x）﹣cosx，②①﹣②得f（x）=﹣sinx﹣cosx．∴f（）==，故选：C．12．（5分）若函数f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，0]D．（﹣3，+∞）【解答】解：f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，∴f'（x）=4x+a﹣在（1，+∞）上是非负值，∵f'（x）=4x+a﹣在（1，+∞）上递增，∴f'（1）=4﹣1+a≥0，∴a≥﹣3．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=2．【解答】解：x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，可得：x﹣2=0，解得x=2．故答案为：2．14．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负重合，终边在y=2x上，则cos2θ=﹣．【解答】解：由于角θ的终边在直线y=2x上，若角θ的终边在第一象限，则在它的终边上任意取一点P（1，2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===．可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=﹣．若角θ的终边在第三象限，则在它的终边上任意取一点P（﹣1，﹣2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===﹣，可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）设x＞0，y＞0，x+y=5，则+的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+y=5，则x+y+1=6则+=（+）（x+y+1）=（1+4++）≥（5+2）=，当且仅当x=3，y=2时取等号，故答案为：16．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面相切，则该四棱锥P﹣ABCD的高是．【解答】解：由已知，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴=，即=，解得h=．∴此四棱锥的高为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共68分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且f（）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，∴=2•，∴ω=2．∵f（）=sin（2•+φ）=，∴φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数取得最小值为﹣；当2x+=时，函数取得最大值为1，故函数的值域为[﹣，1]．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a5=32，6a2，a4，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵6a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=6a2+a3．可得：=6a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣6=0，q＞1．解得q=2．又a5=32，可得：=32，解得a1=2．∴a n=2n．（II）a1a2•…•a n=2×22×…×2n=21+2+…+n=．b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=log2（a1a2…a n）=．∴=．∴数列{}的前n项和T n=2+…+=2=．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）=，即为（2a﹣b）cosC=ccosB，即2acosC=bcosC+ccosB，由正弦定理可得，2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，可得cosC=，由C为三角形的内角，可得C=；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，①由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2abcos，即为a2+b2﹣ab=4，②由①②可得ab=4，则△ABC的面积为absinC=×4×=．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥PM；（Ⅱ）若AB=BD=PA=2，求三棱锥M﹣PBD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，取AD中点O，连结AO、OM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．∴AC⊥BD，OM∥AC，PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，OM⊥BD，∵OM∩PO=O，∴BD⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴BD⊥PM．解：（Ⅱ）∵AB=BD=PA=2，∴===，PO===，∴三棱锥M﹣PBD的体积：V M﹣PBD=V P﹣BDM===．21．（12分）某企业生产某种产品，生产每件产品的成本为6元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（10≤x≤13）时，一年的产量为（14﹣x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，且为了保护环境，用于污染治理的费用h（万元）与出厂价x（元）之间满足函数关系式h（x）=k（14﹣x）2（k为常数，且1≤k≤3）．（Ⅰ）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．【解答】解：（Ⅰ）依题意，L（x）=（x﹣6）（14﹣x）2﹣k（14﹣x）2=（x﹣6﹣k）（14﹣x）2，x∈[10，13]．（Ⅱ）∵L′（x）=（14﹣x）2﹣2（x﹣6﹣k）（14﹣x）=（14﹣x）（14﹣x﹣2x+12+2k）=（14﹣x ）（26+2k﹣3x）．由L′（x）=0，得x=14∉[10，13]或x=．∵1≤k≤3，∴≤≤．在x=的两侧L′（x）由正变负，故当≤≤10，即1≤k≤2时，L′（x）在[10，13]上恒为负，∴L（x）在[10，13]上为减函数．∴[L（x）]max=L（10）=16（4﹣k）．当10＜≤，即2＜k≤3时，[L（x）]max=L（）=（8﹣k）3，故1≤k≤2时，则当每件产品出厂价为10元时，年利润最大，为16（4﹣k）万元．当2＜k≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为（8﹣k）3万元．22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2，g（x）=e x﹣1，a∈R．（Ⅰ）若∀x1，x2∈（0，1），当x1≠x2时，都有f（x1）≠f（x2），求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，证明：∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2ax，x＞0，由题意得，函数f（x）在（0，1）单调，（1）当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=，x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，由题意得≥1，故0＜a≤1，（2）a≤0时，f′（x）＞0在（0，1）恒成立，f（x）在（0，1）递增，符合题意；综上，所求实数a的范围是（﹣∞，1]；（Ⅱ）a=1时，f（x）=2lnx﹣x2，f′（x）=﹣2x，g′（x）=e x，∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象在x=x0处的切线互相平行，即∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=g′（x0），且f（x0）≠g（x0），令h（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣2x﹣e x，∵h（）=3﹣＞0，h（1）=﹣e＜0，∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=g′（x0），由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，1）递增，故a=1时，f（x）＜f（1）=﹣1，又g（x）=e x﹣1＞﹣1恒成立，∴x0∈（0，1）时，对y=f（x）和y=g（x），都有f（x0）≠g（x0），∴当a=1时，∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．。

