七年级数学知识点：提取公因式法知识点-word文档资料

七年级数学提公因式法知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

下面小编为大家提供了提公因式法知识点，希望对大家有所帮助。

因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积) 注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确*;分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。

因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。

七年级数学知识点：提公因式法知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

查字典数学网为大家提供了提公因式法知识点，希望对大家有所帮助。

◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

◆分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。

◆因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

◆提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

《提公因式法分解因式》知识全解课标要求：了解因式分解的定义，掌握提公因式法分解因式的方法．知识结构：1．因式分解的定义，提公因式法的定义．2．用提公因式法分解因式．3．运用它解决一些实际问题．内容解析：《提公因式法》是因式分解中最基本的，也是最重要和常用的方法．是学生在学习了整式运算和因式分解的意义之后，进一步学习因式分解三种基本方法之一的内容，是数学中一种重要恒等变形．它不仅是整式运算的延伸和拓展，同时也是下一章学习分式的运算、解分式方程等内容的基础，具有承上启下的作用．因此，学习并掌握好本节课的内容，对培养和训练学生的双向思维，特别是顺向思维方式有着极其重要的意义．重点难点：本节的重点是：因式分解的概念及提公因式分解因式的方法．教学重点的解决方法：关键是理解因式分解的概念，是由和差的形式化为积的形式，当各项都有公因式的时候，就可以用提公因式分解的方法，所以要发现公因式．本节内容的难点是：正确找出多项式各项的公因式．有些多项式的公因式是数字，有些是单项式，有些是多项式，有些需要改变符号才有公因式．教学难点的解决方法：分两步走，先解决单项式与多项式的，再解决需要改变符号才有公因式的因式分解．教法导引：根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创新能力，采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程．例如，把8a3b2—12ab3c+ab分解因式时，有如下两种解法：解法一：8a3b2—12ab3c+ab=ab·8a2b—ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b—12b2c+1)解法二：8a3b2—12ab3c+ab= ab·8a2b—ab·12b2c+ab=ab(8a2b—12b2c)错误引导学生利用恒等变形方法，分析错误的原因，并提醒学生注意观察：提公因式后的因式的项数与原多项式的项数的关系，确定检查是否漏项的方法．注重让学生主动参与探索，给学生留有思考和操作的余地．例如，把2a(y-z)-3b(z-y)分解因式．就让学生自己讨论，需要通过变形才能找到公因式．本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．拓展学生探索的空间．学法建议：教学的矛盾主要是解决学生的学，“学”是中心，“会”是目的．因此，在教学过程中，我通过创设问题的情境，以激发学生“乐学”；例如：630能被哪些数整除？启发诱导，以指导学生“会学”；例如：ma+mb+mc=m(a+b+c)．变式训练，以引导学生“活学”；例如：把8a³b²+ 12ab³c分解因式．解:8a³b²+12ab³c=4ab²•2a²+4ab²•3bc=4ab²(2a²+3bc)．引导学生反思自己的分析过程，以指导学生“善学”．例如：把2a(b+c) -3(b+c)分解因式．解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3)．使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力．。

第二节 提公因式法要点精讲一、提公因式法概念各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、具体方法：1．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）2．如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“一”号时，多项式的各项都要变号．相关链接提公因式法口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．典型解析1． 分解因式：2x 2﹣10x =_______．【答案】2x （x ﹣5）【解析】原式=2x （x ﹣5）．故答案是：2x （x ﹣5）． 中考案例1．（2012贵州安顺）分解因式：a 3﹣a=_________．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）． 针对训练1．因式分解：39a a -=___________．2．分解因式8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy=____________．3．因式分解：m 2﹣mn=___________．4．＝___________．22x x +-5．分解因式：2x 2+4x+2=___________．6．分解因式：a 3﹣a=___________．7．分解因式：4x 2－25＝___________．8．分解因式：___________．参考答案1．【答案】a【解析】原式＝2(9)(3)(3)a a a a a -=+-2．【答案】（x ＋4y ）（x －4y ）【解析】8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy =8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy =x 2－16y 2=（x ＋4y ）（x －4y ）3．【答案】m （m ﹣n ）【解析】提取公因式m ，即可将此多项式因式分解．解：m 2﹣mn=m （m ﹣n ）．故答案为：m （m ﹣n ）．4．【答案】（x-1）（x+2）【解析】∵（-1）×2=-2，2-1=1，∴x 2+x-2=（x-1）（x+2）．故答案为：（x-1）（x+2）．5．【答案】2（x+1）2【解析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2．2x 2+4x+2=2（x 2+2x+1）=2（x+1）2．故答案为：2（x+1）2．6．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）．7．【答案】（2x +5）（2x －5）【解析】4x 2－25=（2x ）2－52=（2x +5）（2x －5）8．【答案】【解析】 扩展知识分解因式技巧1．分解因式与整式乘法是互为逆变形．2．分解因式技巧掌握：（1）等式左边必须是多项式；（2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止．注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑． 3223-2+=x y x y xy ()2-xy x y ()()2322322-2-2-x y x y xy xy x xy y xy x y +=+=。

