1.3反比例函数的应用

九年级_____班姓名__________ 2018年_____月_____日第一章反比例函数“1.1 反比例函数”导学案学习目标：1 理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定其表达式；2 积累从实际问题抽象出变量之间的关系并加以表示的经验.教学过程：一、自主学习1 回顾函数的概念：一般地，如果在某个______________中有两个__________，并且对于_____ ______________，变量y都有___________________________，那么我们就称________________。

其中_________________________。

2表示函数的方法有_________、__________________和____________________。

3若_______________________________________________________________________________________，则称y是x的一次函数。

特别地，当b = 0时，称y是x的_________________。

4 汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h),随速度v(km/h)的变化而变化. （1）用含v的代数式表示t: ______________________（2）利用（1）的关系式完成下表：随着v的变化，t是如何变化的？（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？5 某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）与全村人口数n之间有怎样的关系？m是n的函数吗？_____________________________6 实数a与b的积为-200，a与b之间的函数关系是_______________________二、新知探究1 交流上述问题的答案，观察列出的函数关系式，它们有什么共同特点？2 仿照一次函数的概念，给出反比例函数的概念，其中自变量x的取值范围是__________；3（1）已知y是x的反比例函数，当 x = 3时，y = -2 ,求y与x的函数关系式.（2）已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y的值。