2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}2．（5分）已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log 339 C．1 D．log3153．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜16．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+110．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100912．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是．14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有个．15．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有个．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}【解答】解：∵全集U={x|x＞0}，集合M={x|x＞1}，∴∁U M={x|0＜x≤1}．故选：B．2．（5分）已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log339 C．1 D．log315【解答】解：因为函数f（2x）=log3（8x2+7），所以f（1）=f（2×）=log3（8×（）2+7）=log39=2．所以f（1）=2．故选：A．3．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）【解答】解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜lne=1，当x=3时，ln3=ln＞=ln=，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B．4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【解答】解：∵，且0＜＜1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，在一个坐标系中画出函数y=log a x和y=log b x的图象，由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知，b＜a，∴0＜b＜a＜1，故选：D．6．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}【解答】解：∵A={0，1，2，3}，∴B={n|n=2k﹣1，k∈A}={，1，2，4}，则A∩B={1，2}，故选：B．7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选：A．8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：①y=x a，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的上方，∴a＞1，②y=x b，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴0＜b＜1，③y=x c，单调递减，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴c＜0；∴a＞b＞c．故选：C．9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+1【解答】解：===故选：A．10．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）【解答】解：根据题意，y=f（x）为偶函数，则f（）=f（﹣），又由函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且﹣π＜﹣＜﹣1，则有f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π），故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．12．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）=，作出y=f（x）的图象，若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）=＞1，f（x2）=x2＞1，则x2f（x1）＞1，则A可能成立；若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）=＞1，f（x1）=x1＞1，则x2f（x1）=x2x1=1，则B可能成立；对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）=1，则D不成立；若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）=1，x1f（x2）＞1，则D成立．故有C一定不成立．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：g（x）=2﹣3x2的减区间是：（0，+∞），∵函数g（x）=2﹣3x2的减区间，就是函数y=2的单调减区间．∴函数y=2的单调减区间（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）；14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有8个．【解答】解：∵集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，若P⊆（A∪B），则P为A∪B的子集，故这样的集合P共有8个，故答案为：815．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有2个．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴b=0，∵f（f（0））=f（c）=c4+ac2+c=c4+c，∴a=0，即f（x）=x4+c，由f（x）=（x2+）（x2﹣）=0，∴x=±，即函数f（x）有2个零点，故答案为：2．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是③④⑤．【解答】解：①集合{x∈R|x2=1}={﹣1，1}的子集有4个，故错误；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的真数部分的取值范围为（0，10]，故函数的值域是（﹣∞，1]，故错误；③幂函数图象一定不过第四象限，故正确；④令x=﹣1，则f（x）=﹣1恒成立，即函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），故正确；⑤若lna＜1=lne成立，则a的取值范围是（0，e），故正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，则A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}，可得A∩B={x|0＜x＜1}；（2）若A⊆B，集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}，可得a﹣1≥0，且a+1≤3，即a≥1且a≤2，即1≤a≤2，则实数a的取值范围为[1，2]．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．【解答】解：（1）证明：设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=）=1+﹣1﹣=，∴＜，∴﹣＜0；又﹣1＜0，﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在定义域R上是减函数（2）由（1）可得函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴当x=﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=﹣3．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）【解答】解：（1）∵Q0＞0，﹣＜0，e＞1，∴Q=Q0e为减函数，∴随时间的增加，臭氧的含量是减少．（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q=Q0=Q0，即=，取对数可得：﹣=ln，解得x=400ln2≈277.2．∴278年以后将会有一半的臭氧消失．20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；由y=x和y=﹣x在（0，+∞）上是增函数，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数．又f（x）是奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．（2）f（4）﹣3f（2）g（2）=﹣3××=﹣=0；同理f（9）﹣3f（3）g（3）=（9﹣9）﹣3×（3﹣3）×（3+3）=（9﹣9）﹣（9﹣9）=0；猜想：f（x2）﹣3f（x）g（x）=0．证明：∵f（x2）﹣3f（x）g（x）=﹣3××=（x﹣x）﹣（x﹣x）=0，∴等式成立．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）+f（﹣x）=0，则函数f（x）是奇函数，则f（0）=0，（2分）当x＞0时，﹣x＜0，则，所以，（5分）所以．（6分）（2）令t=2x，则t∈[2，8]，y=﹣t2+8t+1t∈[2，8]，（10分）对称轴为t=4∈[2，8]，当t=4，即x=2，f（x）max=﹣16+32+1=17；（11分）当t=8，即x=3，f（x）min=﹣64+64+1=1．（12分）22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．【解答】解：设x0∈A，则，两端同时除以，得1+=0，则∈B，∴集合A，B的元素互为倒数，由A∩B≠∅，一定有x0∈A，使得∈B，且，解得x0=±1，又A∩（C R B）={﹣2}，则﹣2∈A，A={1，﹣2}，或A={﹣1，﹣2}，∴B={1，﹣}，或B={﹣1，﹣}，由根与系数的关系得或，解得p=1，q=﹣2或p=3，q=2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上1．已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（）A．M∩N={4，6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．（∁U M）∩N=N2．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A． B．C． D．D3．若x＞y＞1，0＜a＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．a x＞a yC．x﹣a＞y﹣a D．x a＞y a4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．25．