高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)

必修二

圆与圆的位置关系

教学内容分析

1、《圆》的地位与作用

《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。

第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。

2、本节课的地位与作用

“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：

（1）完善圆的知识体系；

（2）升华数形结合思想；

（3）为后续教学做准备。

教学目标设置

1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系

2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以

实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。

其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围

学生学情分析

此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。

在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。

教学策略分析

为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。

1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；

2、探究阶段。这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。

3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。我将它们穿插在问题解决的过程中 。

4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。

“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。这样，可以使得不同水平的学生均能有所收获。

4.2.2 圆与圆的位置关系

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

2、过程与方法

设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当rd时，直线l与圆C相离；

（2）当rd时，直线l与圆C相切；

（3）当rd时，直线l与圆C相交；

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点：

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

三、教学设想

问 题 设计意图 师生活动

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．

生：看图，并说出自己的看法．

2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想． 问 题 设计意图 师生活动

生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．

3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力． 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．

生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．

4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法． 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．

第四章 圆与方程

4.2.2 圆与圆的位置关系

高中数学必修2（人教A版）第四章4.2.2圆与圆的位置关系一节，本节课是在前面已学习直线方程与圆的方程基础上，通过方程思想与几何法判定圆与圆的位置关系，培养学生方程思想和数形结合的思想方法。

课程目标 学科素养

1.理解圆与圆的位置的种类；利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

2.

用类比的思想研究圆与圆的位置关系，进一步将这些直观的事实转化为数学语言。

3. 通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想． a.数学抽象：圆与圆位置关系的判定方法；

b.逻辑推理：运用两种方法判定位置关系；

c.数学运算：判定位置关系；

d.直观想象：圆与圆的位置关系；

e.数学建模：运用判定方法解决问题；

重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系。

难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

【问题导思】

对于圆与圆的位置关系，是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种.

1．如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？

2．已知两圆的方程，能否用方程组的观点来判断两圆的位置关系？如何判断？

【知识讲解】

圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

图示

d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

圆C1方程圆C2方程――→消元 一元二次方程 Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含

【知识运用】

▶例1已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．

4..2.2圆与圆的位置关系

教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之

差之间的关系判断圆与圆的位置关系。

教学重点：圆与圆位置关系的判断。

教学难点：圆与圆位置关系的判断。

教学过程

一、复习提问

初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？

设两圆半径为r1，r2，圆心距为d，关系如下表（用数轴也可以表示）。

外离 外切 相交 内切 内含

d＞r1＋r2 d＞r1＋r2 r1－r2＜d＜r1＋r2 d＝r1－r2 d＜r1＋r2

二、新课

例3、已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判

断圆C1与圆C2的关系。

解法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组：

x2＋y2＋2x＋8y－8＝0 ①

x2＋y2－4x－4y－2＝0 ②

①－②，得：x＋2y－1＝0，

即y＝21x 代入①，并整理，得：

x2－2x－3＝0

此方程的判别式：△＝16＞0

方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交

点坐标。

解法二：把圆C1化成标准方程：（x＋1）2＋（y＋4）2＝25，

圆心为点（－1，－4），半径为5

圆C2化成标准方程：（x－2）2＋（y－2）2＝10，

圆心为点（2,2），半径为10

两圆的连心线长（圆心距）为：

22)24()21(＝35

两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10

两圆半径之差：r1－r2＝5－10

因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2

所以，两圆相交，有两个公共点

解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对

解题有一定的帮助。

练习：P141

作业：P144 4、5、6、7