2018年高三最新 高三数学专题复习2018010 精品
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高2021届高2018级高三数学复习资料§10.1分类计数原理与分步计数原理1.分类计数原理如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法,……,在第n类方式中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n 种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类和分步的区别,关键是看事件能否一步完成,事件一步完成了就是分类;必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用分类计数原理将种数相加;分步要用分步计数原理,将种数相乘.概念方法微思考1.在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理?提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类计数原理;如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分步计数原理.2.两种原理解题策略有哪些?提示①明白要完成的事情是什么;②分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;③有无特殊条件的限制;④检验是否有重复或遗漏.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)(4)在分步计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(×)题组二教材改编2.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标,纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A.12B.8C.6D.4【参考答案】C【试题解析】分两步:第一步先确定横坐标,有3种情况,第二步再确定纵坐标,有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6,故选C.3.(2020·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__________种.【参考答案】36【试题解析】从6名守擂选手中选1名,选法有C16=6(种);复活选手中挑选1名选手,选法有C16=6(种).由分步计数原理,不同的构成方式共有6×6=36(种).4.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书,则不同取法的种数为________.【参考答案】9【试题解析】分三类:第一类,从第1层取一本书有4种,第二类,从第2层取一本书有3种,第三类,从第3层取一本书有2种.共有4+3+2=9(种).题组三易错自纠5.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6【参考答案】B【试题解析】分两类情况讨论:第1类,奇偶奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个)奇数;第2类,偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个)奇数.根据分类计数原理知,共有12+6=18(个)奇数.6.某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有________种.【参考答案】243【试题解析】因为每个邮件选择发的方式有3种不同的情况.所以要发5个电子邮件,发送的方法有3×3×3×3×3=35=243(种).分类计数原理1.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10【参考答案】B【试题解析】方程ax2+2x+b=0有实数解的情况应分类讨论.①当a=0时,方程为一元一次方程2x+b=0,不论b取何值,方程一定有解.此时b的取值有4个,故此时有4个有序数对.②当a≠0时,需要Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).a≠0时,(a,b)共有3×4=12(个)实数对,故a≠0时满足条件的实数对有12-3=9(个),所以答案应为4+9=13.2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920【参考答案】A【试题解析】若a2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个.若a2=3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有2×3=6(个).若a2=4,满足条件的“凸数”有3×4=12(个),…,若a2=9,满足条件的“凸数”有8×9=72(个).所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).3.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.【参考答案】12【试题解析】当组成的数字有三个1,三个2,三个3,三个4时共有4种情况.当有三个1时:2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9种,当有三个2,3,4时:2221,3331,4441,有3种,根据分类计数原理可知,共有12种结果.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词,关键元素,关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.分步计数原理例1(1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【参考答案】B【试题解析】从E点到F点的最短路径有6条,从F点到G点的最短路径有3条,所以从E 点到G点的最短路径有6×3=18(条),故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.【参考答案】120【试题解析】每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).思维升华(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.跟踪训练1(1)(2020·洛阳联考)2019年牡丹花会期间,5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务,其中甲博物馆分配1人,另2个博物馆各分配2人,则不同的分配方法共有()A.15种B.30种C.90种D.180种【参考答案】B【试题解析】分两步完成:第一步,选1人到甲博物馆,有5种分配方法;第二步,将余下的4人各分配2人到另2个博物馆,有6种分配方法.根据分步计数原理可得,不同的分配方法共有5×6=30(种).(2)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},则方程(x-a)2+(y-b)2=4可表示不同的圆的个数为()A.7B.9C.12D.16【参考答案】C【试题解析】得到圆的方程分两步:第一步:确定a有3种选法;第二步:确定b有4种选法,由分步计数原理知,共有3×4=12(个).两个计数原理的综合应用例2(1)现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是()A.120B.140C.240D.260【参考答案】D【试题解析】由题意,先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,然后涂C处,若C处与A 处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,到C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D.(2)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数,某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“射”不能排在第一,“数”不能排在最后,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种.