【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。

☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。

（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。

（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。

（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。

（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。

2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。

平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。

完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。

☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。

具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。

（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。

（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。

（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。

【典例分析】例1.分解下列因式：（1）22321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+（3）323111248ab a b a b --+ （4）y x y x y x x 32223313231+-+-（5）23)(2)(m n a n m -+- （6）32)(4)(2y z y z y x -+-练习：因式分解(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2+(2x+1)2y(4)p(a 2+b 2)+q(a 2+b 2)-l(a 2+b 2) （5）2a(b+c)-3(b+c) （6）6(x-2)+x(2-x)（7）m(a-b)-n(b-a) （8）2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；（9）m(m-n)2-n(n-m)2 （10）2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例2. 把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2 （2）22331b a +-（3）22)2()2(y x y x +-- （4）11622-b a练习：把下列各式分解因式： （1）224b a -（2）11622-y x（3）22481916b a +-（4）2916a -例3.运用完全平方公式因式分解：（1）21449x x ++ （2）25102+-a a（3）229124b ab a +- （4）42242b b a a +-（5）21222+-x x （6）x x x 2718323+-（7）2()6()9m n m n +-++ （8）22224)1(4)1(a a a a ++-+（9）161)(21)(2+---y x y x （10）9)(6)(222+-+-x x x x练习：把下列各式分解因式：（1）221025x xy y -+ （2）222y xy x -+-（3）1692+-t t （4）22816y x xy +-（5）2411x x ++ （6）xy y x 4422-+（7）81224-+-x x （8）ax y ax y ax ++2232（9） 161)(21)(2+---y x y x （10） )(12)(9422n m m n m m ++++例4. 把下列各式分解因式：（1）32231212x x y xy -+ （2）442444)(y x y x -+（3）222)1(4+-a a （4）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-练习：把下列各式分解因式：（1）222224)(b a b a -+ （2）222)41(+-m m（3）22248)4(3ax x a -+ （4）4224168b b a a +-（5）)()(2x y y x a -+- （6）)()(422m n b n m a -+-例5.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。

因式分解提取公因式知识点
1)提公因式。

把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来;当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数;当多项式首项符号为负时，还要提出负号。

2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

由于题目形式千变万化，解题时也不能生搬硬套。

例如，有的需要先对题目适当整理变形;有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简;还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。

3)在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.
4)在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑.如果是整数系数，提取它们的最大公约数;如果是分数系数，提取它们分母的最小公倍数;相同的因式应提取次数最低的.
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《提取公因式法》学习要点提公因式法是分解因式中最基本，也是最重要的一种方法，如果不能准确的提公因式，分解因式的其他方法就不能顺利地实施，那么如何正确地通过提公因式来分解因式呢？一、明确提公因式的原则要提公因式,就得确定公因式.确定公因式的原则是：①各项系数都是整数时，应提取各项系数最大的公约数；②字母提取各项相同的字母；③各字母的指数取次数最低的.如公因式56a3bC，14a2b2C，21ab2C2的公因式是7abC.二、掌握提公因式的方法要正确的提公因式,可遵循下列方法：①当一个多项式的公因式是其中的单独一项时，题公因式后该项应用“1”补上，不能漏掉;②如果多项式按一定顺序列出后首项为负,一般要连同“—"号一并提出，使括号内的第一项的系数为正，但要注意在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号；③有时提公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现仍有公因式还要及时提取;④如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换,如（a-b)2=(b-a）2，（a-b）3=—(b-a）3；⑤因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式.三、知道提公因式的理论依据提公因式是由多项式的乘法引出的,如m（a+b+c）=ma+mb+mc，反过来得到ma+mb+mc=m（a+b+c），这就是提公因式的理论依据—-逆用乘法分配律.即如果一个多项式的各项含有公因式，则可以逆用乘法分配律把这个公因式提出来。