反比例函数及其运用复习考点攻略考点一 反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地.函数ky x=（k 是常数.k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数k y x =（k 是常数.k ≠0）中x .y 的取值范围：反比例函数ky x=（k 是常数.k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y 的取值范围也是非零实数． 【例1】下列函数中.y 与x 之间是反比例函数关系的是 A ．xyB ．3x +2y =0C ．y =D ．y =【答案】A考点二 反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0.函数y ≠0.所以.它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y 随x 的增大而减小．当k <0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大．2kx 21x +表达式 ky x=（k 是常数.k ≠0） kk >0k <0大致图象所在象限 第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内.y 随x 的增大而减小在每个象限内.y 随x 的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y =x 和y =-x .对称中心为原点． 【注意】（1）画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x |的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数ky x=中x ≠0且y ≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况．当k >0时.在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小.但不能笼统地说当k >0时.y 随x 的增大而减小．同样.当k <0时.也不能笼统地说y 随x 的增大而增大．【例2】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．y ax a =-(0)ay a x=≠【答案】D【解析】当时..则一次函数经过一、三、四象限.反比例函数经过一 、三象限.故排除A.C 选项； 当时..则一次函数经过一、二、四象限.反比例函数经过二、四象限.故排除B 选项.故选：D ．【例3】若点.在反比例函数的图象上.且.则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或【答案】B【解析】解：∵反比例函数.∴图象经过第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大.①若点A 、点B 同在第二或第四象限.∵.∴a -1＞a+1.此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限.∵.∴.解得：； ③由y 1＞y 2.可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能． 综上.的取值范围是．故选：B ．考点三 反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数ky x=中.只有一个待定系数.因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标.即可求出k 的值.从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为ky x=（k ≠0）； （2）把已知一对x .y 的值代入解析式.得到一个关于待定系数k 的方程； （3）解这个方程求出待定系数k ；（4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式．【例4】点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.到x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（ ）0a >0a -<y ax a =-(0)ay a x=≠0a <0a ->y ax a =-(0)ay a x=≠()11,A a y -()21,B a y +(0)ky k x=<12y y >a 1a <-11a -<<1a >1a <-1a >(0)ky k x=<12y y >12y y >1010a a -⎧⎨+⎩＜＞11a -<<a 11a -<<A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x【答案】B【解析】设A点坐标为（x.y）．∵A点到x轴的距离为3.∴|y|=3.y=±3．∵A点到原点的距离为5.∴x2＋y2=52.解得x=±4.∵点A在第二象限.∴x=-4.y=3.∴点A的坐标为（-4.3）.设反比例函数的解析式为y=.∴k=-4×3=-12.∴反比例函数的解析式为y=.故选B．考点四反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时.可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①.S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②.已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点.且一次函数与x轴交于点C.则S△AOB=S△AOC+S△BOC=1||2AOC y⋅+1||2BOC y⋅=1(||||)2A BOC y y⋅+；（3）如图③.已知反比例函数kyx=的图象上的两点.其坐标分别为()A Ax y，.k x 12 x-()B B x y ，.C 为AB 延长线与x 轴的交点.则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．【例5】如图.已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D .与直角边AB 相交于点C .若△OBC 的面积为9.则k =__________．【答案】6【解析】如图.过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E .∵△ODE 的面积和△OAC 的面积相等．∴△OBC 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为9． 设点D 的横坐标为x .纵坐标就为. ∵D 为OB 的中点．∴EA =x .AB =. ∴四边形DEAB 的面积可表示为：（+）x =9；k =6． 故答案为：6．【例6】如图.A 、B 两点在双曲线y x=的图象上.分别经过A 、B 两点向轴作垂线段.已知1S =阴影.则12S S +=ky x=k x 2k x12k x 2k xA ．8B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点.分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段.则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4.∴S 1+S 2=4+4-1×2=6.故选B ．考点五 反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时.联立两个解析式.构造方程组.然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围.只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如.如下图.当12y y >时.x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理.当12y y <时.x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从几何角度看.一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号.两个函数必有两个交点；②k 值异号.两个函数可能无交点.可能有一个交点.也可能有两个交点；（2）从代数角度看.一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．【例7】已知抛物线y ＝x 2+2x +k +1与x 轴有两个不同的交点.则一次函数y ＝kx ﹣k 与反比例函数y ＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）4xA．B．C．D．【解析】∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点.∴△＝4﹣4（k+1）＞0.解得k＜0.∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限.反比例函数y＝的图象在第二四象限.故选：D．考点六反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时.先确定函数解析式.再利用图象找出解决问题的方案.特别注意自变量的取值范围．【例8】如图.△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∠ACO=∠ADB=90°.反比例函数y=k在第一象限的图象经过点B.若xOA2−AB2=12.则k的值为______．【解析】设B点坐标为(a,b).∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∴OA=√2AC.AB=√2AD.OC=AC.AD=BD.∵OA2−AB2=12.∴2AC2−2AD2=12.即AC2−AD2=6.∴(AC+AD)(AC−AD)=6.∴(OC+BD)⋅CD=6.∴a⋅b=6.∴k=6．故答案为：6．.(其中mk≠0)图象交于【例9】如图.一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxA(−4,2).B(2,n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△ABO的面积；(3)请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【解析】(1)∵一次函数y =kx +b 与反比例函数y =m x(mk ≠0)图象交于A(−4,2).B(2,n)两点．