人教课标版高中数学必修二《圆与圆的位置关系》教案-新版

4.2.2 圆与圆的位置关系

（一）核心素养

通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法.

（二）学习目标

1.明确两个圆之间的五种位置关系.

2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.

3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.

（三）学习重点

圆与圆的位置关系及其判断方法.

（四）学习难点

1.用圆的方程解决问题.

2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材，明确：

圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：

圆与圆的位置关系 公共点个数 两圆圆心的距离d与半径1r和2r的关系

外离 0个 21rrd

外切 1个 21rrd

相交 2个 2121rrdrr

内切 1个 21r-rd

内含 0个 21r-rd

（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法

方法一：几何方法

设两圆的圆心距d，半径12,rr，则：

①当12drr时，圆1C与圆2C相离；

②当12drr时，圆1C与圆2C外切；

③当||21rr12drr时，圆1C与圆2C相交；

④当12||drr时，圆1C与圆2C内切；

⑤当12||drr时，圆1C与圆2C内含；

步骤：①计算两圆半径12,rr；②计算两圆圆心距d；③根据d与12,rr的关系判断两圆的位置关系.

方法二：代数方法

方程组221112222200xyDxEyFxyDxEyF

有两组不同实数解相交；有两组相同实数解相切（内切或外切）；无实数解相离（外离或内含）.

2.预习自测

（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据图像和定义直接得出结果

【思路点拨】看两圆交点个数

【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交.

（2）判断下列两圆的位置关系12222yx与165222yx.

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】圆圆心距离为221222255rr，所以两圆外切.

【思路点拨】看圆心距和半径间的关系

【答案】外切.

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；

（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；

（3）与圆相切的直线方程的计算方法.

2.问题探究

探究一 圆与圆的位置关系★ ●活动① 明确概念

我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若21rrd，则两圆外离，若21rrd，则两圆内含；当公共点个数为1时，若21rrd，则两圆外切，若21rrd，则两圆内切；当公共点个数为2时，2121rrdrr，

则两圆相交.

【例题】

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据图像和定义直接得出结果

【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系

【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含.

【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法.

●活动② 给定方程，判断位置关系

当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）

首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,xyDxEyFxyDxEyF

如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交；

有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切； 无实数解⇔ 两圆相离或内含.

其次是几何法：

设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)，则O1O2＞r1＋r2⇔相离；O1O2＝r1＋r2⇔外切；|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2⇔相交；O1O2＝|r1－r2|⇔内切；O1O2＜|r1－r2|⇔内含.看下面的例题

判断两圆07622xyx与027622yyx的位置.

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合、方程思想

【解题过程】第一个圆的方程07622xyx可以改写为16322yx，第二个圆的方程027622yyx可以改写为36322yx，两圆圆心的的距离为23030322半径和为1021rr，半径差为122rr，故两圆相交.

【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系

【答案】相交.

【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解.

探究二 两圆相交时的公共弦方程及弦长计算

●活动① 根据图像判断公切线的条数

在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗？（抢答）

总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.

●活动② 给定两圆的方程，判断公切线的条数

我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.

【例题】判断两圆07622xyx与027622yyx的公切线条数.

【知识点】圆与圆位置关系、公切线 【数学思想】数形结合

【解题过程】2211(3)16,(3,0),4xyor，2221(3)36,(0,3),6xyor

12212132,23210oorrrr则，则两圆相交，所以有2条公切线

【思路点拨】两圆的位置关系是相交

【答案】2

●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用

当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）

法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程.

法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.

例1 圆224410xyxy与圆222130xyx相交于,PQ两点，求直线PQ的方程.

【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题

【数学思想】方程思想

【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，22(441)xyxy22(213)0xyx可得260xy

【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线

【答案】260xy；

【同类训练】求以圆1C：22122130xyxy和圆2C：221216250xyxy公共弦为直径的圆的方程.

【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题

【数学思想】方程思想

【解题过程】解法一：22221221301216250xyxyxyxy相减得公共弦所在直线方程4320xy，再由224320122130xyxyxy联立得两交点坐标1,2A、5,6B.∵所求圆以AB为直径，∴圆心是AB的中心点2,2M，圆的半径为152rAB.于是圆的方程222225xy.

解法二：（使用圆系方程求解：120oo）

设所求圆2212xyx222131216250yxyxy

参数，得圆心1212162,2121，

∵圆心在公共弦AB所在直线上，

∴121216243202121，解得12.

故所求圆的方程2244170xyxy即222225xy.

【思路点拨】圆心在公共弦上

【答案】2244170xyxy

探究三 两圆位置关系中的参数问题

●活动① 已知两圆位置关系，求参数范围

同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想.

例2 myx22与圆0118622yxyx相交，求实数m的范围.

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合、方程不等式

【解题过程】圆0118622yxyx改写为364322yx，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则6562121mrrmrr，最终解出.121,1m

【思路点拨】根据定义即可

【答案】121,1m

【同类训练】

已知圆0542:2221mymxyxC，圆03222222mmyxyxC：，当m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含？ 【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合、方程不等式

【解题过程】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后92221ymxC：；41222myxC：.

(1)如果C1与C2外切，则有232122mm,

252122mm，01032mm，解得25mm或.

(2)如果C1与C2内含，则有232122mm，

1)2()1(22mm，0232mm，解得12m，∴当25mm或时，圆C1与圆C2外切；当12m时，圆C1与圆C2内含.

【思路点拨】根据定义建立不等式

【答案】25mm或；12m

3.课堂总结

知识梳理

（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

（2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法.

（3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程.

重难点归纳

（1）圆与圆的位置关系及其判断方法.

（2）圆系方程解决问题.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？

【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义

【数学思想】归类总结

【解题过程】直接根据定义回答

【思路点拨】根据定义即可

【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离

2.圆4)2(22yx与圆9)1()2(22yx的位置关系为__________.