P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任一点，则|PQ|的最小值为（）A．B．3 C．D．66．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=07．一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm38．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．9．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．2，﹣2 D．2，0，﹣210．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β=l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=lgx，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）零点的个数为（）A．13 B．12 C．9 D．812．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是14．A、B两点到平面α的距离分别是3cm、5cm，点M是AB的中点，则M点到平面α的距离是．15．经过点C（2，﹣3），且与两点M（1，2）和N（﹣1，﹣5）距离相等的直线方程是．16．α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中正确的序号是．三、解答题.：本大题共6个小题，共70分。

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。

山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）cos570°=（）A．B．C．D．2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）3．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=tan2x C．y=sin2x D．4．（5分）已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．﹣35．（5分）已知||=||=1，与的夹角为90°，且=2+3，=k﹣2，若⊥，则实数k的值为（）A．6B．﹣6 C．3D．﹣36．（5分）已知向量=（3，4），=（﹣3，1），与的夹角为θ，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣3 D．37．（5分）如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（5分）函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需要将函数y=cos（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位10．（5分）已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且=，=，设=，=，若=r+s，则r﹣s的值是（）A．B．0C．﹣1 D．﹣3二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin（﹣）+cos+tan（﹣）=．12．（5分）已知||=3，||=5，•=6，则在上的投影为．13．（5分）设扇形的弧长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．14．（5分）已知=（6，2），=（﹣4，），直线l过点A（3，﹣1），且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是．15．（5分）给出下列：①函数是偶函数②x=是函数的一条对称轴方程③函数的图象关于点对称．其中正确的序号是．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）若向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1）．求：（Ⅰ）向量的模．（Ⅱ）与平行的单位向量的坐标．17．（12分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），D（﹣2，﹣1）．（Ⅰ）求平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长；（Ⅱ）设实数m满足，求m的值．19．（12分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．，向量与的夹角为θ．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求|+t|的最小值及相应的t值．20．（13分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若y=f（x）图象过点，且在区间上是增函数，求ω的值．21．（14分）设x∈R，函数的最小正周期为π，且．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间；（Ⅲ）若f（x）＞，求x的取值范围．山东省临沂市罗庄区2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）cos570°=（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos570°=cos（360°+210°）=cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣，故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算求解即可．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，2）（1，﹣1）=（﹣1，2）．故选：D．点评：本题考查平面向量的坐标运算．考查计算能力．3．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=tan2x C．y=sin2x D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+）、y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：由于函数y=cos4x的周期为=，故排除A；由于函数y=tan2x的周期为，故排除B；由于函数y=sin2x的周期=π，满足条件；由于函数y=sin的周期为=4π，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+）、y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．4．（5分）已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．﹣3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的性质定理得到，利用向量相等求n．解答：解：因为向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，并且∥，所以存在λ，使，所以，解得n=；故选B．点评：本题考查了向量平行的性质；如果∥，那么存在唯一的常数λ，使．5．（5分）已知||=||=1，与的夹角为90°，且=2+3，=k﹣2，若⊥，则实数k的值为（）A．6B．﹣6 C．3D．﹣3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到=0，利用⊥，得到关于k 的等式求之．解答：解：因为||=||=1，与的夹角为90°，所以=0，又⊥，所以•=0，即（2+3）•（k﹣2）=2k=0，所以2k﹣6=0，解得k=3；故选C．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；考查向量垂直，数量积为0的性质；属于基础题．6．（5分）已知向量=（3，4），=（﹣3，1），与的夹角为θ，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣3 D．3考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值，根据夹角范围求出正弦值，最后求正切．解答：解：由已知得到cosθ==，又θ∈，所以sinθ=，所以tanθ==﹣3；故选C．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用求向量的夹角；属于基础题．7．（5分）如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由第二象限点的坐标符号可得，再由三角函数的符号可得角θ所在的象限．解答：解：∵点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，∴，∴角θ所在的象限是第四象限，故选：D．点评：本题考查三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，属于基础题．8．（5分）函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由复合函数的单调性易得2kπ≤﹣≤2kπ+π，k∈Z，变形可得答案．解答：解：要求函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间，只需求函数y=cos（﹣）的单调递减区间，由题意可得2kπ≤﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得4kπ+≤x≤4kπ+，∴原函数的单调递增区间为：，k∈Z，故选：D．点评：本题考查三角函数的单调性，属基础题．9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需要将函数y=cos（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用y=sin2x=cos（2x﹣），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．