根据反比例函数图象的对称性可知.n =−4. ∴{2=−4k +b−4=2k +b .解得{k =−1b =−2.故一次函数的解析式为y =−x −2. 又知A 点在反比例函数的图象上.故m =−8. 故反比例函数的解析式为y =−8x ； (2)在y =−x −2中.令y =0.则x =−2. ∴OC =2.∴S △AOB =12×2×2+12×2×4=6； (3)根据两函数的图象可知：当x <−4或0<x <2时.一次函数值大于反比例函数值．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中.是反比例函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①不是正比例函数.②③④是反比例函数.故选C ．2.点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.则x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（ ）A ．y =12xB ．y =-12xC ．y =112xD ．y =-112x【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中.k =-6.∴只需把各点横纵坐标相乘.结果为-6的点在函数图象上.四个选项中只有C 选项符合.故选C ． 3. 已知点A （1.m ）.B （2.n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上.则（ ） A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<.它的图象经过A （1.m ）.B （2.n ）两点.∴m =k <0.n =2k<0.∴0m n <<.故选A ．4. 如图.等腰三角形ABC 的顶点A 在原点.顶点B 在x 轴的正半轴上.顶点C 在函数y =kx（x >0）的图象上运动.且AC =BC .则△ABC 的面积大小变化情况是（ ）A ．一直不变B ．先增大后减小C ．先减小后增大D ．先增大后不变【答案】A【解析】如图.作CD ⊥AB 交AB 于点D .则S △ACD =.∵AC =BC .∴AD =BD .∴S △ACD =S △BCD . ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k .∴△ABC 的面积不变.故选A ．6x 2k2k5.如图.点.点都在反比例函数的图象上.过点分别向轴、轴作垂线.垂足分别为点.．连接..．若四边形的面积记作.的面积记作.则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：点P （m.1）.点Q （−2.n ）都在反比例函数y ＝的图象上. ∴m×1＝−2n ＝4.∴m ＝4.n ＝−2.∵P （4.1）.Q （−2.−2）.∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线.垂足分别为点M.N.∴S 1＝4.作QK ⊥PN.交PN 的延长线于K.则PN ＝4.ON ＝1.PK ＝6.KQ ＝3. ∴S 2＝S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3.∴S 1：S 2＝4：3.故选：C ．6. 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示.则当y 1<y 2时.x 的取值范围是（ ）(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =4x121212A ．x <-1或0<x <3B ．-1<x <0或x >3C ．-1<x <0D ．x >3【答案】B【解析】根据图象知.一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是（-1.3）.（3.-1）.∴当y 1<y 2时.-1<x <0或x >3.故选B ．7.如图.在平面直角坐标系xOy 中.函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --.则不等式mkx b x+>的解集为（ ）A ．6x <-B 60x -<<．或2x >C ．2x >D 6x <-．或02x <<8. 如图.直线l ⊥x 轴于点P .且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A .B .连接OA .OB .已知△OAB 的面积为2.则k 1-k 2的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-4【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k .△BOP 的面积为22k. ∴△AOB 的面积为12k −22k . ∴12k −22k =2.∴k 1–k 2=4.故选C ． 9. 一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=.其中ab <0.a 、b 为常数.它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0. ∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限.所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴正半轴.则b >0.满足ab <0. ∴a −b <0.∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限.所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0.∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx的图象过一、三象限.所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab >0.与已知相矛盾. 所以此选项不正确.故选C ．10. 如图.一次函数与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2).与反比例函数的图象交于点Q .反比例函数图象上有一点P 满足：①PA ⊥x 轴；②PO =√17(O 为坐标原点).则四边形PAQO 的面积为( )A. 7B. 10C. 4+2√3D. 4−2√3【答案】C【解析】∵一次函数y =ax +b 与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2). ∴−4a +b =0.b =2. ∴a =12.∴一次函数的关系式为：y =12x +2. 设P(−4,n).∴√(−4)2+n 2=√17. 解得：n =±1.由题意知n =−1.n =1(舍去). ∴把P(−4,−1)代入反比例函数y =mx . ∴m =4.反比例函数的关系式为：y =4x .解{y =12x +2y =4x 得.{x =−2+2√3y =√3+1.{x =−2−2√3y =1−√3. ∴Q(−2+2√3,√3+1).∴四边形PAQO 的面积=12×4×1+124×2+12×2×(−2+2√3)=4+2√3. 故选：C ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.则该反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】令y=2x 中y=2.得到2x=2.解得x=1.∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2）. 设反比例函数解析式为.将点（1,2）代入.得. ∴反比例函数的解析式为.故答案为：. 12.如图.直线y =x 与双曲线()0ky k x=>的一个交点为A .且OA =2.则k 的值为__________．【答案】2【解析】∵点A 在直线y =x 上.且OA =2.∴点A的坐标为把得.∴k=2.故答案为：2． 13. 已知(),3A m 、()2,B n -在同一个反比例函数图像上.则m n =__________．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠.将(),3A m 、()2,B n -分别代入.得 3k m =.2k n =-. 2y x =2y x=2y x =ky x=122k =⨯=2y x =2y x=(22)，(22)，ky x=22=∴2332k m k n ==--. 故答案为：23-． 14.平面直角坐标系xOy 中.点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =.则k 1+k 2的值为__________． 【答案】0【解析】∵点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.∴k 1=ab ； 又∵点A 与点B 关于x 轴对称.∴B （a .–b ）.∵点B 在双曲线y =上.∴k 2=–ab ；∴k 1+k 2=ab +（–ab ）=0.故答案为：0． 15.如图.点A 是反比例函数图象上的一点.过点A 作轴.垂足为点C .D 为AC 的中点.若的面积为1.则k 的值是【答案】4【解析】点A 的坐标为（m.2n ）.∴.∵D 为AC 的中点.∴D （m.n ）. ∵AC ⊥轴.△ADO 的面积为1.∴. ∴.∴ 16. 如图.反比例函数y =24x(x >0)的图象与直线y =32x 相交于点A .与直线y =kx(k ≠0)相交于点B .若△OAB 的面积为18.则k 的值为______．【答案】41k x2k x1k x2k x y x=AC x ⊥AOD ∆2mn k =x ()ADO11121222S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==2mn =24k mn ==【解析】：由题意得.{y =24xy =32x .解得：{x 1=4y 1=6.{x 2=−4y 2=−6(舍去). ∴点A(4,6).(1)如图1.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的下方. 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴.BN ⊥x 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =b .BN =24b.