因数与积的关系

三年级第三课教案：掌握数学术语“因数”与“积”在数学学习的过程中，掌握数学术语是非常重要的，因为只有通过掌握数学术语，才能更好地理解数学知识和运用数学方法。

在三年级的数学学习中，老师通常会引导孩子们掌握数学中的基本概念和术语，其中包括“因数”与“积”这两个词语的理解和应用。

这篇文章将从什么是因数与积、如何求因数和积、以及因数和积的应用三个方面来进行探讨。

一、什么是因数与积1.因数在数学中，我们通常将一个数能够整除另一个数的数称为这个数的因数。

比如说，2和3都是6的因数，因为6能够被2和3整除。

而我们常说的倍数，就是某个数（除0以外）的整倍数，也就是一串有序的数，每个数都是这个数的整数倍。

例如，6的倍数是6、12、18、24……等等。

2.积积是个非常基本的概念，在数学运算中也十分常见。

积是指两个或多个数相乘所得的结果。

由于乘法有交换律，两个数的积不会因其顺序的变化而发生改变。

比如说，2×3=6，3×2也等于6，6就是2和3的积。

同样的道理，6的2倍、3倍都是6的积。

二、如何求因数和积1.求因数要求一个数的因数，可以将这个数分解成若干个质因数的乘积，再列举所有的因数。

质因数是指能够整除所求数和大于1的质数，例如2、3、5、7……等等。

将质数及其指数全部写在一起，依次添加或减去每个指数，得到所有因数。

例如，对于数字36来说，可以将其分解成2×2×3×3的乘积，它的因数包括1、2、3、4、6、9、12、18和36。

2.求积求积很简单，只需要将相乘的数写在一起，乘起来即可。

并且，由于乘法有交换律，乘积的值与顺序无关。

例如，2×3=6，6就是2和3的积。

同样地，6的2倍为12，12也是2和3的积。

三、因数和积的应用1.因数的应用在实际生活中，找出一个数的因数其实很常见。

比如说，假设需要知道某个数字的因数是多少，我们可以用因数分解方法来进行计算。

因数分解也是解决数论问题的一种重要方法。

FengJiaTunXiaoXue 五年级上册数学讲学案系列课题：积与因数的关系课型：新授主备人：郭军红学习目标：知道在小数乘法中，一个因数小于1时，积小于另一个因数；一个因数大于1时，积大于另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积等于另一个因数。

学习重点：理解小数乘法中积与因数的关系。

学习难点：理解小数乘法中积与因数的关系。

教学过程备注一、知识铺垫：1、列竖式计算10.86×0.85= 24.8×17.65=2、根据75×28=2100在括号里填上合适的数75×2.8=（）0.75×28=（）0.75×7.8=（）0.075×280=（）（）×0.78=21 7.5×（）=2.1二、学习新知：在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

2.65×0.99 ○ 2.65 5.74×1.5 ○ 5.740.91×1.25 ○ 1.25 3.08×1.01○ 3.081 ×0.87 ○ 0.87 1×0.87 ○ 1导学：在小数乘法中，一个因数小于1时，积（）另一个因数；一个因数大于1时，积（）另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积（）另一个乘数。

三、巩固练习：1、 5.56×0.99的积一定比 5.56（）；6.49×5.6的积一定比6.49( )2、 8.96×0.98的积一定比0.98（），比8.96（）。

1—18 敏而好学，不耻下问——孔子FengJiaTunXiaoXue 五年级下册数学讲学案系列3、A×1.01＞ A，则A（）A、大于1B、小于1C、等于1D、以上都有可能4、0.07×a＜ 0.07，a应该（）A、大于1B、小于1C、大于05、在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

课题积与因数的大小关系第一单元年级六上学科数学主备人使用日期学习目标知识与技能：在练习中进一步掌握分数乘法的计算方法。

通过观察思考，找到积与因数的关系的规律，从而能应用规律对结果进行判断。

过程与方法：计算、观察、思考、发现、总结、应用情感态度与价值观：在学生经历观察、思考、发现规律、归纳总结的过程中，培养学生的学习能力。

教学重点找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教学难点找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教具准备教学课件教学时数1学具准备导学案教学案个性优化教师行为学生行为自学引导 5分钟看教材18页的第一题。

学生独立计算，再组织交流，交流时让学生说说计算方法自主探究 10 分钟师引导学生观察两组算式，说说发现了什么？预设：发现A组算式的第一个因数相同，都是87。

B组算式的第二个因数相同，都是35。

还发现竖着看，第1竖条的另一个因数比1小，第2竖条的另一个因数等于1，第3竖条的另一个因数比1大。

学生独立思考，尝试计算。

组织交流。

精彩展示10分钟请学生上台展示你的习题思路倾听，记录精讲点拨7分钟对每一位同学鼓励性的点评倾听，记录精练达标 8分钟（用简便方法计算下列各题）（712+78）×36119×3.3+119×3.3137×7136229×(15×2931)311×89+311×29-311×19学生独立思考，尝试计算。

