七年级下册数学因式分解之提取公因式法.

结论总结
1.找出多项式各项公因式的方法： 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一
个，即字母最低次幂。
结论总结
2.提公因式法分解因式步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的 乘积）；
寻找公因 式的关键: 1、定系数 2、定字母 3、定指数
3
系数：最大
2指数：取最低的 x
字母：
公约数
相同字
所以，公因式母是 3x2
公因式的系数：应该取各项系数的最大公约数。
公因式的字母：要取各项中的相同字母。
公因式的指数：相同字母取最低次数。
下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3
下列各多项式的公因式是什么？
(4) 9m2n - 6mn
单项式
(5) -6x2y - 8xy2
公因式
(6) 4(m+n)2
+2(m+n)
多项式
例1.把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
第一步，找出公因式， 把多项式各项写成公 因式与一个因式的积； 第二步，提取公因式 ， 剩余的因式组成另一
式因式与多项式因式的积？ 2、结果中每个多项式是不是
例2.把 -4x3 –12x2 +4x 分解因式.
× =-2x(2x2+6x-2)
公因式要提 尽
提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽 （2）小心漏掉1 （3）当多项式的第一项为负数时，通常要先 把符号提出来，注意括号内的各项都要变号。

例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
互逆
分解因式要注意什么？ 1 分解的对象必须是多项式. 2 分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3 要分解到不能分解为止.
1、什么叫因式分解？ 2、提公因式法分解因式步骤(分两步) 3、确定公因式的方法 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽 （2）小心漏掉 （3）多项式的首项取正号
a b
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
确定公因式的方法： 1、定系数：公因式的系数是多项 式各项系数的最大公约数。
2、定字母：字母取多项式各项中都 含有的相同的字母。
3、定指数：相同字母的指数取各项 中最小的一个，即最低次幂。
公因式要提尽
例: 找 3 x
2
– 6 xy 的公因式。
定系数
3
定字母
x
1 定指数
所以，公因式是3 x 。 思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
=3(x+2)

提公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位与作用这节课是七年级下册第三章第二节《提公因式法》第一课时。

学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。

它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用（二）目标分析：A：知识与技能目标：了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.B：过程与方法目标：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法C：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。

二、本课内容及重点、难点分析：，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。

学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法．1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也提取公因式法、公式法内容分析知识结构知识精讲模块一：提取公因式法叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．例题解析（1）()()22x y x y x y +-=-；（2）()322x x x x x x +-=+；（3）()23232x x x x +-=+-；（4）()()111xy x y x y +++=++．【例2】 指出下列各式中的公因式： （1）43224832a a b a b -，，； （2）2318m m a a -，； （3）()()()23369a b a b a b ++-+，，．【例3】 分解因式： （1）2368a a -； （2）322618m m m -+-； （3）2124ad bd d --+．【例4】 分解因式： （1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --；（3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．【例5】 分解因式：23229632x y x y xy ++．【例6】 把下列各式分解因式： （1）()()43x x y x y +-+；（2）()()2343x x y y x -+-；（3）()()()()32522322x y x y -----．【例7】 把下列各式分解因式： （1）()()68a m n b m n -+- ；（2）()()23m x y n y x -+-；（3）()()22a b x y ab x y -+-；（4）()2a b a b --+ ．【例8】 把下列各式分解因式： （1）()()33113510m m ab a b a b b a +----；（2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-．【例9】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-．【例10】 分解因式：()()()222224168xy z x y z xyz z x y xy z x y +----+--．【例11】 先化简再求值：()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =．【例12】 已知3210x x x +++=，求100999897x x x x +++的值．【例13】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例14】 把下列各式分解因式：模块二：公式法例题解析知识精讲（1）2119x -；（2）22114100m n -； （3）422591616x y -+．【例15】 把下列各式分解因式： （1）214a a --- ； （2）22269x y xyz z -+．【例16】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--； （2）()()227216a b a b --+；（2）（3）()()2294a b c d a b c d +++--+-．【例17】 分解因式 （1）3312x x -；（2）2654a b b -；（3）()()3922x y x y ---．【例18】 分解因式：4416168125m n -．【例19】 把下列各式分解因式：（1）229991001-；（2）22119910022⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例20】 把下列各式分解因式：（1）2(2)10(2)25x y y x -+-+； （2）3241616m m m -+-．【例21】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【例22】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+； （2）()()22114m n mn --+．【例23】 分解因式：1144n n n x x x +--+．【例24】 已知()222410a b a b +--+=，求()20062a b +的值．【例25】 证明：两个连续奇数的平方差能被8整除．师生总结【习题1】 观察下列从左到右的变形：（1）()()3322623a b a b ab -=-； （2）()ma mb c m a b c -+=-+；（3）()22261266x xy y x y ++=+； （4）()()22323294a b a b a b +-=-． 其中是因式分解的有__________（填括号）．【习题2】 分解因式：（1）22242x y xy xy -++； （2）23364xy x y xy -+-；（3）423322222452790x y z x y z x y z -++．随堂检测【习题3】 分解因式：（1）2292416x xy y -+； （2）2844a a --．【习题4】 分解因式：（1）()()x a b y a b +++； （2）()()222a x y b x y ---； （3）()()233x y y x --+-； （4）()()()2x a b y b a a b -+---．【习题5】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【习题6】 求代数式的值：()()()()()()22322132212123x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-．【习题7】 分解因式：()()()()()322x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----．【习题8】 分解因式（1）()()222391x x +--； （2）()()2222223553a b a b --+-．【作业1】 下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）()23632x xy x x y -=-； （2）()()225525x y x y x y -+=-； （3）()()2222a b c a b a b c -+=+-+； （4）221xy x y x xy y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．【作业2】 分解因式：（1）22624a x ax +；（2）223mn m n m n -+-； （3）29363m n mn n -+-；（4）322443151020x y x y x y -+-．【作业3】 分解因式：（1）()2211a b b b b -+-+-； （2）()()()3x a b y b a b a -+---；课后作业（3）()()23x a b y b a ---； （4）()()()262x y x y x y +--+．【作业4】 利用因式分解计算：（1）23.98 3.98 3.97-⨯；（2）81031010⨯-．【作业5】 分解因式：（1）()()222169m n m n --+；（2）()()224252m n m n -++-．．【作业6】 分解因式：（1）211216mm-+；（2）()()()()222232333x x x x++++++．。