∴点A(4,6).∴OM =4.AM =6；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(6+24b)(b −4).解得.b 1=8.b 2=−2(舍去) ∴点B(8,3).代入y =kx 得. k =38； (2)如图2.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的上方. 过点A 、B 分别作AM ⊥y 轴.BN ⊥y 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =24b.BN =b .∴点A(4,6).∴OM =6.AM =4；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(b +4)(24b −6). 解得.b 1=2.b 2=−8(舍去) ∴点B(2,12).代入y =kx 得. k =6；故答案为：6或38．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17. 如图.已知A （–4.n ）.B （2.–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．【答案】（1）y =–x –2.y =–；（2）6【解析】（1）∵B （2.–4）在y =图象上. ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–． ∵点A （–4.n ）在y =–图象上. ∴n =2. ∴A （–4.2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4.2）.B （2.–4）.∴.解得．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图.令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点.mx8xmx 8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x=0时.y =–2. ∴点C （0.–2）． ∴OC =2.∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6． 18.如图.已知反比例函数y x=与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A （1.-k +4）． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标.并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）.y =x +1；（2）B 的坐标为（-2.-1）.x <-2或0<x <1 【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A （1.-k +4）. ∴.即-k +4=k . ∴k =2.∴A （1.2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1.2）. ∴2=1+b .∴b =1.∴反比例函数的表达式为. 一次函数的表达式为y =x +1．12122y x=ky x=41kk -+=2y x=（2）由.消去y .得x 2+x -2=0. 即（x +2）（x -1）=0. ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2．∴或．∵点B 在第三象限. ∴点B 的坐标为（-2.-1）.由图象可知.当反比例函数的值大于一次函数的值时.x 的取值范围是x <-2或0<x <1． 19.如图.一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于.两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位.使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点.求的值．【答案】（1）；（2）b 的值为1或9． 【解析】（1）由题意.将点代入一次函数得： 将点代入得：.解得 则反比例函数的表达式为； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为联立整理得： 12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩5y x =+ky x=k 0k ≠(1,)A m -B 5y x =+y b (0)b >ky x=b 4y x=-(1,)A m -5y x =+154m =-+=(1,4)A -∴(1,4)A -ky x=41k =-4k =-4y x =-5y x =+y b 5y x b =+-54y x by x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩2(5)40x b x +-+=一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 关于x 的一元二次方程只有一个实数根此方程的根的判别式解得则b 的值为1或9．20.如图.一次函数y =kx +b （k 、b 为常数.k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.且与反比例函数y =（n 为常数.且n ≠0）的图象在第二象限交于点C ．CD ⊥x 轴.垂足为D .若OB =2OA =3OD =12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E .求△CDE 的面积； （3）直接写出不等式kx +b ≤的解集．【答案】（1）y =–2x +12；（2）140；（3）x ≥10.或–4≤x ＜0 【解析】（1）由已知.OA =6.OB =12.OD =4.∵CD ⊥x 轴.∴OB ∥CD .∴△ABO ∽△ACD . ∴=.∴=.∴CD =20. ∴点C 坐标为（–4.20）.∴n =xy =–80. ∴反比例函数解析式为：y =–. 把点A （6.0）.B （0.12）代入y =kx +b 得：.解得.∴一次函数解析式为：y =–2x +12； （2）当–=–2x +12时.解得x 1=10.x 2=–4； 当x =10时.y =–8.∴点E 坐标为（10.–8）. ∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140； 5y x b =+-4y x=-∴2(5)40x b x +-+=∴2(5)440b ∆=--⨯=121,9b b ==nxnxOA AD OBCD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212（3）不等式kx +b ≤.从函数图象上看.表示一次函数图象不高于反比例函数图象； ∴由图象得.x ≥10.或–4≤x ＜0． 21.如图.一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点.其中点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．（1）根据图象.直接写出满足k 1x +b >的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上.且S △AOP ∶S △BOP =1∶2.求点P 的坐标． 【答案】（1）x <–1或0<x <4；（2）y =–（3）P （.）【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．由图象可得：k 1x +b >的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =的图象过点A （–1.4）.B （4.n ）. ∴k 2=–1×4=–4.k 2=4n .∴n =–1.∴B （4.–1）. ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A .点B .∴. 解得k =–1.b =3.∴直线解析式y =–x +3.反比例函数的解析式为y =–； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C .∴C （0.3）.∵S △AOC =×3×1=. ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =×3×1+×3×4=. n x2k x 2k xx 332k x2k x 11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩4x 12321212152∵S△AOP ：S △BOP =1：2.∴S △AOP =×=. ∴S △COP =–=1.∴×3x P =1.∴x P =. ∵点P 在线段AB 上.∴y =–+3=.∴P （.）．22.如图.反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -． （1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA.试问在x 轴上是否存在点P.使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.若存在.直接写出满足题意的点P 的坐标；若不存在.说明理由．【答案】（1）22y x =+（2）见解析【解析】（1）∵反比例函数1k y x =和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -. ∴k=1×3=3.∴13y x=. ∴-3a=3.解得：a=-1.∴B(-3.-1).∴331m n m n +=⎧⎨-+=-⎩.解得：12m n =⎧⎨=⎩. ∴22y x =+；（2）设P(t.0).∵()1,3A .∴222(1)(03)(1)9t t -+-=-+t 221310+. 15213525232122323732373∵OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.∴OA=AP 或OA=OP.当OA=AP 时.22(1)9(10)t -+=.解得：1220t t ==，（不符合题意.舍去）. ∴P(2.0)；当OA=OP 时.t 10解得：10.∴10.0)或P(10.0).综上所述：存在点P.使OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.点P 坐标为：(2.0) 或10.0)或(10.0)．。