全班集体纠正结果。

自我反思。

因数和与因数积在数学中，因数是指能够整除某个数的数，而因数和与因数积则是与因数相关的数学概念。

因数和是指一个数所有因数的和，而因数积则是指一个数所有因数的乘积。

这两个概念在数学中有着广泛的应用。

一、因数和1.1 定义一个数的因数和是指该数所有因数的和。

例如，数12的因数和为1+2+3+4+6+12=28。

1.2 计算方法计算一个数的因数和可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相加，得到因数和。

例如，计算数12的因数和，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相加，得到28。

1.3 性质（1）一个数的因数和等于所有小于等于该数的正整数的因数和之和。

（2）一个数的因数和等于该数的约数个数乘以该数的因数平均值。

（3）一个数的因数和等于其所有因数的积除以该数本身再加1。

1.4 应用因数和在数论中有着广泛的应用，例如：（1）判断一个数是否为完全数。

完全数是指一个数等于它的因数和减去它本身，例如，6是一个完全数，因为6的因数和为1+2+3+6=12，减去6得到6。

（2）计算一个数的约数个数。

一个数的约数个数等于其因数和除以该数本身再加1，例如，数12的因数和为28，约数个数为6。

（3）计算一个数的因数平均值。

一个数的因数平均值等于其因数和除以其约数个数，例如，数12的因数平均值为28/6=4.67。

二、因数积2.1 定义一个数的因数积是指该数所有因数的乘积。

例如，数12的因数积为1×2×3×4×6×12=1728。

2.2 计算方法计算一个数的因数积可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相乘，得到因数积。

例如，计算数12的因数积，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相乘，得到1728。

2.3 性质（1）一个数的因数积等于该数的因数个数的一半次方乘以该数的平方根。

（2）一个数的因数积等于其所有因数的积的平方根。

例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。

因数和积的关系
因数与积的关系:因数×因数=积。

小学数学定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。

需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。

反过来说，我们称c为a、b的倍数。

在研究因数和倍数时，小学数学不考虑0。

乘法的计算法则：
数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

1、十位数是1的两位数相乘方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

2、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

3、十位相同个位不同的两位数相乘方法：被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上。

1。

小学数学四年级上册计算规律一、探索与发现在整数的四则混运算中，我们发现有如下规律：1..加减法各部分之间关系：和＝加数＋加数一个加数＝和－另一个数差＝被减数－减数减数＝被减数﹣差被减数＝差＋减数2.乘除法各部分之间的关系：积＝因数×因数一个因数＝积÷另一个因数商＝被除数÷除数除数＝被除数÷商被除数＝商×除数被除数＝商×除数＋余数二、实践与训练1.小芳在做一道加法试题时，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123.正确的答案应是多少？2.一个因数是50，积比另一个因数多2940，另一个因数是多少？3.被除数比除数的12倍还多5，并且被除数、除数、商和余数的和是100，求被除数、除数各是多少？4.小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是450，正确的商是多少呢？.5.小李在计算一个数减去2562时，他把被减数百位上的数字与十位上的数字互换了，结果得4328，原题的正确答案应是多少？6.两个数相乘，若一个因数增加18，另一个因数不变，积就增加90；若一个因数增加17，另一个因数不变，积就增加144.原来的积是多少？7.甲、乙两数的和是198，但在计算时，小明把其中一个加数的个位上的0漏掉了，结果算出.甲、乙两数的和是90，这两个数各是多少？8.小明在计算一个数减去48时，他把被减数的十位和个位数字对换了，结果是1277，原题的正确答案是多少？9.某两位数用它与15的积除以它与15的和，正好能除尽，没有余数，这样的两位数可能是哪些？10.在一个连除算式中，被除数扩大8倍，一个除数扩大4倍，要使商缩小3倍，另一个除数要发生怎样的变化？。

积和因数的关系
积和因数关系是指数的乘积和它们的值之间的联系。

在数学中，一个数的因数是它的整数因子，即能整除该数的正整数。

例如，6的因数包括1、2、3和6本身。

一个数的乘积是由其因数相乘得到的结果。

例如，6的乘积是1×2×3×6=36。

积和因数关系有以下几个方面：
1.对于一个正整数n，它的所有因数之和等于n的倍数之和，即
σ(n)=n∑d|nd。

2. 对于两个正整数a和b，它们的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的积，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。

3.对于一个正整数n，它有一个与之对应的重要函数叫做欧拉函数
φ(n)，表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。

于是有
φ(n)=n∏p|n(1−1/p)，其中p是n的所有质因数。

4.对于一个正整数n，如果它的因数个数为d(n)，则有
d(n)=φ(n)(1^2+1)+1，即因数个数等于欧拉函数的值乘上(1^2+1)+1。