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公式法 (PPT课件)

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公式法ppt课件

公式法ppt课件
度。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。

《公式法》_PPT课件

《公式法》_PPT课件

b2
4ac 4a2
自主探究
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
思考：此时可以直接开平方＞0,b 2 - 4ac = 0,b 2 - 4ac＜0,
且a≠0时，
b
2 - 4ac 4a2
的值分别与0有怎样的关系？
结论：当b 2 - 4ac≥0时,因为a≠0，所以4a2＞
【获奖课件ppt】《公式法》_ppt课件 1-课件 分析下 载
自主探究
（3）5x 2 - 3x = x + 1； （4）x 2 + 17 = 8x．
解：a=5,b=-4,c=-1
解：a=1,b=-8,c=17
∆=(-4)2-4×5×(-1) =36 ＞ 0
1 ∴x1=1 或x2= - 5 .
∆=(-8)2-4×1×17 =-4＜0
0所，以从4而 a2＞b204-，a42a从c ≥而0b；2 -当4abc
2 - 4ac＜0时,因为a≠0， ＜0.
4a2
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自主探究
问题2：你能得出什么结论？
结论：当b 2 - 4ac ≥ 0时,一般形式的一元
二次方程ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）的根为
∴方程无实数根.
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总结提高
本节课应掌握：
1.(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况.
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《公式法》课件.ppt

《公式法》课件.ppt

所以x (4) 0 1 24 2
即x1

x2

1 2
用公式法解下列方程：3x(x 3) 2(x 1)(x 1)
解：化为一般式为： x2 9x 2 0
因为b2 4ac 28
所以x (9) 28 9 2 7
2
2
即x1

9

2 2
解：因为 b2 4ac 256
所以x (4) 256 4 16
2510即Fra bibliotek12，x2


6 5
x b b2 4ac 2a
例 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化简为一般式：4x2 +12x 9 0 这里 a 4、 b 12、 c 9
7
,
x2

92 2
7
归纳小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
要成为德智体兼优的劳动者，锻炼身 体极为重要。身体健康是求学和将来工作 之本。运动能治百病，能使人身体健康， 头脑敏捷，对学习有促进作用。
b2 4ac 0
x 12 0 3
8
2
即：
3 x1 x2 2
x b b2 4ac 2a
例 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0

人教版九年级数学上册优质课件-公式法(共15张PPT)

人教版九年级数学上册优质课件-公式法(共15张PPT)
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
精编优质课PPT人教版九年级数学上册 课件： 公式法 (共15 张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
7 121 7 11 精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
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公式法PPT课件(1)

公式法PPT课件(1)
解 -4x2+12xy-9y2 = -(4x2-12xy+9y2) = -[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2] = -(2x-3y)2
例7 把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2 = (a2)2 + 2 ·a2 ·b + b2 = (a2+ 因式分解.
本课节内容 3.3
公式法
动脑筋
如何把 x2-25 因式分解？ 我们学过平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用， 得 a2-b2=(a+b)(a-b) . 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) .
a2-b2= (a+b)(a-b) .
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用， 就可以把某些情势的多项式进行因式分解，这 种因式分解的方法叫做公式法.
结束
(2)m2 1 n2 mn 4
m2 2 • m • 1 n (1 n)2 (m 1 n)2.
22
2
小结与复习
1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与 多项式的乘法有什么关系？ 2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？ 3. 因式分解有哪些方法？写出公式法分解 因式时所用的公式.
本章知识结构
动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2 进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，就可以 把形如这样的多项式进行因式分解. 例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .

《公式法》一元二次方程PPT课件 (共8张PPT)

《公式法》一元二次方程PPT课件 (共8张PPT)

= -q+(
)2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解

一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2
练习:用公式法解方程 1、 x2 x -1= 0
2、 2x2 - 2 x+1= 0
用公式法解一元二次方程的
小结
由配方法解一般的一元
一般步骤： 1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。

1.2.3 公式法 (共29张PPT)

1.2.3 公式法 (共29张PPT)

2



0.