四、把握典型例题例1 将下列各式分解因式：（1）2a3b2c+4ab3c-abc；(2)—14x3-21x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.解：（1)原式=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1=abc（2a2b+4b2-1）;（2）原式=-7x（2x2+3x-4）。

点评：如果一个多项式中的某一项就是公因式，则提取公因式后用“1”补充；当首项含有“-"时，一般要将“—”号也一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号.例2 将下列各式分解因式:(1）15（x-y)3+10（y—x）2；(2)m（m—n)+n(n-m）.分析：虽然这两个小题看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x-y）与（y—x）,（m—n)与（n—m）都是互为相反数，如果把其中一个提取一个“—”号,则可以出现公因式。

七年级因式分解公式大全一、提公因式法。

1. 定义。

- 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2. 公式。

- ma + mb+mc=m(a + b + c)- 例如：6x^2+9x = 3x(2x + 3)，这里公因式是3x。

二、公式法。

1. 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)- 举例：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x - 3)- 注意：公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

例如(2x + 1)^2-(y - 3)^2=[(2x+1)+(y - 3)][(2x + 1)-(y - 3)]=(2x + 1+y-3)(2x+1 - y + 3)=(2x+y - 2)(2x - y+4)2. 完全平方公式。

- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2- 举例。

- 对于x^2+6x + 9，其中a=x，b = 3，2ab=2× x×3 = 6x，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2。

- 对于4x^2-20x+25，这里a = 2x，b=5，2ab=2×2x×5 = 20x，所以4x^2-20x + 25=(2x - 5)^2。

三、十字相乘法（补充内容，虽然教材未重点强调但很实用）1. 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)形式。

- 当a = 1时，x^2+bx + c=(x + p)(x+q)，其中p+q=b，pq = c。

- 例如x^2+5x+6=(x + 2)(x+3)，这里p = 2，q = 3，p + q=5，pq=6。

- 当a≠1时，ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)，其中mn=a，pq=c，mq+np = b。