【参考答案】504【试题解析】 根据题意,分2种情况讨论:①“数”排在第一,将剩下的“五艺”全排列,安排在剩下的5节,有A 55=120(种)情况. ②“数”不排在第一,则“数”的排法有4种,“射”的排法有4种,将剩下的“四艺”全排列,安排在剩下的4节,有A 44=24(种)情况,则此时有4×4×24=384(种)情况.则一共有120+384=504(种)排课顺序.(3)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数.(用数字作答) 【参考答案】 420【试题解析】 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中四个数字不重复,因此应先分类,再分步.①第1类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字. 根据分步计数原理,有3×4×5×4=240(种)取法.②第2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步计数原理,有3×3×5×4=180(种)取法.③根据分类计数原理,共可以组成240+180=420(个)无重复数字的四位偶数. 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.跟踪训练2 (1)(2020·郑州质检)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A.72B.120C.192D.240 【参考答案】 D【试题解析】 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有5×4×3×2×12=60(种)情况;(2)若末位数字为6,同理有60种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1=120(种)情况.综上,共有60+60+120=240(种)情况.(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【参考答案】 C【试题解析】 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ,BC 1,A 1D ,AD 1,AB 1,A 1B ,D 1C ,DC 1,共8条,同理与DB 成60°角的面对角线也有8条.因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面,所以共有16×6=96(对).又因为每对被计算了2次,因此成60°的面对角线有12×96=48(对).1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )A.21种B.315种C.143种D.153种 【参考答案】 C【试题解析】 可分三类:一类:语文、数字各1本,共有9×7=63(种); 二类:语文、英语各1本,共有9×5=45(种); 三类:数字、英语各1本,共有7×5=35(种), ∴共有63+45+35=143(种)不同选法.2.(2020·南京质检)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( ) A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 【参考答案】 B【试题解析】 分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有3种传递方式(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件的也有3种传递方式. 由分类计数原理可知,共有3+3=6(种)传递方式.3.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有( ) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 【参考答案】 C【试题解析】 根据题意,车的行驶路线起点有4种,行驶方向有3种,所以行车路线共有4×3=12(种),故选C.4.若a ∈{1,2,3,4},b ∈{1,2,3,4},则y =ba x 表示不同直线的条数为( )A.8B.11C.14D.16 【参考答案】 B【试题解析】 若使ba 表示不同的实数,则当a =1时,b =1,2,3,4;当a =2时,b =1,3;当a =3时,b =1,2,4;当a =4时,b =1,3.故y =ba x 表示的不同直线的条数共有4+2+3+2=11.5.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为( ) A.56 B.54 C.53 D.52 【参考答案】 D【试题解析】 在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56(个)对数值;但在这56个数值中,log 24=log 39,log 42=log 93,log 23=log 49,log 32=log 94,即满足条件的对数值共有56-4=52(个).6.(2020·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写方法有( )A.288种B.144种C.576种D.96种 【参考答案】 C【试题解析】 依题意可分为以下3步:(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16种方法;(2)任意的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方法;(3)第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法,根据分步计数原理可得不同的填写方法有16×9×4=576(种).7.(2020·安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有( )A.120种B.260种C.340种D.420种 【参考答案】 D【试题解析】 由题意可知上下两块区域可以相同,也可以不同,则共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=180+240=420(种).故选D.8.(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子,下列结果正确的有( )A.C 13C 12C 11C 13B.C 24A 33C.C 13C 24A 22D.18【参考答案】 BC【试题解析】 根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个放2个球,剩下的2个盒子各放1个, 有2种解法: (1)分2步进行分析:①先将四个不同的小球分成3组,有C 24种分组方法; ②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A 33种放法,则没有空盒的放法有C 24A 33种.(2)分2步进行分析:①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有C 13C 24种情况;②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A 22种放法,则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种.故选BC.9.若椭圆x 2m +y 2n =1的焦点在y 轴上,且m ∈{1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________. 【参考答案】 20【试题解析】 当m =1时,n =2,3,4,5,6,7,共6个; 当m =2时,n =3,4,5,6,7,共5个; 当m =3时,n =4,5,6,7,共4个; 当m =4时,n =5,6,7,共3个; 当m =5时,n =6,7,共2个.故共有6+5+4+3+2=20(个)满足条件的椭圆.10.直线方程Ax +By =0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示________条不同的直线. 【参考答案】 22【试题解析】分成三类:A=0,B≠0;A≠0,B=0和A≠0,B≠0,前两类各表示1条直线;第三类先取A有5种取法,再取B有4种取法,故5×4=20(种).所以可以表示22条不同的直线.11.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.