湘教版数学九年级上册1.3《反比例函数的应用》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.3《反比例函数的应用》这一节的内容，是在学生已经掌握了反比例函数的定义、性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会如何运用反比例函数解决实际问题，从而提高学生的数学应用能力。

教材中通过实例引入反比例函数的应用，让学生了解反比例函数在实际生活中的应用，接着通过例题和练习题，让学生学会如何运用反比例函数解决实际问题。

教材还设置了“思考题”和“探索题”，激发学生的思考，提高学生的学习兴趣。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了反比例函数的定义和性质，对于如何运用反比例函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将会引导学生运用已学的知识解决实际问题，帮助他们克服学习中的困难。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握反比例函数的应用，能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例引入，让学生了解反比例函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握反比例函数的应用。

2.教学难点：如何引导学生运用反比例函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用实例引入、小组合作、讨论交流等教学方法，以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

同时，我还会运用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，以丰富教学内容，提高学生的学习效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过实例引入反比例函数的应用，让学生了解反比例函数在实际生活中的重要性。

2.讲解新课：讲解反比例函数的应用，让学生学会如何运用反比例函数解决实际问题。

3.巩固新课：通过练习题，让学生巩固所学知识。

4.拓展延伸：设置“思考题”和“探索题”，激发学生的思考，提高学生的学习兴趣。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生掌握反比例函数的应用。