解答：解：∵y=sin2x=cos（2x﹣），∴y=cos（2x﹣）向右平移个单位，得到y=cos=cos（2x﹣）=sin2x．故选A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，利用诱导公式将y=sin2x转化为y=cos （2x﹣）是变换的关键，属于中档题．10．（5分）已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且=，=，设=，=，若=r+s，则r﹣s的值是（）A．B．0C．﹣1 D．﹣3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的三角形法则，将向量用，表示，求出r，s即可．解答：解：由题意，====，所以r=，s=，所以r﹣s=﹣1；故选C．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是将向量分解为用，表示．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin（﹣）+cos+tan（﹣）=．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用正弦、余弦函数的奇偶性及诱导公式化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣sin+cos（4π﹣）﹣tan（π+）=﹣++=．故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）已知||=3，||=5，•=6，则在上的投影为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积公式，在上的投影为：．解答：解：因为在上的投影为：==2；故答案为：2．点评：本题考查了在上的投影为：，而在上的投影为：．13．（5分）设扇形的弧长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用扇形的面积求出扇形的半径，然后求出扇形的圆心角．解答：解：因为扇形的弧长为2，面积为4，所以扇形的半径为：2×r=4，r=4，则扇形的圆心角的弧度数为．故答案为：．点评：本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力．14．（5分）已知=（6，2），=（﹣4，），直线l过点A（3，﹣1），且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是2x﹣3y﹣9=0．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：由于，而，由于直线l过点A（3，﹣1）且与向量垂直，利用条件及质纤维的方程的定义即可．解答：解：∵由于，而，设P（x，y）为直线l上任意一点，由向量垂直与直线l，得直线l的一般方程是2x﹣3y﹣9=0．故答案为：2x﹣3y﹣9=0点评：此题考查了向量的坐标的加法运算律，直线的方程及方程的思想求解问题．15．（5分）给出下列：①函数是偶函数②x=是函数的一条对称轴方程③函数的图象关于点对称．其中正确的序号是①②．考点：的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的奇偶性，函数的对称轴以及对称中心，判断结果即可．解答：解：对于①，函数=﹣cosx，是偶函数，所以①正确；对于②，x=，则函数=sin（）=﹣1，x=是函数的一条对称轴方程，所以②正确；对于③，x=时，函数=tan=，函数的图象关于点对称不正确，所以③不正确．故答案为：①②．点评：本题考查三角函数的图象与性质的应用，考查基本知识的应用．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）若向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1）．求：（Ⅰ）向量的模．（Ⅱ）与平行的单位向量的坐标．考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：（I）利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出；（Ⅱ）与平行的单位向量=，即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1），∴向量=（2，1）﹣（﹣2，4）=（4，﹣3），∴向量==5．（Ⅱ）与平行的单位向量==（4，﹣3）=（，﹣）．点评：本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、与平行的单位向量=，属于基础题．17．（12分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴==tanα=点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），D（﹣2，﹣1）．（Ⅰ）求平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长；（Ⅱ）设实数m满足，求m的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的平行四边形法则求出，的坐标，然后求向量的模；（Ⅱ）利用坐标表示向量，利用数量积为0，得到关于m的方程解之．解答：解：（Ⅰ）∵，…（2分）由，得，…（4分）由，得．…（6分）所以，平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长分别为．…（7分）（Ⅱ）∵，∴，，…（10分）∵，∴，…（11分）∴﹣11+5m=0，∴．…（12分）点评：本题考查了有向线段的坐标表示、向量的平行四边形法则以及求模、数量积的坐标运算；属于基础题．19．（12分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．，向量与的夹角为θ．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求|+t|的最小值及相应的t值．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算求cosθ；（Ⅱ）首先求出+t的坐标，然后用t表示其模，根据解析式是关于t的二次函数求最小值．解答：解：（I）∵=（﹣1，2），=（1，1），∴=（﹣1，2）•（1，1）=﹣1+2=1，||=，||=，…（2分）∴cosθ=；…（6分）（II）∵=（﹣1，2），=（1，1）∴+t=（﹣1+t，2+t），…（8分）∴|+t|==，…（10分）当t=﹣时，|+t|的最小值为．…（12分）点评：本题考查了向量数量积的坐标运算以及模的最值求法；属于基础题．20．（13分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若y=f（x）图象过点，且在区间上是增函数，求ω的值．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数图象和性质易得，可得ω的范围，再由图象过点可得，k∈Z，取k值可得ω解答：解：当f（x）为增函数时，﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+≤x≤+，k∈Z，∵f（x）在上是增函数．∴，解得ω≤2，又∵ω＞0，∴0＜ω≤2，又∵y=f（x）的图象过点，∴，∴，k∈Z．解得，k∈Z，∴…（13分）点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．21．（14分）设x∈R，函数的最小正周期为π，且．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间；（Ⅲ）若f（x）＞，求x的取值范围．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由周期可得ω=2，再由且和φ的范围可得φ值；（II）由（I）知，易得单调递减区间，取在（﹣π，π）的即可；（III）由正弦函数的图象结合可得，解不等式可得．解答：解：（I）周期，∴ω=2，∵，又∵，∴；（II）由（I）知，由可得，∴，∵x∈（﹣π，π），∴，，∴函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间为，；（III）∵，∴，∴，∴，∴点评：本题考查正弦函数的单调性和周期性，属中档题．。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．32．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．25．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x37．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．ex+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）11．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数aa）+f（log a）≤2f（﹣1），则a的取值范围是（）满足f（log2A．[2，+∞]∪（﹣∞，] B．（0，]∪[2，+∞）C．[，2] D．（0，]12．已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．3个B．2个C．0个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．20．（12分）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．21．（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22．（12分）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高一（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．2．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：∵B={x|2x＞4}={x|x＞2}，又A={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及指数不等式的解法，是基础的计算题．