【参考答案】36【试题解析】第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).12.如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.【参考答案】180【试题解析】按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,D区域也有3种颜色可选.由分步计数原理,可得共有5×4×3×3=180(种)不同的涂色方法.13.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有()A.32个B.34个C.36个D.38个【参考答案】A【试题解析】先把数字分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2=32(个)这样的子集.14.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________.【参考答案】60【试题解析】根据题意,第一个可以从6个螺栓里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相等的,若第一个选1号螺栓,第二个可以选3,4,5号螺栓,依次选下去,共可以得到10种方法,所以总共有10×6=60(种)方法,故答案是60.15.(2019·凌源模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学都选取到喜欢的礼物,则不同的选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种【参考答案】B【试题解析】①甲同学选择牛,乙有2种选择,丙有10种选择,选法有1×2×10=20(种);②甲同学选择马,乙有3种选择,丙有10种选择,选法有1×3×10=30(种),所有总共有20+30=50(种)选法.16.若给一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方法共有________种.【参考答案】30【试题解析】方法一如图,染五条边总体分五步,染每一边为一步.当染边1时有3种染法,则染边2有2种染法.(1)当3与1同色时有1种染法,则4有2种,5有1种,此时染法总数为3×2×1×2×1=12(种).(2)当3与1不同色时,3有1种,①当4与1同色时,4有1种,5有2种;②当4与1不同色时,4有1种,5有1种,则此时有3×2×1×(1×2+1×1)=18(种).综合(1)、(2),由分类计数原理,可得染法的种数为30种.方法二通过分析可知,每种颜色至少要涂1次,至多只能涂2次,即有一色涂1次,剩余两种颜色各涂2次.一次的有C13C15种涂法,涂2次的有2种涂法,故一共有2C13C15=30(种)涂法.。
第十四章 推理与证明1.(2016·新课标全国Ⅲ,4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个1.解析 由题意知,平均最高气温高于20 ℃的六月,七月,八月,故选D. 答案 D2.(2016·浙江,8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n +1|=|A n +1A n +2|,A n ≠A n+2,n∈N *,|B n B n +1|=|B n +1B n +2|,B n ≠B n +2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n +1的面积,则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n -1|长度一半,即S n =12h n |B n B n -1|,由题目中条件可知|B n B n -1|的长度为定值,过A 1作垂直得到初始距离h 1,那么A 1,A n 和两个垂足构成等腰梯形,则h n =h 1+|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角,为定值), 从而S n =12(h 1+|A 1A n |tan θ)|B n B n +1|,S n +1=12(h 1+|A 1A n +1|)|B n B n +1|,则S n +1-S n =12|A n A n +1||B n B n +1|tan θ,都为定值,所以S n +1-S n 为定值,故选A.答案 A3.(2014·山东,4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax +b =0没有实根B.方程x 3+ax +b =0至多有一个实根 C.方程x 3+ax +b =0至多有两个实根 D.程x 3+ax +b =0恰好有两个实根 3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x 3+ax +b =0没有实根”. 答案 A4.(2016·新课标全国Ⅱ,16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.4.解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.(2016·山东,12)观察下列等式:⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2+⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2=43×1×2;⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2=43×2×3; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2=43×3×4; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2+…+⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2=43×4×5; …照此规律,⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2n π2n +1-2=________.5.解析 观察等式右边的规律:第1个数都是43,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1.答案 43×n ×(n +1)6.(2015·陕西,16)观察下列等式 1-12=12, 1-12+13-14=13+14, 1-12+13-14+15-16=14+15+16, …据此规律,第n 个等式可为________.6.解析 等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n 个等式左边有2n 项且正负交错,应为1-12+13-14+…+12n -1-12n;等式右边的特征:第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n 个有n 项,且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n +1+1n +2+ (12). 答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+…+12n7.(2014·福建,16)已知集合{a ,b ,c }={0,1,2},且下列三个关系:①a ≠2;②b =2;③c ≠0有且只有一个正确,则100a +10b +c 等于________. 7.解析 可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a ≠2,b ≠2,c =0,所以a =b =1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;(2)若只有②正确,则b =2,a =2,c =0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c ≠0,a =2,b ≠2,所以b =0,c =1,所以100a +10b +c =100×2+10×0+1=201. 答案2018.(2014·课标Ⅰ,14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.8.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市. 答案 A9.(2016·浙江,20)设函数f (x )=x 3+11+x,x ∈[0,1], 证明:(1)f (x )≥1-x +x 2; (2)34<f (x )≤32. 