把方程左边因式分解，得



x

b 2a

b2 4ac 2a





xb 2ab2 4ac 2a




0.



由此得出
xb
b2 2a
4ac

0
或
xb
b2 2a
4ac

0.
解得
x1 b
b2 2a
4ac
,
中考 试题
例2 下列方程中，没有实数根的是（ D ）.
A.
x -1 2x
=
1
B. y2+1=2y
C. x2-x-6=0
D. 2x2 - 2x+2=0
解 A为分式方程，有解. B中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，有实数根. C中b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0，有实数根. D中b2-4ac=(- 2 )2-4× 2×2=2-8 2 <0，无实数根. 故应选择D.
a=2，b=4，c=-5， b2-4ac =16+40=56，
因此
x

3 56 22

32 4
14
.
从而
x1=
-3+2 4
14，x2=
-3-2 4
14.
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根.
答：k=±4， 当 k=4 时，x=2； 当 k=-4 时，x=-2.
x2 b
b2 4ac . 2a

公式法 ppt课件

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典例精析
例1:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴ b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0,
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：程左方边程配两成边完同全时平加方上的一形次式项；系数一半的平方，将方
合作探究
用配方法解下列方程：
思考：
你能用配方法解方程：
吗？
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：系数化为1，得：
移项，得：
配方，得：
即：
能用直接开平方法 解方程（1）吗？为 什么？
合作探究
∵a ≠0,4a2>0，∴ 式子b2-4ac 有三种情况：
方程有两个不相等的实数根， 将（1）两边开平方，得：
4.若关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+（k-1）=0
有实数根，求k的取值范围.
总结归纳
我们知道，当b2-4ac ≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根，可以写成：

《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)

《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)

(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )

− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若

则 =
= × × ，

.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，

公式法ppt课件

公式法ppt课件
先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0, 当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子 x b b2 4ac
2a
得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的
求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
注意
(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;
(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一 般形式,确定a,b,c的值.
1、一元二次方程的求根公式是用什么方法推 导出来的？
2、试默写一元二次方程的求根公式；试说出 根的判别式；如何用根的判别式判定一元二 次方程根的情况？
3、说出用公式法解一元二次方程的一般步聚 。
公式法
课堂小结
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
步骤
b2 4ac 42 4 5 1 36 0
x b b2 4ac 4 36 4 6
即x1
2a
1, x2
251 5
10
（4）原方程即为x2-8x+17=0.
a=1,b=-8,c=17,
b2 4ac 82 4117 4 0
∴方程无实数根.
知识拓展 公式法解一元二次方程的一般步骤:
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
我们下节课再见！
时，将a，b，c 代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
问题思考
(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的情况?

《公式法》精品课件

《公式法》精品课件
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
因式分解的一般步骤： (1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当 多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符 合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可 根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公 式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解 就结束了.
下角； (2)分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角； (3)交叉相乘，求代数和，使其等
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
(1)运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解需要 满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积， 且一次项系数是这两个数的和； (2)当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的 积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时， 可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的 符号与一次项的符号相同； (3)有时候需要多次尝试才能分解.
1.分解因式：x3+5x2+6x=___________. x(x+2)(x+3)
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.分解因式：2x2-6x+4=__________. 2(x-1)(x-2)