课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数 1.1 反比例函数课前预习1.y=k x ≠ 零课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立. 所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x. ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x, x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 > 解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3. ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A 变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3, 在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2, 将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5x 的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5. 对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0). (2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC=12×4×MC=8, ∴MC=4. 又AM=5,∴AC=3, 又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 > 解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|2 解:设点A 的坐标为a ,2a ,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn , ∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3. 课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x 的交点,∴把A (1,a )代入y=2x ,得a=2.∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3. 解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3. 课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下: ∵m<52,∴m -4<m-3<0,∴b 1<b 2. 1.3 反比例函数的应用 课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P 2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时),即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:0.5 【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1). 由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3. (3)x>1或-2<x<0. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2), 将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x ,解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8x 的图象过点A (-2,m ),∴m=-8-2=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点, ∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x 得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2). (2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究 【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得 4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13,移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12,-4,16.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:{m 2-2=2,m +2≠0,?解得m=±2且m ≠-2. ∴m=2. 【例3】 探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m 2-3)×1-m+1=0, 即m 2-4=0,故m 2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x 2+(m 2-3)x-m+1=0是关于x 的一元二次方程, ∴m -2≠0,即m ≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a 2-1=0, ∴a=±1, ∵a -1≠0,∴a ≠1, ∴a=-1. 课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x 2+12x+4=4x 2-24x+36. 移项、合并同类项得,5x 2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x 2 二次项系数为5, 一次项为36x , 一次项系数为36,常数项为-32. 课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x (x+5)=300 x 2+5x-300=0 1 5 -3007.18.≠1 =19.解:(1)去括号,得x 2-4=3x 2+2x , 移项,得-2x 2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a )x 2-2ax=0,二次项系数为1-2a ,一次项系数为-2a ,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m 2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程. 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课前预习1.(1)平方根2.(1)a 2±2ab+b 2 (2)完全平方式课堂探究 【例1】 探究答案:-a ±√b 没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=9, ∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x 1=4,x 2=0. 【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1, 配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p22=-q+p22,即x+p 22=p 2-4q 4. ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2. ∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习 (1)1 (2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116, 两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x -112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12. 配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x -14=±34,∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去 解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6,∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14, ∴x-122=134,∴x -12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7, 移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4. 10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0.系数化为1,得x 2+53x=23, 配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法 课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0)2.求根公式 课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c 解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√5,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1,∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22. 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C 课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=127.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5,∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732.10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32.2.2.3因式分解法课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )2 2.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0(x-5)(3x-13) 解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3. (3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x -1=±√5,∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x -3=±2, ∴x 1=5,x 2=1. (2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x -2=±√11∴x -2=√11或x-2=-√11,∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8.(2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1.(3)用求根公式法解得 y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x 2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式 课前预习1.a ≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c b 2-4ac 解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m≠18.6或12或109.解:由题意,得{b2-4ac=(-2√k+1)2-4(1-2k)(-1)>0①1-2k≠0②k+1≥0③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k≠12,由③得,k≥-1.∴-1≤k<2且k≠12. 10.解:(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数. 当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a 课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2ab a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b. 所以(1)a+b=1; (2)ab=-1; (3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0 解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0, 解得m>-2; 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1. 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0, 解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-3=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2, 又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0, 解得n=-2, 因此原方程为x 2+x-2=0, 解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1. 10.解:(1)根据题意得m ≠1 Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m -1=1或2. ∴m=2或3. 