9.证明 (1)因为1-x +x 2-x 3=1-(-x )41-(-x ) =1-x 41+x,由于x ∈[0,1],有1-x 41+x ≤1x +1,即1-x +x 2-x 3≤1x +1,所以f (x )≥1-x +x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x , 故f (x )=x 3+1x +1≤x +1x +1=x +1x +1-32+32=(x -1)(2x +1)2(x +1)+32≤32, 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1-x +x 2=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +34≥34,又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f =1924>34,所以f (x )>34.综上,34<f (x )≤32.10.(2015·四川,21)已知函数f (x )=-2x ln x +x 2-2ax +a 2,其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 综上,34<f (x )≤32.10.解 (1)由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),g (x )=f ′(x )=2(x -1-ln x -a ),所以g ′(x )=2-2x =2(x -1)x,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增.(2)由f ′(x )=2(x -1-ln x -a )=0,解得a =x -1-ln x ,令φ(x )=-2x ln x +x 2-2x (x -1-ln x )+(x -1-ln x )2=(1+ln x )2-2x ln x , 则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0, 于是,存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)=0,令a 0=x 0-1-ln x 0=u (x 0),其中u (x )=x -1-ln x (x ≥1), 由u ′(x )=1-1x≥0知,函数u (x )在区间(1,+∞)上单调递增,故0=u (1)<a 0=u (x 0)<u (e)=e -2<1, 即a 0∈(0,1),当a =a 0时,有f ′(x 0)=0,f (x 0)=φ(x 0)=0, 再由(1)知,f ′(x )在区间(1,+∞)上单调递增,当x ∈(1,x 0)时,f ′(x )<0, 从而f (x )>f (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0, 从而f (x )>f (x 0)=0;又当x ∈(0,1]时,f (x )=(x -a 0)2-2x ln x >0, 故x ∈(0,+∞)时,f (x )≥0,综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.11.(2015·江苏,20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列. (1)证明:2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列;(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3,a n +3k4依次构成等比数列?并说明理由. 11.(1)证明 因为2a n +12a n =2a n +1-a n =2d (n =1,2,3)是同一个常数,所以2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列,(2)令a 1+d =a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a -d ,a ,a +d ,a +2d (a >d ,a >-2d ,d ≠0). 假设存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列, 则a 4=(a -d )(a +d )3,且(a +d )6=a 2(a +2d )4.令t =d a ,则1=(1-t )(1+t )3,且(1+t )6=(1+2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<t <1,t ≠0,化简得t 3+2t 2-2=0(*),且t 2=t +1.将t 2=t +1代入(*)式,t (t +1)+2(t +1)-2=t 2+3t =t +1+3t =4t +1=0, 则t =-14,显然t =-14不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列.(3)解 假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n1,a n +k2,a n +2k3,a n +3k4依次构成等比数列, 则a n1(a 1+2d )n +2k=(a 1+d )2(n +k ),且(a 1+d )n +k (a 1+3d )n +3k=(a 1+2d )2(n +2k ).分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n +2k )1,并令t =d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t >-13,t ≠0,则(1+2t )n +2k=(1+t )2(n +k ),且(1+t )n +k(1+3t )n +3k=(1+2t )2(n +2k ).将上述两个等式两边取对数,得(n +2k )ln(1+2t )=2(n +k )ln(1+t ), 且(n +k )ln(1+t )+(n +3k )ln(1+3t )=2(n +2k )ln(1+2t ). 化简得2k [ln(1+2t )-ln(1+t )]=n [2ln(1+t )-ln(1+2t )], 且3k [ln(1+3t )-ln(1+t )]=n [3ln(1+t )-ln(1+3t )].再将这两式相除,化简得ln(1+3t )ln(1+2t )+3ln(1+2t )ln(1+t )=4ln(1+3t )ln(1+t )(**).令g (t )=4ln(1+3t )ln(1+t )-ln(1+3t )ln(1+2t )-3ln(1+2t )ln(1+t ), 则g ′(t )=2[(1+3t )2ln (1+3t )-3(1+2t )2ln (1+2t )+3(1+t )2ln (1+t )](1+t )(1+2t )(1+3t ).令φ(t )=(1+3t )2ln(1+3t )-3(1+2t )2ln(1+2t )+3(1+t )2ln(1+t ), 则φ′(t )=6[(1+3t )ln(1+3t )-2(1+2t )ln(1+2t )+(1+t )ln(1+t )]. 令φ1(t )=φ′(t ),则φ1′(t )=6[3ln(1+3t )-4ln(1+2t )+ln(1+t )]. 令φ2(t )=φ1′(t ),则φ2′(t )=12(1+t )(1+2t )(1+3t )>0.由g (0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ′2(t )>0,知φ2(t ),φ1(t ),φ(t ),g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0,+∞)上均单调. 故g (t )只有唯一零点t =0,即方程(**)只有唯一解t =0,故假设不成立. 所以不存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n1,a n +k 2,a n +2k 3,a n +3k4依次构成等比数列.12.(2014·天津,20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n q n -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n }.(1)当q =2,n =3时,用列举法表示集合A ; (2)设s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n qn -1,其中a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n .证明:若a n <b n ,则s <t .12.(1)解 当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i =1,2,3}.可得A ={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明 由s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n 及a n <b n ,可得s -t =(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q +…+(a n -1-b n -1)q n -2+(a n -b n )qn -1≤(q -1)+(q -1)q +…+ (q -1)qn -2-qn -1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n -1=-1<0.所以s <t .。
