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§2.2.1 椭圆及其标准方程凯里实验高级中学范国柱■一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书〃数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
■二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
■三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。
可编辑修改精选全文完整版教学设计(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．（二)椭圆标准方程的推导13分钟1．标准方程的推导.教师引导学生得出椭圆方程，由a、b的关系判定焦点在哪一个坐标轴上。
2.教师给出表格和学生一起总结椭圆的方让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。
教师结合猜想加以引导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与8分钟，练习12分钟例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.教师引导学生得学生自己写解题过程 2.学生板演 3.学生讨论4.老师出示练习题（课件）学生做练习题（1）掌握椭圆方程a、b之间的关系 (2)掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
《椭圆及其标准方程》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程。
（2）能根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标、焦距等相关量。
2、过程与方法目标（1）通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的动手能力和观察分析能力。
（2）通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。
2、教学难点（1）椭圆标准方程的推导。
（2）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、演示法、讨论法四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的赛道等，引出本节课的主题——椭圆。
2、椭圆的定义准备一根绳子，将其两端固定在黑板上的两点 F1、F2，用铅笔拉紧绳子，移动铅笔，画出一个封闭的曲线。
让学生观察这个曲线的形状，引出椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
强调定义中的关键条件：（1）平面内。
（2）两个定点。
（3）距离之和为常数且大于焦距。
3、椭圆的标准方程（1）建系以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。
设椭圆的焦距为 2c（c>0），椭圆上任意一点 M 的坐标为(x,y)，焦点 F1、F2 的坐标分别为(c,0)、（c,0)。
（2）推导方程根据椭圆的定义，｜MF1| ＋｜MF2| ＝ 2a（2a ＞ 2c），则：＼（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a\）移项平方可得：＼（（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2}）＾2 ＝（2a ＼sqrt{（x c)＾2＋ y^2}）＾2\）展开并整理得：＼（a^2 cx ＝ a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼）再平方并整理得：＼（（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＝ a^2(a^2 c^2)＼）因为\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（其中 b>0），所以方程可化为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（a>b>0）这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标：1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 引导学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义与性质2. 椭圆的标准方程3. 椭圆方程的求法4. 椭圆的应用三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 难点：椭圆方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的定义与性质。
2. 利用图形演示法，让学生直观理解椭圆的标准方程。
3. 运用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的椭圆实例，引导学生思考椭圆的定义。
2. 新课讲解：(1) 讲解椭圆的定义，引导学生理解椭圆的基本性质。
(2) 讲解椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的表示方法。
(3) 讲解椭圆方程的求法，引导学生学会运用数学方法解决问题。
3. 案例分析：分析实际问题，运用椭圆知识解决问题。
4. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固椭圆知识。
六、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的焦点和准线的概念。
2. 引导学生了解椭圆的离心率及其求法。
3. 培养学生运用椭圆的性质解决几何问题的能力。
七、教学内容：1. 椭圆的焦点和准线2. 椭圆的离心率3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的图像特点5. 椭圆的应用八、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的焦点、准线、离心率的概念及其应用。
2. 难点：椭圆的参数方程及其图像特点。
九、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究椭圆的焦点和准线。