2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习1.a (1±x )2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究 【例1】探究答案:(1)10000(1+x ) 10000(1+x )2(2)12100(1+x ) 解:(1)设捐款增长率为x ,根据题意列方程得, 10000(1+x )2=12100, 解得x 1=0.1,x 2=-2.1(不合题意,舍去); 答:捐款增长率为10%. (2)12100×(1+10%)=13310元. 答:第四天该单位能收到13310元捐款. 变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+40x3-2-x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x1=0.5,x2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x2.1(6-x)·2x=82解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得,(40-2x)(60-3x)=60×40×14解之,得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40..解得x1=1,x2=-112不合题意,舍去.但x2=-112答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8, 由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质 课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y3y x y =23 2.7y=4x 7∶4 解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm . 变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n , 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4, 设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3c a -b+c =k+4k+12k k -2k+4k =17k 3k =173. 10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e -5f =23. ∴2a -c -5e 2b -d -5f =23. 3.1.2 成比例线段 课前预习1.m∶nAB =m 2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618 课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12-x =64 2.DB AB =EC AC 解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12-x =64,解这个方程得x=7.2, 所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25, 所以DB AB =EC AC , 所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm,b=0.8 cm, c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点,∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点,所以当AC>BC 时,AC =√5-1. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC =√5-1, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm .课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a∶b=c∶d ,即a∶0.2=0.5∶1, 则a=0.2×0.5=0.1. (2)a∶b=c∶d ,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5, CE=1,CF=4,AF=3. 在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE 2+CE 2=√52+12=√26,在直角三角形ACF 中,AC=√CF 2+AF 2=√42+32=5,所以AB =√29,BC =√26. 10.解:设每一份为k , 由(a-c )∶(a+b )∶(c-b )=(-2)∶7∶1,得{a -c =-2k,a +b =7k,c -b =k,解得{a =3k,b =4k,c =5k,而(3k )2+(4k )2=(5k )2, 即a 2+b 2=c 2, 所以△ABC 是直角三角形.3.2 平行线分线段成比例 课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等 (2)对应线段 (3)成比例课堂探究 【例1】探究答案:1.35 2.DE DF 解:∵l 1∥l 2∥l 3,∴AB AC =DE DF , ∵AB BC =32,∴AB AC =35, ∴DE DF =35, 由DF=20 cm,得DE=3DF=12 cm,∴EF=DF -DE=8 cm . 变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】 探究答案:1.AE AC 2.x-4 x-4 x -4x -3=4x D 变式训练2-1:B 变式训练2-2:A 课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253)?2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5, 又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习 1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例 2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' 2.180°-∠A-∠B 解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°, 在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50 变式训练1-2:1∶2 【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=31.5.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得, x =12=10, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14,y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9, 所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ, 即4040+60=30PQ , 解得PQ=75. 答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似 课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2 【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE , 又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°, ∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD , 设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52, x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下: 在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA. (2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF ,即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似 课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例 课堂探究【例1】探究答案:1.45 45 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC =152×5=25. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF , ∴△ABC ∽△DEF. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA. 课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下: 由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'=B'C'=A'B',∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE 解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m . 变式训练1-1:C 变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB =AC ,∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12.即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:D 课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm, 所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm). 课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.89.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3. S △EDM S △FBM =DE BF 2=4.3.5 相似三角形的应用课堂探究 【例1】 探究答案:1.△ABF △EFG2.DF BF FG BG解:∵CD ∥EF ∥AB , ∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,∴CD AB =DF BF ,EF AB =FG BG, 又∵CD=EF ,∴DF =FG , ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴3DB+3=4BD+7, ∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB =312,解得,AB=6.4 m . 变式训练1-1:A 变式训练1-2:5.6【例2】 探究答案:1.△EDC 2.△EDC BC DC解:(1)DE=AB ,理由如下: ∵AB ⊥BF ,ED ⊥BF , ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD ,BC=CD , ∴△ABC ≌△EDC (ASA), ∴AB=DE ,即DE 的长就是A 、B 的距离. (2)能,∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD , ∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD ,AB=DE ·BC CD =30×1020=15(米). 即A 、B 之间的距离为15米. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:设AB=x 米, 因为BC ∥DE ,所以∠ABC=∠D , 又∠A=∠A ,所以△ABC ∽△ADE ,则AB BC =AD DE ,即x 70=20+x 90, 解得x=70.答:A 、B 两村相距70米. 课堂训练1.A2.B3.874.1.5米5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP. ∵SA ⊥AC ,PC ⊥AC ,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB ∽△CPB. ∴SA PC =AB CB,∴SA=AB ·PC CB =10×2420=12(cm). 答:点光源S 与平面镜的距离SA 的长是12 cm . 课后提升1.C2.A3.A4.D5.22.56.8 m7.4.28.解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D , ∴△DEF ∽△DCB ,∴BC =DC , ∵DE=40 cm =0.4 m,EF=20 cm =0.2 m,AC=1.5 m,CD=10 m .∴BC =10, ∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5(m),∴树高为6.5 m .3.6 位 似 课前预习1.同一个点O 位似中心 相似比2.位似 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.1∶2 2.1∶4 解:(1)△ABC 与△A'B'C'的周长之比为AB A'B'=36=12. 设S △ABC 周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm, 则2x-x=12,解得x=12, 所以△ABC 的周长为12 cm .(2)△ABC 与△A'B'C'的面积之比为AB AB 2=14, 设S △ABC =y cm 2,则S △A'B'C'=4y cm 2, 则y+4y=25,解得y=5, 所以△A'B'C'的面积为20 cm 2. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A 、O ;(2)中的两个图形不是位似图形.【例2】 探究答案:1.位似中心 2.位似中心 解:(1)如图所示.(2)A'C'=√22+22=2√2,AC=4√2, ∴四边形AA'C'C 的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+2√2+2+4√2=4+6√2.变式训练2-1:B。