七年级数学提公因式法知识点一、概述提公因式法是数学中的一种常见方法，用于简化多项式的表达形式。

该方法通过找出多个项之间的公因子，将它们提取出来并合并为一个因式，从而简化多项式的表达形式。

提公因式法不仅可以简化计算过程，还能够帮助我们更好地理解多项式的结构，提高解题效率。

二、提公因式的基本原则提公因式法的基本原则是找出多个项之间的公因子，并将它们提取出来合并为一个因式。

在提取公因子的过程中，需要遵循以下基本原则：1.提取公因子时，要确保公因子是最大公因子。

最大公因子是指能够整除所有项的最大整数因子。

2.提取公因子时，要注意多项式中项的系数。

如果一个项没有系数或者系数为1，则表示该项没有公因子。

3.提取公因子时，要考虑多项式中各项的指数。

只有当所有项的指数相同时，才能够提取公因子。

4.提取公因子时，要保持多项式的符号不变。

即如果多项式中的项为正数，则提取公因子时也应该保持为正数；如果多项式中的项为负数，则提取公因子时也应该保持为负数。

三、提公因式的步骤提公因式法的具体步骤如下：1.观察多项式中的各项，找出它们之间的公因子。

2.将公因子提取出来合并为一个因式。

3.将原多项式中的各项除以公因子，得到简化后的多项式。

4.检查简化后的多项式，看是否还有进一步提取公因子的可能。

5.重复步骤1至4，直到多项式无法再提取公因子为止。

四、提公因式的例题演练下面通过几个例题来演练提公因式法的具体步骤。

例题1：将多项式2x3+4x2进行提公因式。

解答：观察多项式中的各项，发现它们之间的公因子是2。

因此，可以将2提取出来合并为公因式。

2x3+4x2=2(x3+2x2)简化后的多项式为2(x3+2x2)。

例题2：将多项式3xy2+6xy进行提公因式。

解答：观察多项式中的各项，发现它们之间的公因子是3x。

因此，可以将3x提取出来合并为公因式。

3xy2+6xy=3x(y2+2y)简化后的多项式为3x(y2+2y)。

例题3：将多项式4a2bc−8ab2c进行提公因式。

提取公因式法因式分解【知识梳理】一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【考点剖析】一．因式分解的意义（共4小题）1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1B．C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；CD．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二．公因式（共7小题）5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（）A．3a2b B．3a3b3C．a2b D．a3b3【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解答】解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b．故选：A．【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是．：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是2a（x﹣y），故答案为：2a（x﹣y）．【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式．【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式．【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），所以两个多项式的公因式为：x+y．故答案为：x+y【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键．10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是．【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．故答案为：（x﹣y）．三．因式分解-提公因式法（共14小题）12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝．【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：6a2﹣8a3＝2a2（3﹣4a）．故答案为：2a2（3﹣4a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝．【分析】直接提取公因式mn进行因式分解即可．【解答】解：2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）．故答案为：mn（2m﹣n）．【点评】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．18．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．21．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）2﹣2（y﹣x）＝（y﹣x）（y﹣x﹣2），故答案为：（y﹣x）（y﹣x﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．22．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：15a2b﹣3ab＝．【分析】先确定公因式为3ab，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：15a2b ﹣3ab ＝3ab （5a ﹣1）．故答案为：3ab （5a ﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，较为简单，准确找出公因式是解题的关键．23．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：3x 2y ﹣12xy 2＝ ．【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．【解答】解：3x2y ﹣12xy2＝3xy （x ﹣4y ）．故答案为：3xy （x ﹣4y ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝ ．【分析】首先把式子变形为：a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2．故答案为：（a ﹣b ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．25．（2022m （a ﹣c ）﹣5（a ﹣c ）．【分析】直接提取公因式a ﹣c 即可．【解答】解：原式＝（a ﹣c ）（2m ﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()2222x y x y xy +=−+ B ．()422211(1x x x x x x ++=++−+） C ．()230130x x x x −−=−−D ．()22121a a a −=−+【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．2．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式()()222b x b x −+−正确的结果是（ ）A ．()()22x b b −+B ．()()21b x b −+C ．()()22x b b −−D ．()()21b x b −−【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：()()222b x b x −+− ()()222b x b x =−−− ()(2)1b x b =−−．故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．1，1−，6B ．1，1，6−C ．1，1−，6−D ．1，1，6 【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将()()32x x −+展开，分别对应2ax bx c ++即可得出答案．【详解】解：()()2632x x x x =−+−−，∵多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，∴1,1,6a b c ==−=−，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得326,321,111c b a =−⨯=−=−+=−=⨯=进行求解．4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ） A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++ 【答案】A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】A ．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；B ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C ．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．5．（2020秋·七年级校考课时练习）把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式( )A ．-a （4a 2-4a+16）B ．a （-4a 2+4a-16）C ．-4（a 3-a 2+4a ）D ．-4a （a 2-a+4） 【答案】D【详解】把多项式-4a3+4a2-16a 运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）． 故选D ．【答案】D【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y −=，12xy =，所以()24x y −=，22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）若5x y −=，6xy =则22x y xy −=________，2222x y +=________．【答案】 30 74【分析】第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即可．【详解】解：22()6530x y xy xy x y −=−=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=−+=⨯+=⎣⎦．故答案为：30，74．【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）分解因式：22615x z yz −+=__________．【答案】()2325z x yz −−【分析】提取公因式即可分解．【详解】解：()222615325x z yz z x yz −+=−−， 故答案为：()2325z x yz −−． 【点睛】本题是一道有关因式分解的题目，解题的关键是掌握提公因式法分解因式的步骤．9．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：223714ab a b −=______．【答案】()2712ab ab −【分析】直接提取公因式进行计算即可．【详解】解：原式()2712ab ab =−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）因式分解：2()2()y x x y −+−=___________．【答案】()()2x y x y −−+【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】()()2()2()2y x x y x y x y −+−=−−+．故答案为：()()2x y x y −−+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【答案】234y x y −【分析】利用提公因式法分解因式求解即可．