2018届高考高三数学总复习全册学案精编目录第一章集合常用逻辑用语 (1)第1讲集合 (1)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)第二章函数概念与基本初等函数 (13)第1讲函数及其表示 (13)第2讲函数的单调性与最值 (21)第3讲函数的奇偶性与周期性 (29)第4讲幂函数与二次函数 (36)第5讲指数与指数函数 (44)第6讲对数与对数函数 (51)第7讲函数的图象 (59)第8讲函数与方程、函数的模型及其应用 (68)第三章导数及其应用 (77)第1讲导数的概念与导数的计算 (77)第2讲导数与函数的单调性 (85)第3讲导数与函数的极值、最值 (93)第四章三角函数、解三角形 (107)第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 (107)第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (115)第3讲三角函数的图象与性质 (122)第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 (133)第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (144)第6讲正弦定理和余弦定理 (153)第7讲解三角形应用举例 (160)第五章平面向量、复数 (172)第1讲平面向量的概念及线性运算 (172)第2讲平面向量基本定理与坐标表示 (179)第3讲平面向量的数量积及其应用 (185)第4讲数系的扩充与复数的引入 (193)第六章不等式 (198)第1讲不等式的性质与一元二次不等式 (198)第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (207)第3讲基本不等式:ab≤a+b2 (215)第4讲绝对值不等式 (223)第七章数列、推理与证明 (230)第1讲数列的概念及简单表示法 (230)第2讲等差数列及其前n项和 (237)第3讲等比数列及其前n项和 (244)第4讲数列求和 (251)第5讲直接证明与间接证明 (258)第6讲数学归纳法 (264)第八章立体几何与空间向量 (279)第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图 (279)第2讲空间几何体的表面积与体积 (293)第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系 (301)第4讲直线、平面平行的判定及其性质 (308)第5讲直线、平面垂直的判定及其性质 (317)第6讲空间向量及其运算 (326)第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 (335)第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 (344)第九章平面解析几何 (363)第1讲直线的方程 (363)第2讲两直线的位置关系 (371)第3讲圆的方程 (379)第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系 (386)第5讲椭圆 (393)第6讲双曲线 (403)第7讲抛物线 (411)第8讲曲线与方程 (420)第9讲圆锥曲线的综合问题 (426)第十章计数原理概率 (454)第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (454)第2讲排列与组合 (460)第3讲二项式定理 (467)第4讲随机事件的概率 (474)第5讲古典概型 (481)第6讲离散型随机变量及其分布列 (487)第7讲二项分布及其应用 (494)第8讲离散型随机变量的均值与方差 (502)第一章集合常用逻辑用语第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A.(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.(2)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.(4)∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )解析(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.(3)错误.当x=1,不满足互异性.(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A={0,1,2,3},由a=22,知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}解析因为A={1,3,5,7},而3,5∈A且3,5∈B,所以A∩B={3,5}.答案 B4.(2017·杭州模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4}解析由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.答案 D5.(2017·绍兴调研)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则A∪B=________,(∁U A)∩B=________.解析∵A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},∴A∪B={x|x≥0},(∁U A)∩B={x|0≤x<2}.答案{x|x≥0}{x|0≤x<2}6.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B 的元素个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9 (2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( )A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x =0,y =0,1,2时,x -y =0,-1,-2;当x =1,y =0,1,2时,x -y =1,0,-1;当x =2,y =0,1,2时,x -y =2,1,0.根据集合中元素的互异性可知,B 的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.(2)若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意; 当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98, 所以a 的取值为0或98. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素,要分a =0与a ≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a =0的情形.(2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =________. (2)已知集合A ={x ∈R |ax 2+3x -2=0},若A =∅,则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0, 所以a +b =0,且b =1,所以a =-1,b =1,所以b -a =2.