初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第六讲 一元二次方程的解法(拔高篇,适合八年级使用,无答案)

4.2 一元二次方程的解法学习目标1．会用直接开方法、因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程。

2．知道一元二次方程根的判别式的概念，会用一元二次方程根的判别式判别根的情况。

3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。

知识详解1. 直接开平方法：对于形如()20a a x =≥的方程，根据平方根的定义，解得1x2x如果一个一元二次方程具有()()20k k x h =≥+的形式，那么就可以直接用开平方法。

2. 配方法：将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平 方法求解，这样解一元二次方程的解法叫做配方法，一般的步骤是：（1）先把方程20bx c x ++=一项，2bx c x +=-（如果一元二次方程的二次项系数不是1，可以先把二次项的系数化为1）（2）方程两边同加一次项系数一半的平方，得到22222bx c b b x ++=-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22442c b b x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3. 因式分解法步骤:（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零 ，（2）将方程的左边因式分解 ，（3）根据若A B ⨯，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

4.公式法（1）公式法：对于一元二次方程20a bx c x ++=（0a ≠）如果240ac b -≥，那么方程的两个根为x =（2）用公式法解一元二次方程的步骤A 、把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值B 、 求出24ac b -C 、 代入求根公式)20,40x a ac b =≠-≥ D 、写出方程的解1x 与2x5.一元二次方程根的判别式一元二次方程20a bx c x ++=（0a ≠）的根的情况可由240ac b -≥来判定： 当240ac b->时，方程有两个不相等的实数根； 当240ac b-=时，方程有两个相等的实数根； 当240ac b -<时，方程没有实数根。

一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2 （6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+= （11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2 （14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-= （17）23145b b += （18）20x +=（19）42200x x --= （20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ； （4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。

【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ； （2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。

（4）()()()()x x x x --=-+314312。

初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。

有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。

解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。

⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。

几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。

专题06 一元二次方程一、考向分析一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．二、思维导图三、最新考纲1．理解一元二次方程的概念．2．熟练掌握一元二次方程的解法．3．会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用． 4．会列一元二次方程解决实际问题.四、考点强化【考点总结】一、一元二次方程的概念1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 【注】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程． 2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．【考点总结】二、一元二次方程的解法一、直接开方法解一元二次方程 1、直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程a x =2，可直接开平方求解. 若0>a ，则a x ±=；表示为a x a x -==21,，有两个不等实数根；若0=a ，则0=x ；表示为021==x x ，有两个相等的实数根； 若0<a ，则方程无实数根．①形如关于x 的一元二次方程()()0,02≥≠=+m a m n ax ，可直接开平方求解，两根是amn x a m n x --=+-=21,。

2023年初中数学竞赛讲义：一元二次方程一、引言一元二次方程是初中数学中重要的内容之一，在数学竞赛中也经常出现。

掌握一元二次方程的解法对于提高数学竞赛的成绩具有重要意义。

本讲义将系统地介绍一元二次方程的概念、性质以及解法，帮助大家在2023年初中数学竞赛中更好地应对与处理一元二次方程相关的题目。

二、一元二次方程的定义和性质2.1 定义一元二次方程是形如aa2+aa+a=0的方程，其中a aa0且a是未知数。

其中，a、a、a是已知数，分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

2.2 一元二次方程的图像特点一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.3 一元二次方程的解的性质一元二次方程的解有以下性质：•如果一元二次方程有解，则有两个解，可能相等也可能不相等。

•如果一元二次方程有两个不相等的实数解，则它们关于a轴对称。

•如果一元二次方程有两个相等的实数解，则它们落在同一条垂直于a轴的直线上。

三、一元二次方程的解法3.1 一元二次方程的解法分类一元二次方程的解法可以分为以下几种情况：1.直接套用求根公式法。

2.配方法解一元二次方程。

3.完全平方解一元二次方程。

4.图像法解一元二次方程。

3.2 直接套用求根公式法直接套用求根公式法是最基本的解一元二次方程的方法。

根据求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以直接将方程的系数带入公式求解。

3.3 配方法解一元二次方程配方法是解一元二次方程的常用方法。

其基本思想是通过合理的配方，将方程转化成完全平方形式，从而求得方程的解。

3.4 完全平方解一元二次方程完全平方解一元二次方程是一种简洁、直接的解法。

通过对方程进行平方操作，使其变形为完全平方形式，然后求解。

3.5 图像法解一元二次方程图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。