【详解】()23268234y x y xy y −=−． 故答案为：()2234y x y −． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：25x y xy +=__________．【答案】()5xy x +【分析】根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：()255x y xy xy x +=+．故答案为：()5xy x +．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．13．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：2412x y xy −=______．【答案】()43xy x −【分析】直接提取公因式4xy 进行分解因式即可．【详解】解：2412x y xy −()43xy x =−，故答案为：()43xy x −．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．14．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）因式分解：()()()2222a b b a a b −−−+=___________．【答案】()()23a b a b −−【分析】提公因式()2a b −，即可求解．【详解】解：()()()2222a b b a a b −−−+ ()()()2222a b a b a b −+−+=()()222a b a b a b =−−++ ()()23a b a b =−−． 故答案为：()()23a b a b −−．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：15105a ab abc −−+=___________．【答案】()532a b bc −+−【分析】提出公因式5a −即可．【详解】解：()15105532a ab abc a b bc −−+=−+− 故答案为：()532a b bc −+−． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．16．（2023·上海·七年级假期作业）已知：()()2111x x x x x +++++=[](1)1(1)x x x x +⋅+++=()()()()31111x x x x ⎡⎤+⋅+⋅+=+⎣⎦，因式分解()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++，结果为_______________． 【答案】()20231x + 【分析】将()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++提出一个()1x +，再将 ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤+++++++++⎣⎦提出一个()1x +，继续提出一个()1x +，以此类推，直到原式变为()()202211x x ++，再化简即可．【详解】解：()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++ ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()2220201111...1x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()3220191111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦…()()2021111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()202211x x =++()20231x =+故答案为：()20231x +【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果210x x ++=，那么23991x x x x ++++⋅⋅⋅+的值是______．【答案】1【分析】首先需要先将23991x x x x ++++⋅⋅⋅+变形为()()234561x x x x x x +++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++，经过提公因式得到()()242111x x x x x x ++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++ ，将210x x ++=整体代入即可． 【详解】解：23991x x x x ++++⋅⋅⋅+()()234561x x x x x x =+++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++ ()()242111x x x x x x =++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++将210x x ++=代入，得到10001=+++⋅⋅⋅+=． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式21x x ++是解题的关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：(5)(32)3(5)x x x −−−−=___________【答案】()()535x x −−/()()355x x −−【分析】提取公因式()5x −，同类项合并即可解得． 【详解】(5)(32)3(5)x x x −−−−(5)(323)x x =---(5)(35)x x =--【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．三、解答题【答案】()()25a c m −−【分析】根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：2()5()m a c a c −−−()()25a c m =−−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()13(1)22n n n a a a a +−−−【答案】)(1n a a +【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：()13(1)22n n n a a a a +−−−112433n n n n a a a a ++=−−+1n n a a +=+)(1n a a =+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()()42a x y b y x −−−．【答案】()()22x y a b −+【分析】将原式变为()()42a x y b x y −+−，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：()()42a x y b y x −−− ()()42a x y b x y =−+− ()()22x y a b =−+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意将题目中的y x −变为x y −时符号的变化，正确找到公因式是解答本题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）因式分解：()22a b a b −−+【答案】()()221a b a b −−−【分析】先把原式化为()()22a b a b −−−，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：()22a b a b −−+ ()()22a b a b =−−−()()21a b a b =−−−⎡⎤⎣⎦()()221a b a b =−−−【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．23．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：()()()22x y x y x y +−−−【答案】()()3x y x y +−【分析】直接提取公因式()x y −进行分解因式即可． 【详解】解：()()()22x y x y x y +−−−()()()2x y x y x y =+−−−⎡⎤⎣⎦()()22x y x y x y =+−+−()()3x y x y =+−．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 24．（2023·上海·七年级假期作业）把下列各式分解因式：(1)()()33113510m m a b a b a b b a +−−−−；(2)()()()223222122418ab x y a b y x ab y x −+−+−．【答案】(1)13225()(2)m a b a b a b −−+ (2)26()(2433)ab x y b ab x y −+−+【分析】（1）原式利用提公因式法解答；（2）原式利用提公因式法解答．【详解】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +−=−+−13225()(2)m a b a b a b −=−+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =−+−−−26()[243()]ab x y b ab x y =−+−−26()(2433)ab x y b ab x y =−+−+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【答案】3()(32)16x y a b −− 【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【详解】解：()()93168a x y b y x −+−()()93168a x y b x y =−−− 3()(32)16x y a b =−−．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．26．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）因式分解：()()32232x a a a x −+−．【答案】()()222x a x a −+【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式()()2223x a x a a =−−+ ()()2222x a x a =−+()()222x a x a =−+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．27．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+．【答案】()()3243x y x y −+【分析】根据提公因式法分解因式求解即可【详解】解：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+()()()()2232253x y x y x y x y =−++−+ ()()223253x y x y x y =−+++⎡⎤⎣⎦()()2129x y x y =−+()()3243x y x y =−+ 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．28．（2023·上海·七年级假期作业）化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【答案】()20071x +【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．【详解】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 322003(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ =()()200611x x =++()20071x =+． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．。