2. 利用几何画图软件，演示椭圆的焦点和准线。
3. 运用案例分析法，让学生运用椭圆性质解决几何问题。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
十、教学过程：1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生思考椭圆的焦点和准线。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
3.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求点的轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法（相关点法）；2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，激发学生学习兴趣，提高学生的创新意识.二、教学重难点1.重点：求动点轨迹方程的三种方法.2.难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.三、教学过程1.复习巩固，引入新课上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？【答案预设】（1）平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.1F 2F 21F F 1F 2F 21F F（2）椭圆标准方程有两种形式：焦点在x轴上， 焦点在y 轴上, 其中【设计意图】加深对椭圆定义及其标准方程的理解，为求动点的轨迹方程做准备.2.自主探究，得出新知活动1：如图所示，已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【活动预设】经过分析，发现点P 的轨迹符合椭圆的定义，再根据椭圆的定义求出点P 满足的标准方程.)(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 22c a b -=64)3(22=+-y x【设计意图】让学生掌握定义法求动点的轨迹方程.活动2：如图设A ，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0). 直线AM ，BM 相交于点M ，且他们的斜率之积是，求点M 的轨迹方程.【活动预设】设动点M 的坐标为(x ，y)，根据题目意思用含x ，y 的式子表示直线AM ，BM 的斜率，得到x ，y 的关系式,求出轨迹方程.写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.【设计意图】类比椭圆标准方程推导过程，利用直接法求动点的轨迹方程，并去除不符合条件的特殊点.活动3：如图，在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？【活动预设】由点M 是线段PD 的中点得到点M 的坐标与点P 坐标之间的关系式，并由点P 坐标满足圆的方程代入得到点M 的坐标所满足的方程.94-422=+y x【设计意图】让学生体会椭圆生成的另一种方式，利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程.思考：由活动3我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？3.应用巩固，强化方法已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.4.归纳小结，思维提升（1）回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的三种方法：①定义法②直接法③代入法(相关点法).（2）数学思想：数形结合、转化化归、类比归纳【设计意图】（1）梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；（2）培养学生敢于思考，不断总结的思维习惯，提升学生的数学核心素养，鼓励学生积极攀登知识高峰，为进一步的数学学习做好准备.四、课外作业1. 课本109页，练习第3、4题；2. 课本115页，习题3.1 第6、8、9、10题.课后探究：课下与同学一起探究完成思考题，体会由圆得到椭圆的两种方式，并思考由圆得到的椭圆有哪些性质.【设计意图】（1）通过练习巩固本节课所学的内容和方法，让学生学会用知识解决问题；（2）分层布置作业，让学有余力的同学多思考，多花时间研究问题.。
椭圆及其标准方程》教学设计一、教学目标：1、知识与技能目标（1）掌握椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程．（2）掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法．2、过程与方法目标（1）经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手的能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．（2）通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐.（2）激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；难点：椭圆标准方程的推导与化简.三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导f启发讨论f探索结果，引导学生直观观察f归纳抽象f总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.四、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．五、教学设计情景引入学习探究(一)材料2:地球围绕着太阳旋转;材料3：“嫦娥三号”升空录像.引入课题：椭圆及其标准方程.动手实验：(1)取一定长的细绳，把它的两个端点固定在黑板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，旋转一周，会得到什么图形？(2)把绳子的两个端点拉开一段距离，再套上铅笔旋转，又会得到什么图形？(3)继续拉远两个端点的距离，直到把绳子拉直，又会得到什么图形?(4)动画演示椭圆的形成过程.师：引导学生观察：椭圆在实际生活中是很常见师：引导学生观察动画，地球运行轨道是椭圆；问“嫦娥三号”的运行轨道是什么？生：常娥三号着陆先是按椭圆轨道运行，再直线着陆.师：板书课题.请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔实验(1)教师演示，学生观察思考.