(2)由A =∅知方程ax 2+3x -2=0无实根,当a =0时,x =23不合题意,舍去; 当a ≠0时,Δ=9+8a <0,∴a <-98.答案 (1)2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-98 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ={x |y =1-x 2,x ∈R },B ={x |x =m 2,m ∈A },则( )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B =A(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ={x |-1≤x ≤1},所以B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1}.因此B A .(2)当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2.当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为(-∞,4].答案 (1)B (2)(-∞,4]规律方法 (1)若B ⊆A ,应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A ={x |x >0},且B ⊆A ,则集合B 可能是( ) A.{1,2}B.{x |x ≤1}C.{-1,0,1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ={x |x =x 2-2,x ∈R },B ={1,m },若A ⊆B ,则m 的值为( )A.2B.-1C.-1或2D.2或2解析 (1)因为A ={x |x >0},且B ⊆A ,再根据选项A ,B ,C ,D 可知选项A 正确.(2)由x =x 2-2,得x =2,则A ={2}.因为B ={1,m }且A ⊆B ,所以m =2.答案(1)A (2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞)解析(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}.∴∁R Q={x|-2<x<2},又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3}.答案(1)D (2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是( )A.N⊆MB.N∩M=∅C.M⊆ND.M∩N=R(2)(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析(1)易知N=(-2,3),且M={-1,1},∴M⊆N.(2)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5},又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}.答案(1)C (2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(选修2-1P6练习改编)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4,则tan α≠1 B.若α=π4,则tan α≠1 C.若tan α≠1,则α≠π4 D.若tan α≠1,则α=π4解析 命题“若p ,则q ”的逆否命题是“若綈q ,则綈p ”,显然綈q :tan α≠1,綈p :α≠π4,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.答案 C3.(2016·天津卷)设x >0,y ∈R ,则“x >y ”是“x >|y |”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 x >y x >|y |(如x =1,y =-2).但x >|y |时,能有x >y .∴“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件.答案 C4.命题“若a >-3,则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a >-6,则a >-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 B5.(2017·舟山双基检测)已知函数f (x )的定义域为R ,则命题p :“函数f (x )为偶函数”是命题q :“∃x 0∈R ,f (x 0)=f (-x 0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若f (x )为偶函数,则有f (x )=f (-x ),所以p ⇒q ;若f (x )=x ,当x =0时,f (0)=f (-0),而f (x )=x 为奇函数,所以q p .∴“命题p ”是“命题q ”的充分不必要条件.答案 A6.(2017·温州调研)已知命题p :“若a 2=b 2,则a =b ”,则命题p 的否命题为________,该否命题是一个________命题(填“真”,“假”).解析 由否命题的定义可知命题p 的否命题为“若a 2≠b 2,则a ≠b ”.由于命题p 的逆命题“若a =b ,则a 2=b 2”是一个真命题,∴否命题是一个真命题.答案“若a2≠b2,则a≠b”真考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A,D;由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.答案(1)C (2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】已知:命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题解析由f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=e x-m≥0恒成立,∴m≤1.因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.答案 D考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件,也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义,q⇒p,但p⇒/q.例如f(x)=x3,在x=0处f′(0)=0,f(x)=x3是增函数,x=0不是函数f(x)=x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.(2)直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.答案(1)C (2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.【训练2】(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面. 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P 是x∈S的必要条件,求m的取值范围.解 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10, ∴P ={x |-2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≥-2,1+m ≤10,解得m ≤3. 又∵S 为非空集合, ∴1-m ≤1+m ,解得m ≥0,综上,可知0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件? 解 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9, 这样的m 不存在.【迁移探究2】 本例条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴P 是S 的充分不必要条件, ∴P ⇒S 且SP .∴[-2,10][1-m ,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10, ∴m ≥9,则m 的取值范围是[9,+∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解; (2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax 2+2x +1=0只有负实根的充要条件是________.