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微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度

微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度

PQR
2. 旋度的定义:
i j k 称向量 ∂ ∂ ∂ 为向量场的旋度 (rotA ) .
∂x ∂y ∂z PQR
i j k 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
= (∂R − ∂Q)i + (∂P − ∂R) j + (∂Q − ∂P )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Γ的单位切向量为 t = cosλ i + cos µ j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds 或∫∫ (rotA )n dS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA )n = rotA ⋅ n
= (∂R − ∂Q)cosα + (∂P − ∂R)cos β + (∂Q − ∂P )cosγ
四、小结
cos α cosβ cos γ
斯托克斯公式
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ds = ∂z
PQR
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
P Q R = ∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds
Σ
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγds
即
∫∫
Σ
∂P ∂z

经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式

经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
19
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.


A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz

4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y


3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .

11[1].7斯托克斯公式 - 高数课件

11[1].7斯托克斯公式 - 高数课件

3(1),(3) ; 4(1);
作业P246 总习题十一
3 (2) , (4) ; 4 (2) 5
cos α cos cos
dS
x y z
zxy
3 3
3dS
例2.计算 I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy
z
(0,0,1)
(x2 y2 )dz其中为平面 x y z 3
2
截立方体 {(x,y,z )|0≤x,y,z≤1}的
o
(0,1,0)
y
截痕的边界. 从x轴正向看为逆 x (1,0,0)
(切记此两类情况下的斯托克斯公式)
场论中的三个重要概念 设 梯度: 散度:
旋度:
则 向 量 微 分 算 子
称为Nabla算子或哈密顿 (Hamilton)算子
思考与练习
则
提示:
事实上只需要r具有二阶连续偏导数, 习题11-7 6 (P245)
作业P245
2 (1),(3),(4) ; 5 (2) ;
在包含在内的一个空间 域内具有连续一阶偏导数, 则有
(斯托克斯公式)
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯 托克斯公式就是格林公式．故格林公式是斯托 克斯公式的特例. 另要注意P, Q, R的搭配, 及公式的记忆!
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
Pdx Qdy Rdz
(2) 对G内任一分段光滑曲线, 与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 且 (4) 在G内处处有
(用行列式记)
(4)即在G内处处有
ij x y PQ
(5) 在G内，力
k
0
z
R
为保守力.
例3*. 验证积分 与路径无关, 并求 的原函数 解: 令

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

Pdx Qdy Rdz

P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式



cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }

一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )

R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)

11.7斯托克斯公式

11.7斯托克斯公式

o x
2
沿有向闭曲线 所作的 例4. 求力 功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 设三角形区域为 , 方向向上, 则 解：
z
C y
cos cos cos
何来?
3 3
B
o
A x

BNAl
0 0
l
0
Ａ. Ｍ
Ｎ
( y)dx 2 xydy
2x y
4
． B
BMAl
两式相减得,

BNA AMB

BNAMB
所以在右半平面内线积分与路径无关.即… (2) …


1 3 x
1 3 y
1 3 z
dS
y
1 3
z
x
3 (3) d S 3 d S 3S 3( ( 2) 2 ) 4
二、 环流量与旋度
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A

x y z P Q R
i
j
k
定义:
x
Q cos
y z
R cos dS R


P
Q
场论中的三个重要概念
设 u u ( x, y, z ) , A ( P , Q , R) ,
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度:
(常向量)
则 L cos( T , a )d S T a 0 d S L

117斯托克斯公式 PPT资料共36页

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英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k

11.7 斯托克斯公式


一、由微分运算决定的三个量
i j k. x y z
{ f f f , , } x y z
1、梯度： gradf= f ( i j k ) f f i f j f k x y z x y z f(x,y,z)本身是数量场，gradf却是矢量场。
斯托克斯公式①的物理意义:
n
向量场 A 沿 的环流量
(rot A)n d S A d s

Γ
向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E 3 r 的旋度 . r i j k rot E x y z (0, 0, 0) (除原点外) 解:
或

(rot A)n d S A d s

①
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度.
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场 A
旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为, M 为刚体上任一 点, 建立坐标系如图, 则 z
x y z
1
1 y
x
Dx y
zห้องสมุดไป่ตู้
x
y
利用轮换对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 D d x d y xy 2
例2 计算 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,
xy ( x y) z xy yz zx
0
0
O
(x,0,0)
y
( x, y,0)