实验(2)、(3),各小组学生利用手中工具在图板上进行实验，一起合作画椭圆.利用学生熟知的地理规律：地球围绕太阳转引入，让学生感到亲切自然；通过“嫦娥三号”的升空录像，让学生感受现实，激发学生的兴趣，培养爱国思想.通过做实验，让学生动手实践，体验椭圆的形成过程，加深对椭圆定义的理解将学生分为四人一组，通过分组讨论、研究，增强学生的合作意识.学习探究(二)【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把匚、F2建在X轴上，以FF的中点为原点；12方案二：把匚、F2建在X轴上，以匚为原点；方案三：把匚、F2建在x轴上，以F原点；2方案四：把匚、F2建在X轴上，以.F2与x轴的左交点为原点；方案五：把匚、F2建在x轴上，以FF与x轴的右交点为原点；12经过比较确定方案一.下面我们来建立椭圆的方程建系：以F,F所在的直线为x轴，以12线段F]F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy.设点：设点M(x,y)是椭圆上的任意一点，点M到F,F的距离和为2a,焦距12为2c(c〉0),则.(—c,0),F2(C,0)列式：由定义：|M「1+叫=2a，即(2)如何设点?(3)怎样列式?⑷如何化简?建立椭圆的方程是本节课的难点，为降低难度，让学生回顾求曲线方程的步骤，以已有的知识来探求新的知识，温故知新，教师再加以正确的引导，新知会自然形成.生：回顾求曲线方程的步骤：⑴建系,⑵设点，⑶列式,⑷化简.师：引导学生按求曲线方程的步骤建立椭圆的方程.生：思考，回答：(1)怎样建立适当的坐标系生：分析化简的方法，在J(x+c)2+y2+J(x-c)2+y2=2a练习本上完成化简.化简：整理，得(a2一c2)x2+a2y2=a2(a2一c2)•.•a〉0,c〉0,2a〉2c a2(a2—c2)>0.方程的两边都除以a2(a2—c2)，得教学环节教学过程师生互动设计思想学习探究(二)OF=OF=c12则|MO|=、.；a2-c2,令b=\；'a2-c2，则b2=a2-c2,那么方程变为：=1(a>b>0).多媒体展示动画：将椭圆的焦点放在y轴上结论：当焦点在y轴是时，椭圆的方程为：y2x2—+一=1(a>b>0).a2b2多媒体展示图表：让学生对照图形、方程理解记忆.师：请同学们在图中找出长度等于a,c的线段，则师：引导学生推出椭圆的标准方程.师：指出其焦点在x轴上，坐标为F](―c,0),F2(C,0)生：观察图像，识记方程.活动过程：点拨-----板演-----点评师：若焦点放在y轴上，方程又怎样？生：小组讨论椭圆的方程，相互交流、补充，得出结论.生：分析方程、图形，识记椭圆的标准方程.师：引导学生如何根据方程判断焦点的位置？实践体验1、你能判断下列椭圆的焦点位置生：根据所学椭圆的标吗？并写出焦点坐标.⑵25x2+16y2=400.准方程，思考后回答.师生共同矫正.生：总结如何判断焦点的位置？椭圆的标准方程的导出，放手给学生有很大的难度，这里采取有意义的接受学习的方式，教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.展示动画，通过类比的方法，让学生对照焦点在x轴的情形，写出焦点在y轴上时，椭圆的标准方程.通过图表便于对比，加深学生对两个方程及几何意义的认识.尝试练习，加深对方程及几何意义的理解.六、板书设计：七、布置作业:。
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
《椭圆及其标准方程》一等奖说课稿1、《椭圆及其标准方程》一等奖说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我说课的题目是人教版普通高中课程选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》。
下面我就教材分析、学生情况分析、教学目标、教法与学法、教学过程的设计、板书设计、教学设计说明这几方面内容向大家进行阐述。
一、教材分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
二、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
三、教学目标根据学生的实际、课标的要求和本节课内容的特点，教学目标确定如下：（一）教学目标1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程。
2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。
常遇到的建系方法如下：（供教师参考）方案一：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 、2F 的中点为原点； 方案二：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 为原点；方案三：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 、2F 与x 轴的左交点为原点；方案四：把1F 、2F 建在y 轴上，以1F 、2F 的中点为原点； 【设计意图】积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．通过师生分析对比，选择方案一比较简洁：（师生共同求解椭圆方程） （1）建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直 平分线为y 轴，建立直角坐标系。
设点：设(,)M x y 是椭圆上任意一点，为了使21,F F 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c =>，则12(,0),(,0)F c F c - 设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2 （2）写点的集合：由椭圆的定义，椭圆就是集合{}12|||||2P M MF MF a =+=（3）列式：12||||2MF MF a +=2,a（4）化简：教师引导学生思考:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平2a -两边平方，得：22222()44()x c y a x c y ++=--+即2a cx -=两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y -+=-+ 整理，得：22222222()()a c x a y a a c -+=-两边同除以222()a a c -，得 222221x y a a c +=- ①由椭圆的定义知，a c > 所以220a c ->注:教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,思考1:请同学观察右图，你能从中找出表示,a c 由图可知，12,PF PF a ==12,OF OF c ==PO =令b PO =即222(0)a c b b -=>，则方程可简化为：222a xb +整理成：)0(12222>>=+b a by a x ②【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确,,a b c 的几何意义，加深对椭圆定义及标准方程的理解. (5)证明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(,)x y 为坐标的点到椭圆的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.