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．2【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=lr=×3=，故选A．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．5．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．7．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】先由图象可求得直线的方程，又函数的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c值，从而即可求得a+b+c的值．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，（x+）的图象过点（0，2），又函数y=logc将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．e【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据y=f（x）与y=e x的图象关于直线y=x对称，求出f（x），再根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，求出y=g（x），再列方程求a的值即可．【解答】解：函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=lnx，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，∴y=﹣lnx，∴g（a）=﹣lna=1，a=．故选：C．【点评】本题考查了函数图象对称的应用问题，是基础题目．x+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，再判断函数的单调性，确定函数的零点的唯一性，从而得到结果．【解答】解：函数f（x）=2x+x，f（﹣1）=﹣1=﹣＜0，f（0）=1＞0，可知函数的零点a ＜0；令g（x）=x﹣3=0得，b=3；函数h（x）=logx+x=0，h（）=﹣1+=﹣＜0，h（1）=1＞0，2∴函数的零点满足＜c＜1，∵f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=logx+x在定义域上是增函数，2∴函数的零点是唯一的，则a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围．10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，⇒函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，⇒f（）＜f（）＜f（0），及f（）＜f（）＜f（2）．【解答】解：函数f（x）定义在实数集R上，且满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）．又∵当x≥1时，f（x）=2x，∴函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，∴f （）＜f （）＜f （0），及f （）＜f （）＜f （2）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的对称性及单调性，属于中档题．11．已知函数f （x ）定义在实数集R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），则a 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞]∪（﹣∞，]B ．（0，]∪[2，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （log a ）=f （﹣log 2a ）=f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （loga ）≤2f （﹣1），为：f （log 2a ）≤f （1）， 因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，所以|log 2a|≥1，解得0＜a ≤或a ≥2，则a 的取值范围是（0，]∪[2，+∞）故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．12．已知函数，则函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．0个 D ．4个【考点】函数的图象．【分析】函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数即为f[f （x ）]﹣1=0的解得个数，根据函数解析式的特点解得即可，【解答】解：y=f[f （x ）]﹣1=0，即f[f （x ）]=1，当f（x）+1=1时，即f（x）=0时，此时log2x=0，解得x=1，或x+1=0，解得x=﹣1，当log2f（x）=1时，即f（x）=2时，此时x+1=2，解得x=1（舍去），或log2x=2，解得x=4，综上所述函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为3个，故选：A．【点评】此题考查的是函数于函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，应满足，即，解得x≥﹣1且x≠1；所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质进行求解．【解答】解：令x﹣1=0得x=1，此时f（1）=1﹣2=﹣1．故函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是[1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+2x＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），则f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t的减区间．利用二次函数的性值可得令t=﹣x2+2x在定义域内的减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•扶余县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x ≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．（1）求A∪B，（∁A）∩B；R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的概念求解；（2）由C∩A=C，∴C⊆A，然后分C为空集和不是空集分类求解a的范围，最后取并集．【解答】解：（1）A∪B={x|1≤x≤8}，∁R A═{x|x≥5或x＜1}，（∁RA）∩B═{x|5≤x≤8}，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A当C=∅时 a+3＜﹣a解得a≤﹣当C≠∅时解得：﹣综上所述：a≤﹣1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系，解答的关键是端点值的取舍，是基础题．18．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断；对数函数的图象与性质．【分析】（1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得答案．【解答】解：（1）f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：因为，定义域为（﹣1，1）关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令u==﹣1为（﹣1，1）上的减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得：＜m＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．【解答】解：（1）对称轴x=，且图象开口向上．若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，则满足≤2或≥4，解得：m≤5或m≥9；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，则只需：x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＞2x﹣9在区间[﹣1，1]恒成立，即x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上①当≥1即m≥1时，h（x）在[﹣1，1]上是减函数，=h（1）=2＞0，所以h（x）min所以：m≥1；②当﹣1＜＜1，即﹣3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，=h（）=m+2﹣＞0，解得：1﹣2＜m＜1；即h（x）min③当≤﹣1即m≤﹣3时，h（x）在[﹣1，1]上是增函数，所以，h（x）min=h（﹣1）=2m+4＞0，解得：m＞﹣2，此时，m∈∅；综上所述：m＞1﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）（2014秋•增城市期末）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．22．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x ﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（e x+1）+ax=0，ln（e x+1）﹣x+2ax﹣ln（e x+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=e x﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（e x+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（e x+1）+x，设m（x）=ln（e x+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增。