大学高数课件 8.7 第七节 斯托克斯公式与旋度

3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2


y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲

A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I

4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
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若 R (x,y,z)0 , 位x于 O 面y取 ,则 上侧
Q x P y d xd yP d xQ d y.
格林公式
z n
O
y

x

斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、典型例题
例1 利用斯托克斯曲 公线 式积 计分 算
I y2dxxdyz2dz,
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy
o
1y
1
x
Dxy

x
y
z
zxy
d y d z d zd x d x d y3Dxydxdy
3 2
利用轮换对称性
例2 计算(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,
其中 是用平 x面 yz3截立方 [0,1体 ][0,1][0,1] 2
的表面所得,若 的从 截 z轴痕正向,看 取去逆时针. 方
z n

O

y
x
解 : x yz 3的
z
2
上侧被所围的部.分

n (1,1,1)e ,n(1 3,1 3,1 3),
O x
dydz

I

x
y2 z2
dzdx
y z2 x2
dxdy
z x2 y2
按照这种方式向 规的 定边 了界 方曲线称为 曲面 的正向边界 . 曲线
取上侧,正向边界为逆 时针方向的圆周;曲线 取下侧,正向边界为顺 时针方向的圆周曲. 线
取后侧,正向边界为顺 时针方向的圆周曲; 线 取前侧,正向边界为逆 时针方向的圆周曲. 线
2. 斯托克斯(stokes)公式
定理 1 设为分段光滑的闭 空曲 间,线 有 是向 以为边界的分片向 光曲 滑,面 的 的定正向 与 侧符合右手 .函规 数 P(则 x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在(连同边 )上 界具有一阶连续 ,则偏 有导数
(12y)dxdy

z2
(12y)dxdy
Dxy
2πd 12sin )rd r
0
0
π .
练习. 利用斯托克斯公式计算积分 zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
则其法线方向余弦
z
cos0, cos
1, 2
cos
1 2

利用斯托克斯公式得
o
co c so c so s x
2y
I

x
y2
y
xy
z
dS 12(yz)dS 0
xz
*二、空间曲线积分与 路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q,R在 G 内
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
PdxQ dyRdz0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , PdxQdyRdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
R yQ zdydz P z R xdzdx Q x P ydxdy
PdxQdyRdz.

斯托克斯公式
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy



x
y
z
PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
第十一章
第七节 斯托克斯公式及其 应用
一、斯托克斯公式
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度
一、斯托克斯公式 (stokes)
1.定向曲面边界曲线的方向 设 是具有边界 曲 曲 ,面 规 线 定 的 其 定 边 向 界 的正:向为 这个方向与定 的 向法 曲向 面量符合,即 右手 当右手除拇指依 外边 的界 四的 指绕行 ,竖方起向 的拇指的指 上向法与向量的指 . 向相同
n

y
1
1
1
z
3
3
3


x
y2 z2

y z2 x2
dS z x2 y2

O
43(xyz)dS
x
在 上 xyz3, 2
n

y
43(xyz)dS
2 3dS

2 3 1zx 2z2 yd
Dxy
2 3 3d
P y Q x, Q z R y, R x P z
例4. 验证曲线积分(y z )d x (z x )d y (x y )d z
与路径无关, 并求函数
u ( x ,y ,z ) ( ( 0 x , , 0 y ,0 ,z ) )( y z ) d x ( z x ) d y ( x y ) d z
Dxy
6(Dx的 y 面) 积 92 .
y
1
xy1.5
0.5 D xy
xy0.5
O 0.5 1 x
练习. 为柱面 x2y22y 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算 Iy2d xxd y yxd z.
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
解: 令 P y z ,Q z x ,R x y
P1Q, y x
Q 1 R, R 1 P
其中 是平y面 z2与柱x面 2y2 1的交,若 线 从z轴正向,看 取去逆时针. 方向 解 P y 2 ,Q x , R z 2 , 为 yz2的上 所 侧围 被.的部分
Dxy:x2y21
dydz
I

x
y2
dzdx
y x
dxdy
z



x
y
z
dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {中 c ,co , o cs } s os
斯托克斯公式的实质 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的
定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格 林公式的推广.