方程)0(12222>>=+b a by a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-思考2：如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？ 如果不想重复上述繁琐的化简过程，我们将如何做呢？分析:由 12||||2MF MF a +=2变为2,a即变量x 与y 互换位置;)0(12222>>=+b a by a x 变为22221(0)y x a b a b +=>> 即：椭圆的标准方程注：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。
【设计意图】椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师跟踪指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y 轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．三、理解新知1.椭圆的标准方程：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 焦点在x 轴上，焦点是22212(,0),(,0),F c F c c a b -=-（2）)0(12222>>=+b a bx a y 焦点在y 轴上，焦点是22212(0,),(0,),F c F c c a b -=-2.归纳概括，椭圆方程特征（1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; （2）0a b >>不可少,体会,,a b c 的几何意义; （3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;（4）椭圆标准方程中三个参数,,a b c 关系：222a b c =+ ，a 最大，b c 、大小不定.【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问题打下基础.四、运用新知题型一:求椭圆标准方程例1. 已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(2,0),(2,0)-，并且椭圆经过点53(,)22-，求它的标准方程分析:要求椭圆的标准方程,关键先确定参数,,a b c ,本题已知2c =,结合222b ac =-及标准方程)0(12222>>=+b a by a x ,进一步确定,a b . 教师板书例题求解过程:法1:因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由椭圆定义知：2a ==所以：a =又因为2,c = 所以222b ac =-=1046-=因此，所求椭圆的标准方程为221106x y += 思考与探究:是否还有其他方法解决此类型问题法2:因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x因为椭圆经过点53(,)22- 且 222b a c =-=24a - 所以：222253()()2214a a -+=-所以解方程得：2210,6a b == 因此，所求椭圆的标准方程为221106x y += 注:本题多以方法二为主,如:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆上一点2到两焦点1F 、2F 的距离的和等于4,求椭圆的标准方程及焦点坐标.本题再用方法一解决显着比较麻烦了.方法小结:求椭圆标准方程的步骤 （1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上; （2）“定量”即确定22,a b 的具体数值;（3）求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法. 变式训练1:已知椭圆经过两点(2,-,求椭圆的标准方程.分析:通过条件看不出焦点的位置,因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况,然后带入两点的坐标求参数,a b 即可.方法1:(1)若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,由已知条件可得222242111414a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即所求椭圆的标准方程为22184x y +=; (2) 若焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>,由已知条件可得222242111414b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22114118a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即224,8a b ==,且2248a b =<=,与题设矛盾,舍去 综上,所求椭圆的标准方程为22184x y +=. 方法2:分析:结合方法1的两种情况,影响最后结果的只是2211,a b ,所以我们可以设2211,m n a b ==,求出来具体值后在比较大小,进一步确定表达式,这样可以减少讨论的复杂性. 设椭圆的一般方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.将两点(2,1,2-带入,得 4211414m n nm +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得1814m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即所求椭圆的标准方程为22184x y +=. 