1.3反比例函数的应用教学设计一、教学目标1．知识与技能能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出它的图像，并能根据图像指出函数值随自变量变化情况。

2．过程与方法能通过探索实际问题列出函数关系式，利用反比例函数的性质解决实际问题，细心体会图像在解决问题时的作用。

3．情感态度与价值观从合作讨论，探索交流中，发展学生从图象中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法，通过对实际问题的分析与解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。

二、学习重点将实际问题抽象为数学问题，建立反比例函数模型，并能用反比例函数的性质去解决实际问题。

三、学习难点根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式，及反比例函数与其它知识的综合运用。

四、教学过程（一）复习回顾，导入新课1．回顾与思考：反比例函数的图象和性质。

（通过课件展示表格，并找学生回答）(1).什么是反比例函数(2).反比例函数图象是什么?(3).反比例函数有哪些性质?2．知识小测（二）讲授新课1．创设情境我校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地。

你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么（1）用含S的代数式表式P，P是S的反比例函数吗？（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？（4）在平面坐标系中，作出相应的函数图象。

（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。

问题（1）（2）学生举手回答，其余问题可讨论后回答。

特别是问题（3）（4）老师和学生一起要对不同的方法和所画图象进行点评，使学生明白每种方法的区别以及画图象时要注意哪些问题。

一是画函数图像的三个步骤，二是画出的图象应符合实际问题的实际意义，也就是列表时应注意自变量的取值范围，并可根据图像的性质回答相关的问题。

湘教版数学九年级上册1.3《反比例函数的应用》（第1课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.3《反比例函数的应用》是本册教材中的一个重要内容。

本节课主要介绍了反比例函数的概念及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，对于函数的学习已经有了一定的基础。

但是，反比例函数的概念和性质相对于一次函数和二次函数来说较为抽象，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过具体实例来理解和掌握反比例函数的概念和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察实例、分析讨论、归纳总结等方法，学生能够自主探索反比例函数的性质，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习困难，增强对数学学习的自信心，培养学生的团队合作意识和坚持不懈的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的概念及其应用。

2.教学难点：反比例函数的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，培养学生的自主学习能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、反比例函数图象等辅助教学，帮助学生直观地理解反比例函数的性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考和探讨，引出反比例函数的概念。

2.自主学习：学生自主阅读教材，理解反比例函数的定义和性质。

3.合作交流：学生分组讨论，通过观察实例和分析讨论，归纳总结反比例函数的性质。

4.教师讲解：教师针对学生的讨论结果进行讲解，强调反比例函数的性质和运用。

5.练习巩固：学生完成课后练习题，巩固反比例函数的概念和性质。

一、教案设计概述1.1 教学目标（1）让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的定义和性质。

（2）培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。

（3）提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新意识和合作精神。

1.2 教学内容本章主要内容包括：反比例函数的概念、反比例函数的图像和性质、反比例函数的应用。

1.3 教学方法采用情境教学法、案例教学法、讨论教学法和自主学习法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学素养。

1.4 教学评价通过课堂问答、作业、小测验和课题研究等方式对学生的学习情况进行评价。

二、教学课时安排2.1 课时分配（1）反比例函数的概念：2课时（2）反比例函数的图像和性质：3课时（3）反比例函数的应用：4课时2.2 教学过程第一课时：反比例函数的概念1. 导入新课：引导学生回顾正比例函数的知识，提出反比例函数的概念。

2. 自主学习：学生通过教材和学案，独立学习反比例函数的定义。

3. 课堂讲解：讲解反比例函数的定义，引导学生理解反比例函数的意义。

4. 例题解析：分析反比例函数的例题，让学生掌握反比例函数的解题方法。

5. 巩固练习：学生自主完成练习题，巩固反比例函数的概念。

第二课时：反比例函数的图像和性质1. 复习导入：回顾反比例函数的概念，提出本节课的内容。

2. 自主学习：学生通过教材和学案，学习反比例函数的图像和性质。

3. 课堂讲解：讲解反比例函数的图像和性质，引导学生掌握反比例函数的图像特征。

4. 例题解析：分析反比例函数的图像和性质的例题，让学生学会运用性质解决问题。

5. 巩固练习：学生自主完成练习题，巩固反比例函数的图像和性质。

三、教学内容详细安排3.1 反比例函数的概念（1）介绍反比例函数的定义：反比例函数是指形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数。

（2）解释反比例函数的意义：反比例函数表示两个变量x和y的乘积为常数k。

3.2 反比例函数的图像（1）描述反比例函数的图像特征：反比例函数的图像是一条通过原点的曲线，称为双曲线。