2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}，则I IA B 痧等于()A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，3}D ．{0，1，2，3}2．已知x R ∈，则“1x >”是“2x x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题“0x R ∃∈，2040x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[16-，0] B ．(16,0)- C ．[4-，0] D ．(4,0)-4．设集合2{|}A x x x =…，1{|1}B x x=…，则(AB = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为( ) A ．1y x=B ．2y x =-C ．||y x =-D ．||1y x =+6．幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．当(2x ∈，3]时，函数()f x 的值域是( ) A ．1[4-，0]B ．1[2-，0]C ．[1-，0]D ．(-∞，0]8．设2:2310p x x -+…，22:(21)0q x a x a a -+++…，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]2B ．1(0,)2C ．(-∞，10][2，)+∞D ．(-∞，10)(2⋃，)+∞9．函数95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，0ab <，则f （a ）f +（b ）的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断10．李冶(11921279)-，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注:240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）( ) A ．10步、50步B ．20步、60步C ．30步、70步D ．40步、80步二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是( ) A ．12B ．13C ．14D ．1613．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是( ) A ．228a b +…B ．114ab … C2 D ．111a b+… 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 14．已知集合2{|120}A x x x =--…，{|211}B x m x m =-<<+，且A B B =，则实数m 的取值范围是 ．15．若“x R ∀∈，(2)10a x -+>”是真命题，则实数a 的取值集合是 ． 16．已知关于实数x 的不等式22520(0)x ax a a -+<>的解集为1(x ，2)x ，则1212ax x x x ++的最小值是 ．17．某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数．若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k = ，欲使每小时的油耗不超过9L ，则速度x 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程 18．已知集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…． （1）求{|58}MP x x =<…的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件．19．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围． 20．已知不等式250ax x b -+>的解是32x -<<，设2{|50}A x bx x a =-+>，3{|5}1B x x =+…． （1）求a ，b 的值； （2）求AB 和()U AB ð．21．已知函数22()2()f x x x a =+- （1）讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()2f x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在[0，1]上有最大值9，求a 的值．22．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元)表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）． （1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 23．设关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，函数24()1x af x x -=+ （1）证明()f x 在区间(,)αβ上是增函数；（2）当a为何值时，()f x在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}，则I IA B 痧等于()A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，3}D ．{0，1，2，3}【解答】解：全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}， {3}{0I I A B ∴==痧，1} {0I IAB ∴=痧，1，3}故选：C ．2．已知x R ∈，则“1x >”是“2x x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x x >得1x >或0x <， 则“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件， 故选：A ．3．已知命题“0x R ∃∈，2040x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[16-，0] B ．(16,0)- C ．[4-，0] D ．(4,0)-【解答】解：“0x R ∃∈，20040x ax a +-<”为假命题，等价于x R ∀∈，240x ax a +-…为真命题，∴△2160a a =+…，解得160a -剟， 故选：A ．4．设集合2{|}A x x x =…，1{|1}B x x=…，则(AB = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]【解答】解：[0A =，1]，(0B =，1]； (0AB ∴=，1]．故选：C ．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为( ) A ．1y x=B ．2y x =-C ．||y x =-D ．||1y x =+【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，是反比例函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于B ，2y x =-，是二次函数，是偶函数，在区间(,0)-∞上为增函数，不符合题意； 对于C ，,0||,0x x y x x x <⎧=-=⎨-⎩…，为偶函数，在区间(,0)-∞上为增函数，不符合题意；对于D ，1,0||11,0x x y x x x +⎧=+=⎨-+<⎩…，为偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数，符合题意；故选：D ．6．幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数）， 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-， ∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<，1101a b b a∴<<<<<， 又幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a>>，故选：B ．7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．当(2x ∈，3]时，函数()f x 的值域是( ) A ．1[4-，0]B ．1[2-，0]C ．[1-，0]D ．(-∞，0]【解答】解：当(2x ∈，3]时，2(0x ∴-∈，1]， 又当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-， (2)(2)(3)f x x x ∴-=--， (1)2()f x f x +=， 1()(1)2f x f x ∴=+， 1111(2)(1)()()2224f x f x f x f x ∴-=-==， ∴1()(2)(3)4f x x x =--， ()4(2)(3)f x x x ∴=--，((2,3])x ∈ ()f x ∴的值域为[1-，0]．故选：C ．8．设2:2310p x x -+…，22:(21)0q x a x a a -+++…，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]2B ．1(0,)2C ．(-∞，10][2，)+∞D ．(-∞，10)(2⋃，)+∞【解答】解：2:2310p x x ⌝-+>，22:(21)0q x a x a a ⌝-+++>； 解22310x x -+>得12x <，或1x >，解22(21)0x a x a a -+++>得x a <，或1x a >+； 若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件；∴1211a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，解得102a 剟，即实数a 的取值范围是1[0,]2． 