高等数学A(上)复习题

高等数学a上期末考试试题和答案高等数学A上期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是（）。

A. 函数在某点的值B. 函数在某点的增量C. 函数在某点的导数D. 函数在某点的无穷小答案：D2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 定积分∫₀¹x²dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C4. 函数f(x)=sinx在x=π/2处的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. π/2答案：B5. 函数f(x)=e^x的原函数是（）。

A. e^xB. e^(-x)C. ln(x)D. x答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B7. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的零点是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数是______。

答案：3x^2-6x12. 函数f(x)=e^x的二阶导数是______。

答案：e^x13. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。

答案：xln(x)-x+C14. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标是______。

答案：(2, 0)15. 函数f(x)=sinx+cosx的周期是______。

答案：2π16. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调增区间是______。

a x )2(++22(11)x x +-2112x --112)t t +-òò2x x -+1123x x7．设函数nn n xx x x f 221)1(lim)(+-=¥®，讨论函数)(x f 的间断点。

的间断点。

8．设函数ïîïíì=¹=,0,0,0,1arctan )(x x xx x f 讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性和可导性。

处的连续性和可导性。

9．设函数ïïîïïíì>-+=<-=01000,cos 1)(2x xx b x x xax x f 在0=x 处连续、可导，求b a ,。

10．设函数)(x f 在],[b a 上连续，a a f <)(，b b f >)(，证明：至少存在一点),(b a Îx ，使x x =)(f 。

11．设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，且()2f x <，证明：，证明：方程方程()310xf t dt x -+=ò在区间[0，1]内有且仅有一个根。

内有且仅有一个根。

二、导数与导数的应用1．判断下列每个命题是否正确．判断下列每个命题是否正确（1）函数)(x f 在点0x x =处可导，则)(x f 在点0x x =处连续。

处连续。

（2）函数)(x f y =在点0x x =处导数为零是)(x f 在点0x x =取到极值的必要条件。

取到极值的必要条件。

（3）设函数)(x f 有三阶连续导数，且满足：0)(,0)(,0)(000¹¢¢¢=¢¢=¢x f x f x f ；则)(0x f 不是)(x f 的极值。

的极值。

2．设2)(0=¢x f ，求)21ln()3()2(lim 000h h x f h x f h +--+®。

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝ ．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 ． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为 ．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ， （2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限： （1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→； （2）30sin tan lim xx x x -→； （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π； （4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→； （6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是 （ ） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （ ）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是 （ ） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是 （ ）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（ ）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（ ）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （ ） （A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （ ） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ， 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2） 由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解 （1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =， 须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证 （1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续， 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ， 所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导． （2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21． （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=． （6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-， 令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ， 在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=， 则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路： 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。

解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。

注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。

如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。

常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。

历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。

高等数学II-A 复习题集第一章 函数与极限一 、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。

在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。

0是惟一的作为无穷小的数。

2。

在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。

若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。

研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。

即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。

40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。

09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。

3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。

4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。

1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。

第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。

如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。

《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。

第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。