小结:在对椭圆定义充分理解的基础上,显然方法2解决问题要比方法1要简单.【设计意图】培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯, 同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的的解题思路．本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法. 题型二:椭圆标准方程的识别例2．当39k <<时,指出方程22193x y k k +=--表示的曲线. 分析:要想确定22193x y k k +=--表示的曲线,首先应确定9,3k k --的取值范围. 教师板书例题求解过程:由39k <<,则90,30k k ->->.（1）当93k k ->-,即36k <<时,方程表示焦点在x 轴上的椭圆; （2）当93k k -=-,即6k =时,方程表示圆223x y +=;（3）当93k k -<-,即69k <<时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆.方法小结:根据椭圆方程的两种基本形式可知,焦点在哪一个轴上,那一个变量就对应的分母大,即:2x 对应的分母大,焦点就在x 轴上; 2y 对应的分母大,焦点就在y 轴上.当两变量的分母相同时就变成圆了.变式训练2:已知曲线C :22153x y k k+=---,则“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的什么条件?分析:将曲线C 的方程化为:22153x y k k +=--,若曲线C 是焦点在y 轴的椭圆,则350k k ->->,即 45k <<;故“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.注:在解决此类问题前应将22153x y k k+=---先化成标准式. 【设计意图】通过此类型问题进一步加深学生对椭圆定义及标准方程的理解,强调椭圆焦点位置的决定因素,对于含参问题一直是学生的难点,通过此题可以让学生进一步体会参数问题的解决方法. 题型三:椭圆定义及其应用例3:已知p 为椭圆221123x y +=上一点, 1F 、2F 为椭圆的两焦点, 1260F PF ∠=,求12F PF ∆的面积. 分析:本题解决关于椭圆和三角形问题,通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解. 教师板书例题求解过程:设12||,||PF m PF n ==,由2212,3a b ==,所以a b ==,则2m n a +==,又由1260F PF ∠=,则22212||2cos60F F m n mn =+- 所以,236()4m n mn =+-,即4mn =.则121sin 6032F PF S mn ∆==变式训练3:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,1F 、2F 为椭圆的两焦点,过1F 的直线AB 与椭圆交于,A B 两点,求2ABF ∆的周长.分析:因为1212||||2,||||2AF AF a BF BF a +=+=则2ABF ∆的周长为1212|||||||224AF AF BF BF a a a +++=+= 即2ABF ∆的周长为4a .思考:当直线AB 过焦点1F 时,随着,A B 位置的该变,是否2ABF ∆的周长也在跟着改变呢? 分析:由椭圆的定义可得2ABF ∆的周长是个定值,即为4a .【设计意图】通过题型三,一是加强学生对椭圆定义和标准方程的理解,二是加强了椭圆与三角函数的联系.并且通过思考进一步明确三角形一边过焦点时周长为定值的情况.五、课堂小结1．知识：本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点: (1)椭圆的定义中,,a b c 皆为正值,222a b c =+,其中2c 是椭圆焦距； (2)要注意特征量,,a b c 的几何意义,它们确定椭圆的形状.(3)焦点的位置由椭圆的标准方程中22,x y 的分母大小或焦点坐标来决定;求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方程解题.2．思想：曲线与方程的轨迹思想，方程的思想、分类讨论的思想、待定系数法．,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题:1.写出适合下列条件的椭圆标准方程 （1）4,1a b ==，焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上，； （3）4,10=-=+c a c a2. 若方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的范围.3.已知椭圆C 与椭圆223737x y +=的焦点1F 、2F 相同,且椭圆C过点(6)2-. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)若12,60P C F PF ∈∠=,求12F PF ∆的面积. 选做题：1. 已知B ，C 是两个定点，ABC BC ∆=且,6周长为16，求顶点A 的轨迹方程.2.已知P 为椭圆C 上一点,椭圆焦点为1F 、2F ,且12||F F =,若1||PF 、2||PF 的等差中项为12||F F ,求椭圆C 的标准方程.(注意焦点的位置)3．已知椭圆的焦点为1(4,0)F -、2(4,0)F ,P 为椭圆C 上一点,若12F PF ∆的面积的最大值为12,求椭圆的标准方程.【设计意图】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用椭圆的定义及标准方程，解决简单的椭圆问题；二是让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.七、教后反思1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生借助于生活中的实际问题及动手实验归纳出椭圆的定义,在此基础上进一步探讨椭圆的标准方程,理解,,a b c 的几何意义及焦点位置的决定因素.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学基本上掌握椭圆的定义及求解标准方程等相关问题.2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,使得在教学过程中,未能充分发挥学生的主观能动作用,其次由于课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须做好定义的探究及标准方程的推导.八、板书设计。