故选：A ．9．函数95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，0ab <，则f （a ）f +（b ）的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解答】解：根据题意，得 95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-； 又()f x 在第一象限是增函数，且当2m =时，指数95422120150⨯--=>，满足题意； 当1m =-时，指数954(1)(1)140⨯----=-<，不满足题意； ∴幂函数2015()f x x =是定义域R 上的奇函数，且是增函数；又a ，b R ∈，且0a b +>，a b ∴>-， 又0ab <，不妨设0b <，即0a b >->，f ∴（a ）()0f b >->， ()f b f -=-（b ）， f ∴（a ）f >-（b ），f ∴（a ）f +（b ）0>． 故选：A ．10．李冶(11921279)-，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注:240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）( ) A ．10步、50步B ．20步、60步C ．30步、70步D ．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m ，方田边长为40步m +． 方田面积减去水池面积为13.75亩， 22(40)()13.752402mm π∴+-=⨯．解得：20m =． 即圆池直径20步那么：方田边长为40步20+步60=步． 故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．12．关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16【解答】解：若12a =，则22||10x x -+=，方程由两个解：1±，不满足题意， 若13a =，则23||10x x -+=，△940=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 若14a =，则24||10x x -+=，△1640=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 若16a =，则2||6||10x x -+=，△3640=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 故选：BCD ．13．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是( )A ．228a b +…B ．114ab … C 2 D ．111a b+… 【解答】解：由题意，可知22216()2224a b a b ab ab ab ab =+=+++=…，4ab ∴…．则28ab …，221621688a b ab ∴+=--=…．故选项A 正确；4a b =+…，∴2，4ab …．0a >，0b >，0ab ∴>． ∴114ab …，故选项B 正确；2，故选项C 错误；对于选项1144:14a b D a b ab ab ++===…． 故选项D 错误． 故选：AB ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 14．已知集合2{|120}A x x x =--…，{|211}B x m x m =-<<+，且A B B =，则实数m 的取值范围是 [1-，)+∞ ．【解答】解：{|34}A x x =-剟，{|211}B x m x m =-<<+， AB B =，B A ∴⊆，①B =∅时，211m m -+…，解得2m …； ②B ≠∅时，221314m m m <⎧⎪--⎨⎪+⎩……，解得12m -<…，∴实数m 的取值范围是[1-，)+∞．故答案为：[1-，)+∞．15．若“x R ∀∈，(2)10a x -+>”是真命题，则实数a 的取值集合是 {2} ． 【解答】解：若命题“对x R ∀∈，都有(2)10a x -+>”是真命题， 只要20a -=，即2a =， 故答案为：{2}．16．已知关于实数x 的不等式22520(0)x ax a a -+<>的解集为1(x ，2)x ，则1212ax x x x ++的【解答】解：由题意，根据根与系数的关系，有125x x a +=，2122x x a =．1221215510222a a x x a a a x x aa a∴++=+=+=+…． 当且仅当152a a=，即a =时，1212a x x x x +++． ．17．某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数．若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k = 100 ，欲使每小时的油耗不超过9L ，则速度x 的取值范围为 ．【解答】解：记每小时的油耗为y ，则根据题意：14500()5y x k x=-+， 则当120x =时，14500(120)11.55120y k =-+=，解得100k =， 所以14500(100)5y x x=-+ 当9y …时，即14500(100)95x x-+…，解得45100x 剟， 又因为60120x 剟，则x 的取值范围为[60，100]， 故答案为100；[60，100]．三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程18．已知集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…．（1）求{|58}M P x x =<…的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件． 【解答】解：（1）集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…．若8a …，则{|8}M P x x a =剟，不满足条件；若58a <<，则{|8}M P x a x =<…，不满足条件；若35a -剟，则{|58}M P x x =<…，满足条件；若3a <-，则{|3MP x a x =<<-，或58}x <…，不满足条件； 故{|58}M P x x =<…的充要条件为[3a ∈-，5]（2）任取[3a ∈-，5]，如0a =，则“0a =”时，{|58}MP x x =<…成立， 但“{|58}M P x x =<…”时，“0a =”不一定成立， 故0a =即为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件． （注：任取[3a ∈-，5]，均可）19．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，因为0x 为()f x 的不动点，所以20003x x x --=即200230x x --=解得01x =-，03x =，所以1-和3是2()3f x x x =--的不动点，（2）因为()f x 恒有两个相异的不动点即方程()f x x =恒有两个不同的解，即2()(1)1f x ax b x b x =+++-=，即210ax bx b ++-=有两个不相等的实根，所以24(1)0b a b -->恒成立，即对于任意b R ∈，2440b ab a -+>恒成立，所以22(4)4(4)00a a a a --<⇒-<，所以01a <<，即a 的取值范围为(0,1)．20．已知不等式250ax x b -+>的解是32x -<<，设2{|50}A x bx x a =-+>，3{|5}1B x x =+…． （1）求a ，b 的值；（2）求A B 和()U A B ð．【解答】解：（1）根据题意知，3x =-，2是方程250ax x b -+=的两实数根；∴由韦达定理得，53232a b a⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩； 解得5a =-，30b =；（2）由上面，5a =-，30b =；{}21130550{|,}32A x x x x x x ∴=--=-或，且2{|1}5B x x =-<-…； ∴2{|1}5AB x x =-<-…，21,5U B x x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭或…ð； ∴()12{|,}35U A B x x x =--或ð． 21．已知函数22()2()f x x x a =+-（1）讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()2f x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 在[0，1]上有最大值9，求a 的值．【解答】解：（1）当0a =时，2()3f x x =，()()f x f x -=，为偶函数；当0a ≠时，22()32f x x ax a =-+，非奇非偶函数；（2）由22()2()2f x x x a =+->恒成立，可得223220x ax a -+->恒成立，∴△22412(2)0a a =--<，23a ∴>，解可得，a <a >（3）22()32f x x ax a =-+，对称轴为3a x =， ①当132a …，即32a …时，2()(1)239max f x f a a ==-+=，解得1a =-或1a =②当132a >，即32a >时，2()(0)9max f x f a ===，解得3a =或3a =-（舍去），综上：1a =-3a =．22．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元)表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解答】解：（1）当6x …时，50115y x =-，令501150x ->，解得 2.3x >．*x N ∈，3x ∴…，36x ∴剟，*x N ∈， 当6x >时，[503(6)]115y x x =---．令[503(6)]1150x x --->，有23681150x x -+<，上述不等式的整数解为*220()x x N ∈剟， *620()x x N ∴<∈…．