解析 当a =0时,原方程为一元一次方程2x +1=0,有一个负实根x =-12.当a ≠0时,原方程为一元二次方程, 又ax 2+2x +1=0只有负实根,所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-4a ≥0,-2a<0,1a >0,即0<a ≤1.综上,方程只有负根的充要条件是0≤a ≤1.答案 0≤a ≤1[思想方法]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法:直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法:即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ;B ⇒A 与綈A ⇒綈B ;A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )};若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件;若A B ,则p 是q 的充分不必要条件,若A =B ,则p 是q 的充要条件. [易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p ,则q ”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A,B 设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y=f(x),x∈A 映射:f:A→B(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y =x 2+1-1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y =1的定义域为R ,而y =x 0的定义域为{x |x ≠0},其定义域不同,故不是同一函数.(3)由于x 2+1≥1,故y =x 2+1-1≥0,故函数y =x 2+1-1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[-2,2],C 中图象不表示函数,D 中函数值域不是[0,2]. 答案 B3.(2017·舟山一模)函数y =1-x22x 2-3x -2的定义域为( )A.(-∞,1]B.[-1,1]C.[1,2)∪(2,+∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,-12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1 解析 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,2x 2-3x -2≠0.解之得-1≤x ≤1且x ≠-12.答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))等于( )A.-1B.14C.12D.32解析 因为-2<0,所以f (-2)=2-2=14>0,所以f (f (-2))=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1-14=1-12=12,故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a =________. 解析 由题意知点(-1,4)在函数f (x )=ax 3-2x 的图象上,所以4=-a +2,则a =-2.答案 -26.(2017·丽水调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x 2+1 (x ≥1),log 2(1-x ) (x <1),设函数f (f (4))=________.若f (a )=-1,则a =________.解析 ∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x 2+1 (x ≥1),log 2(1-x ) (x <1),∴f (4)=-2×42+1=-31,f (f (4))=f (-31)=log 232=5;当a ≥1时,由f (a )=-2a 2+1=-1,得a =1(a =-1舍去);当a <1时,由f (a )=log 2(1-a )=-1,得1-a =12,即a =12.答案 5 1或12考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )=ln xx -1+x 12的定义域为( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)若函数y =f (x )的定义域是[1,2 017],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x -1>0,x ≥0,解得x >1,故函数f (x )=ln xx -1+x 12的定义域为(1,+∞).(2)∵y =f (x )的定义域为[1,2 017],∴g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 017,x -1≠0.∴0≤x ≤2 016,且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016,且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016,且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出;若已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )=4-|x |+lg x 2-5x +6x -3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )=2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 解析 (1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4,x -2>0且x ≠3,则2<x ≤4,且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2+2ax -a -1≥0对x ∈R 恒成立,则x 2+2ax -a ≥0恒成立.因此有Δ=(2a )2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[-1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x+1=lg x ,则f (x )=________;(2)已知f (x )是二次函数且f (0)=2,f (x +1)-f (x )=x -1,则f (x )=________;(3)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x -1,则f (x )=________.解析 (1)令t =2x +1(t >1),则x =2t -1,∴f (t )=lg2t -1,即f (x )=lg 2x -1(x >1). (2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=2,得c =2,f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+2-ax 2-bx -2=x -1,则2ax +a +b =x -1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a =1,a +b =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-32. ∴f (x )=12x 2-32x +2.(3)在f (x )=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x -1中,将x 换成1x ,则1x换成x ,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=2f (x )·1x-1,由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x -1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =2f (x )·1x-1,解得f (x )=23x +13.