提取公因式法知识点一、公因式的概念。

1. 定义。

- 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例如，对于多项式6x^2 + 9x，3x就是公因式，因为6x^2=3x×2x，9x = 3x×3。

2. 确定公因式的方法。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如在多项式12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，系数12、-18、24的最大公因数是6。

- 字母：取各项相同的字母。

如上述多项式中相同的字母有x和y。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

在12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，x 的最低次幂是1（在24xy^3中），y的最低次幂也是1（在12x^3y中），所以公因式是6xy。

二、提取公因式法分解因式。

1. 提取公因式法的定义。

- 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

例如，ma + mb+mc=m(a + b + c)。

2. 提取公因式法的步骤。

- 第一步：确定公因式。

- 按照前面确定公因式的方法找出多项式各项的公因式。

例如对于多项式8a^3b^2 - 12ab^3c，先确定系数的最大公因数为4，相同字母有a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是2，所以公因式是4ab^2。

- 第二步：提取公因式。

- 将公因式提出来，写成公因式与另一个多项式的乘积形式。

对于8a^3b^2 - 12ab^3c，提取公因式4ab^2后得到4ab^2(2a^2 - 3bc)。

3. 注意事项。

- 当多项式的首项系数为负时，一般要提出“ - ”号，使括号内的首项系数为正。

例如，对于-5x^2+10x，先提出“ - ”号，得到-5x(x - 2)。

- 提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同。

例如3x^2y+6xy^2 = 3xy(x + 2y)，原多项式有两项，提取公因式后括号内也是两项。

汇报人：2023-11-28contents•提公因式法的基本概念•提公因式法的应用目录•提公因式法的注意事项•提公因式法的练习与解析•提公因式法的总结与回顾01提公因式法的基本概念公因式是指多项式中各项都含有的因式，它可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