故*2*50115(36)368115(620)x x x N y x x x x N ⎧-∈=⎨-+-<∈⎩剟…， 定义域为{|320x x 剟，*}x N ∈．（2）对于*50115(36,)y x x x N =-∈剟． 显然当6x =时，185max y =（元)， 对于22*348113681153()(620,)33y x x x x x N =-+-=--+<∈…． 当11x =时，270max y =（元)．270185>，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多． 23．设关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，函数24()1x a f x x -=+ （1）证明()f x 在区间(,)αβ上是增函数；（2）当a 为何值时，()f x 在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．【解答】解：（1）证明：设2()22x x ax Φ=--，则当x αβ<<时，()0x Φ<．2222224(1)2(4)2(22)()0(1)(1)x x x a x ax f x x x +----'==->++， ∴函数()f x 在(,)αβ上是增函数．（2）由关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，可得α，β=24()1a f ααα-==+，()f β= 即有2264()()4016f f a a αβ-==-<+-， 函数()f x 在[α，]β上最大值()0f β>，最小值()0f α<， ∴当且仅当()()2f f βα=-=时，()()|()||()|f f f f βαβα-=+取最小值4， 此时0a =，()2f β=．当0a =时，()f x 在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．。

山东省临沂市兰山区2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．32．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{0，1}3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=5．（3分）函数f（x）=x+ln x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x 8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．49．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=011．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）二、填空题13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．14．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是．（填写所有正确的编号）15．（3分）已知，则f（x）的值域为．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是．三、解答题17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．指数函数的图象如图所示．（1）在已知图象的基础上画出指数函数的图象；（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵f（α）=log2（α+1）=1∴α+1=2，故α=1，故选B．2．B【解析】由集合B中的不等式变形得：20≤2x＜22，解得：0≤x＜2，∴B=[0，2），又A={﹣1，1}，则A∩B={1}．故选：B.3．D【解析】函数的定义域为[0，+∞）；函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）；函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数的定义域为（0，+∞）；故选：D．4．D【解析】∵，A错，，B错；a0=1中a≠0，C错；=，D正确．故选D.5．B【解析】令f（x）=x+ln x=0，可得ln x=﹣x，再令g（x）=ln x，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．6．A【解析】12年后的价格可降为=8100×=2400元．故选：A．7．B【解析】∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选B．8．B【解析】若a＞1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递增；函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a2﹣1=7，∴a2=4，又∵指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为a0+a2=1+a2=5，若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递减；则函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a0﹣1=7，不合，舍去．故选B．9．B【解析】∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，∵f（x）≤4，∴2+m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．10．A【解析】由题意可得函数y=|x|的图象和直线y=﹣k有两个交点，数形结合可得﹣k＞0，即k＜0，故选：A11．A【解析】方法1：方程化为一般形式得：x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0，∵α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2=0的两根，∴α+β=a+bf（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（b）＜0又二次函数图象开口向上，所以必有α＜a＜b＜β；故选：A．方法2：令w=（x﹣a）（x﹣b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．故选：A．12．B【解析】定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．二、填空题13．﹣10【解析】∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1014．②【解析】单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故函数的图象一直是下凹的，仅有②符合题意，故答案为：②．15．（0，+∞）【解析】知，当x＜0时，函数f（x）=2x单调递增，根据指数函数的性质可得：0＜f（x）＜1．当x≥0时，函数f（x）=x+1单调递增，根据指数函数的性质可得：f（x）≥1，综上可得函数f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为（0，+∞）．16．①③④【解析】如图，①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．三、解答题17.解：（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A={x|1≤x≤3}，∵log2x＞1，即log2x＞log22，∴x＞2，∴B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；C R B={x|x≤2}，∴C R B∪A={x|x≤3}；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，当C⊆A，当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3，综上所述a≤3．18．解：（1）由已知图象知，∴，∴的图象如图所示．（2）∵y=ax2+bx的顶点横坐标为，∴，∴y=ax2+bx的顶点横坐标的取值范围是．19．（I）解：∵函数f（x）=．∴函数f（x）=的定义域R，定义域关于原点对称．又，∴f（x）是偶函数．（Ⅱ）证明：∵，∴为定值．（Ⅲ）解：由（II）知，+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）==0+f（1）=0．20．解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，即．∴1﹣m2x2=1﹣x2，得m=±1．当m=1时，，故m=1不合题意，舍去．∴m=﹣1．（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．证明如下：由（1）得（a＞0，且a≠1），任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，令，则，．∴．∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x2＞0，∴t（x1）＞t（x2）．∴当a＞1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．21．解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40），，（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．22．解：（1）由已知a2﹣a+1=2，∴a=2．（2）∵f（x）=2x﹣2+1，∴g（x）=2x，∴h（x）=log2x（x＞0），（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，∴1＜x≤2，据题有在（1，2]恒成立，∴设t=log2x（1＜x≤2），∴0＜t≤1，∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．即：在[0，1]时恒成立，设，t∈（0，1]单调递增，∴t=1时，有y max=1，∴m≥1．。