答案 (1)lg2x -1(x >1) (2)12x 2-32x +2 (3)23x +13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x +1)=x +2x ,则f (x )=________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.(3)定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),则f (x )=__________. 解析 (1)令x +1=t ,则x =(t -1)2(t ≥1),代入原式得f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)当-1≤x ≤0时,0≤x +1≤1, 由已知f (x )=12f (x +1)=-12x (x +1).(3)当x ∈(-1,1)时, 有2f (x )-f (-x )=lg(x +1).① 将x 换成-x ,则-x 换成x , 得2f (-x )-f (x )=lg(-x +1).② 由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),x ∈(-1,1).答案 (1)x 2-1(x ≥1) (2)-12x (x +1)(3)23lg(x +1)+13lg(1-x )(-1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3-1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( ) A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义,f (-2)=1+log 2(2+2)=1+2=3.又log 212>1 ∴f (log 212)=2(log 212-1)=2log 26=6, 因此f (-2)+f (log 212)=3+6=9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3-2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=4,则b =( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=3×56-b =52-b ,若52-b <1,即b >32时, 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52-b =3⎝ ⎛⎭⎪⎫52-b -b =4, 解之得b =78,不合题意舍去.若52-b ≥1,即b ≤32,则252-b =4,解得b =12. (2)当x <1时,e x -1≤2,解得x ≤1+ln 2,所以x <1.当x ≥1时,x 13≤2,解得x ≤8,所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(-∞,8]. 答案 (1)D (2)(-∞,8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A.-74B.-54C.-34D.-14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,则不等式f (x )≥-1的解集是________. 解析 (1)当a ≤1时,f (a )=2a -1-2=-3,即2a -1=-1,不成立,舍去;当a >1时,f (a )=-log 2(a +1)=-3, 即log 2(a +1)=3, 解得a =7,此时f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74.故选A.(2)当x ≤0时,由题意得x2+1≥-1,解之得-4≤x ≤0.当x >0时,由题意得-(x -1)2≥-1,解之得0<x ≤2, 综上f (x )≥-1的解集为{x |-4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |-4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论.第2讲 函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; (4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x ),x ∈D ,若对任意x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(3)对于函数y =f (x ),若f (1)<f (3),则f (x )为增函数.( )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接,取x 1=-1,x 2=1,则f (-1)<f (1),故应说成。
高三数学专题复习-----数列(二)
一 基础知识
(3)数列的通项,(4)数列的求和,(5)数列的极限,(6)数列综合
二 例题
1、数列1,x ,x 2,…,x n -1,…的前n 项之和是( )
(A) (B) (C) (D)以上均不正确
2、已知{a n }为无穷等比数列,且∞→n lim (a 1+a 2+……+a n )=
4
1,则首项a 1的取值范围是( ) (A )(0, 21) (B )(0, 41) (C )(41, 21) (D )(0, 41)∪(41, 21) 3、若{a n }是等比数列,a 1+a 2+a 3=18,a 2+a 3+a 4= -9,S n =a 1+a 2+…+a n ,则∞
→n lim S n 的值是( ) (A)8 (B)16 (C)32 (D)48
4、等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若
,则S n 等于 ( )
(A) (B)- (C)2 (D)-2 5、已知S n 是无穷等差数列1,3,5,…前n 项之和,则n
n n S S 2lim ∞→的值等于 ( ) (A)4
1 (B)1 (C)
2 (D)4 6、在等差数列{}n a 中, a 2=5, 12lim =∞→n
a n n 那么a 5等于( ) (A )2
13 (B )8 (C )11 (D )13 7、设有首项分别为1,2,3,…,p,公差顺次为1,3,5,…,2p-1的p 组等差数列,各组自首项到第n 项的和分别S 1,S 2,S 3,…,S P ,为则S 1+S 2+S 3+…+S P 为 ( )
(A)np(np+1) (B)21np(np+1) (C) 2
1n 2p 2 (D)np(np-1) 8、若2lim 22=++∞→c bn cn an n ,3lim =++∞→a cn c bn n ,则b
an cn c bn an n ++++∞→22lim = ( )
(A)61 (B)32 (C)2
3 (D) 6 9、已知数列{a n }满足⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111411311211n a n ,则n a n n ∞→lim 的值等于 ( )
(A)0 (B)2
1 (C)1 (D)不存在 10、无穷数列{}n a 的前n 项和n n S n 31621311222++++++=
,则n n S ∞→lim =( ) (A )31 (B )2
1 (C 1811 (D 不存在 11、{}n a 为等比数列,且a 1+a 2+……+a n =2n
-1,则1223222lim +∞→+++n n n n a a a a 的值是( ) (A )-1 (B )31 (C ) 3
4 (D )1 12、已知f(n)=1+2+…+n ,(n ∈N),则2
2)]([)(lim n f n f n ∞→的值是 ( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)2
1 13、记132333212121256112816413211618141211-----+⋯+--+--+--=n n n n S , 则=∞
→n n S lim ________ 14、⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⋯++++⋯++++++∞→n n 321132112111lim =________ 15、计算:0.1+0.18+0.018+0.0018+…+n ·10-n = 16、已知数列{a n }满足S n =
4a n +1, 则∞→n lim (a 1+a 3+a 5+……+a 2n -1)=。