公因式定义识别公因式是提公因式法的基础，可以通过将多项式进行分组，找到可以使得每组都相等的那个因式。

公因式的识别什么是公因式通过提取公因式，可以将多项式简化为更容易处理的形式，从而降低问题的复杂性。

简化多项式便于计算体现数学思想在因式分解或求多项式的值时，提取公因式可以使得计算过程更加简便。

提取公因式体现了数学中的“化归”思想，即将复杂问题转化为简单问题。

030201公因式的重要性如果多项式中各项的符号相同，那么可以将这个符号作为公因式。

符号相同为了使得提取公因式后的多项式更加简单，应该选择次数最低的因式作为公因式。

次数最低在选择公因式时，应该选择使得提取公因式后的多项式的系数最大的那个因式。

系数最大公因式的提取方法02提公因式法的应用首先需要确定多项式中各项的系数，包括整数和分数。

确定多项式中的各项系数将多项式中的各项系数找出来，并计算它们的最大公约数。

寻找最大公约数将找到的最大公约数或公因式提取出来，并对多项式进行因式分解。

提取公因式将多项式分解成若干个因式，便于化简和计算。

因式分解提取多项式的公因式首先需要确定分式的分子和分母，包括各项的系数和次数。

确定分式的分子和分母寻找最小公倍数提取公因式化简分式将分式的分子和分母找出来，并计算它们的最小公倍数。

将找到的最小公倍数或公因式提取出来，并对分式进行约分。

将分式约分成最简形式，便于计算和比较。

首先需要确定根式的被开方数和指数，包括各项的系数和次数。

确定根式的被开方数和指数将被开方数中相同的部分找出来，并计算它们的最大公约数。

寻找根式之间的公因式将找到的最大公约数或公因式提取出来，并对根式进行化简。

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。

《提公因式法》知识清单一、什么是提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。

如果一个多项式的各项有公因式，那么可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。

例如，对于多项式 6x ＋ 9 ，3 就是公因式，可以将其提出得到 3(2x ＋ 3) 。

二、提公因式法的依据提公因式法的依据是乘法分配律的逆运算。

乘法分配律为： a×（b ＋ c) ＝ a×b ＋ a×c 。

其逆运算为： a×b ＋ a×c ＝ a×（b ＋ c) ，这就是提公因式法的原理。

三、公因式的确定1、系数公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。

例如，在多项式 8x ＋ 12 中，8 和 12 的最大公因数是 4 ，所以公因式的系数是 4 。

2、字母公因式中的字母是多项式各项中都含有的字母。

比如，多项式 5x²y ＋ 10xy²中，都含有字母 x 和 y 。

3、字母的指数公因式中字母的指数取各项中该字母的最低次幂。

在多项式 5x³y²＋ 10x²y³中， x 的最低次幂是 2 ， y 的最低次幂是2 ，所以公因式是 5x²y²。

四、提公因式法的步骤1、确定公因式首先，仔细观察多项式的各项，按照公因式的确定方法找到公因式。

2、提出公因式将公因式提出，用原多项式除以公因式，得到另一个因式。

3、写成乘积形式把提出公因式后的式子写成公因式与另一个因式相乘的形式。

例如，对于多项式 12x² 18x ，公因式是 6x 。

提出公因式后得到： 12x² 18x ＝ 6x(2x 3) 。

五、常见的提公因式类型1、单项式提公因式像前面提到的简单多项式，如6x ＋9 ，直接找出公因式提出即可。

2、多项式提公因式对于较为复杂的多项式，如 3x(x 2) ＋ 5(x 2) ，公因式是（x 2) ，提出后得到（x 2)（3x ＋ 5) 。

提公因式法（基础）： ：【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】【 398715 因式分解之提公因式法 知识要点】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.多项式各项的公因式应是各项系数的最大因数（当系数是整数时）与各项都含有相同字母的最低次幂的积.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法如果一个多项式各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.要点四、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.【典型例题】类型一、因式分解的概念【398715 因式分解之提公因式法 例2】1、观察下列从左到右的变形：⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=-其中是因式分解的有 （填序号）【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．【答案】（3）；【解析】解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()()21232x x x x --=-+B ．()()23212x x x x -+=--C ．()24444x x x x ++=++D ．()()22x y x y x y +=+-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -【解析】解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式． 举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．2x y -B ．22x x +C ．2x y 2+D ．2x xy y 2-+ 【答案】B ；3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）A ．1q p --B ．q p -C ．1p q +-D ．1q p +-【答案】C ；【解析】解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）A ．1m +B ．2mC ．2D ．2m +【答案】D ；解：()()()111m m m +-+-，＝()()111m m -++，＝()()12m m -+．4、分解因式：(1)224a a -；(2)2323664a b ab c ab +-；(3)322262a b a b ab -+-；【思路点拨】本题3个小题的公因式分别是22,2,2a ab ab -，提取出公因式后，余下的另一个因式用原多项式除以公因式而得到．【答案与解析】解：(1)2242(2)a a a a -=- ．(2)232326642(332)a b ab c ab ab ab c b +-=+- ．(3)322262a b a b ab -+-22(31)ab a b a =--+ ． 【总结升华】(1)在因式分解时，“1”单独成一项时，不能漏掉，更不能省去不写．(2)多项式的第一项系数是负数时，一般要提出“－”号，使括号内的第一项是正的，在提出“－”号时，多项式的各项要变号．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．()222129343abc a b c abc ab -=-B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+D ．()2255x y xy y y x x +-=+【答案】C ；解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误； B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误．类型三、提公因式法分解因式的应用5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.【答案与解析】解： 由0232=-+x x ，得232x x +=()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.。