公式法 PPT

公式法 PPT

用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
x2 + x= -
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
即 ∵4a2＞0
( x + )2 =
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得 x= - ±
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。
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包权
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用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2 b=5 c= -3 ①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
一般步骤： 1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
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(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数 的和,另一个因式是这两数的差;
(3)在乘法公式中, “平方差”是计算结果, 而在因式分解中,“平方差”是要分解因式 的多项式;
(4)平方差公式的使用条件:如果多项式是两 数差的形式,并且这两个数又都可以写成平 方的形式,那么这个多项式可以运用平方差 公式分解因式.
五、达标检测
检测反馈
1.将a2-9分解因式的结果是 ( B )
A.(a+9)(a-9) B.(a+3)(a-3)
C.(a+3)2
D.(a-3)2
解析: a2-9=(a+3)(a-3).故选B.
2.将(a-1)2-1分解因式,结果正确的是 ( B )
A.a(a-1)
B.a(a-2)
C.(a-2)(a-1) D.(a-2)(a+1)
(2)等号右边： 是等号左边两底数的和与这两个数的差的 积．
(1)x2-4=x2-22= (x+2)(x-2); (2)x2-16 =( x )2-( 4 )2 =( x+4 )( x-4 ); (3)9-y2=( 3 )2-( y )2 =( 3+y )·( 3-y );
(4)1-a2 =( 1 )2-( a )2 =( 1+a )·( 1-a ).
解的另一种方法——公式法.
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过 来就可得到分解因式中的平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两
个数的和与这两个数的差的积.
此公式有何特点?
(1)等号左边： ①等号左边应是二项式； ②每一项都可以表示成平方的形式； ③两项的符号相反．
把余下的部分恰好剪拼成一个矩形(如 图右下图所示),通过计算两个图形(阴 影部分)的面积,可以得到一个怎样的等 式?
通过图形可以知道,右图是由左图拼成 的,它们的面积相等,左图中阴影部分的面积 为a2-b2;
右图中阴影部分为矩形(长为a+b,宽为 a-b),面积为(a+b)(a-b).因此(a+b)(a-b)=a2-b2 或a2-b2=(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=a2-b2是乘法 公式,而反过来a2-b2=(a+b)(a-b)这是因式分
四、实练：—应用平方差公式
分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1； (4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2. 导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平 方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因 式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将 (a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因 式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为 整体，运用平方差公式进行分解因式．
三、精讲实练：—应用平方差公式
例1 分解因式.
(1) 4x2 -9; (2)(x+p)2-(x+q)2.
a2-b2=(a+b)(a-b)
说 2x x+p 3 x+q
明
公式中的a与b可以表示一个数,也
可以表示一个单项式,甚至是多项式,
解:(1)4x2-9=(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3).
解析: 直接利用平方差公式进行因式 分解. 解:(1)原式=(6+x)(6-x).
(2)原式=(b+a)(b-a). (3)原式=(x+4y)(x-4y).
(4)原式=(xy+z)(xy-z).
（1）本节课学习了哪些主要
内容？
课 堂
（2）因式分解的平方差公式
总
在应用时应注意什么？
结
布
小பைடு நூலகம்习册课时作业
(2)不能直接利用平方差公式分解因式,但通 过观察可以发现a3b-ab有公因式ab,应先提出 公因式,再进一步分解.
知识小结
1.公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 2.法则:两个数的平方差,等于这两个 数的和与这两个数的差的积.
3.注意:(1)左边是二项式,每项都是平方的 形式,两项的符号相反;
八年级数学·上 新课标 [人]
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、激趣导入—复习旧知
1、什么叫把多项式分解因式?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多 项式的分解因式. 2、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法
3、【问题】你能将a2-b2分解因式吗?
你是如何思考的?
二、合作互助—探究新知
在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b)(如图左下图所示).
解析: 原式=(a-1+1)(a-1-1) =a(a-2).故选B.
3.计算552-152的结果是 ( D )
A.40
B.1600
C.2400
D.2800
解析: 552-152 =(55+15)×(55-15) =70×40 =2800.故选D.
4.用平方差公式分解因式.
(1)36-x 2 ; (2)-a 2+b 2 ; (3)x 2-16y 2; (4)x 2y 2-z 2; (5)(x+2)2-92; (6)(x+a)2-(y+b)2; (7)25(a+b)2- 4(a-b)2; (8)a 2-16 .
(2)(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)] [(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q).
例2 分解因式: (1)x 4-y 4; (2)a3b-ab .
(1)x4-y4可以写成(x2)2 -(y2)2的形式, 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. 但分解到(x2 +y2)(x2-y2)后,必须进行到多项式的 每一个因式都不能再分解为止.
四、实练：—应用平方差公式
分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1； (4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2. 导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平 方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因 式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将 (a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因 式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为 整体，运用平方差公式进行分解因式．
置
作
业