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牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
拉格朗⽇插值和⽜顿插值matlab1. 已知函数在下列各点的值为0.20.40.60.8 1.00.980.920.810.640.38⽤插值法对数据进⾏拟合，要求给出Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的表达式，并计算插值多项式在点的值。
程序：x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];[f,f0]=Lagrange(x,y,x0)function [f,f0] = Lagrange(x,y,x0)%求已知数据点的Lagrange插值多项式f，并计算插值多项式f在数据点x0的函数值f0syms t;n = length(x);f = 0.0;for i = 1:nl = y(i);for j = 1:i-1l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for j = i+1:nl = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f = f + l;simplify(f);if(i==n)f0 = subs(f,'t',x0);f = collect(f);f = vpa(f,6);endend结果：>> Untitled3f =- 0.520833*t^4 + 0.833333*t^3 - 1.10417*t^2 + 0.191667*t + 0.98f0 =[ 49/50, 60137/62500, 56377/62500, 42497/62500, 19/50, 15017/62500]⽜顿：%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式%X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点function[y,A,C,L] = newton(X,Y,x,M)n = length(X);m = length(x);for t = 1 : mz = x(t);A = zeros(n,n);A(:,1) = Y';s = 0.0; p = 1.0; q1 = 1.0; c1 = 1.0;for j = 2 : nfor i = j : nA(i,j) = (A(i,j-1) - A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1 = abs(q1*(z-X(j-1)));c1 = c1 * j;endC = A(n, n); q1 = abs(q1*(z-X(n)));for k = (n-1):-1:1C = conv(C, poly(X(k)));d = length(C);C(d) = C(d) + A(k,k);endy(t) = polyval(C,z);endL = poly2sym(C);x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];m=1;[y,A,C,L]=newton(x,y,x0,m)结果：y =0.9800 0.9622 0.9020 0.6800 0.3800 0.2403A =0.9800 0 0 0 00.9200 -0.3000 0 0 00.8100 -0.5500 -0.6250 0 00.6400 -0.8500 -0.7500 -0.2083 00.3800 -1.3000 -1.1250 -0.6250 -0.5208C =-0.5208 0.8333 -1.1042 0.1917 0.9800L =- (25*x^4)/48 + (5*x^3)/6 - (53*x^2)/48 + (23*x)/120 + 49/502. 在区间上分别取，⽤两组等距节点对Runge函数作多项式插值（Lagrange插值和Newton插值均可），要求对每个值，分别画出插值多项式和函数的曲线。
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
牛顿插值公式的拓展使用牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法之一，可以用来估计在一组给定数据点中未知点的函数值。
它是由英国科学家牛顿在17世纪中期提出的，主要针对等距节点的情况。
然而，当使用牛顿插值公式时，需要特别小心，因为它在节点间隔不均匀的情况下容易产生龙格现象。
为了解决这个问题，人们进行了牛顿插值公式的拓展使用，主要有以下几种方法和技巧。
一、改进的等距节点插值公式当节点间隔不均匀时，可以使用改进的等距节点插值公式，如斯特林插值公式和牛顿-科特斯插值公式。
斯特林插值公式通过在等距节点插值公式中增加间隔的高阶项来提高精度。
牛顿-科特斯插值公式则将节点变为奇数个，以减小误差。
二、分段插值当给定数据点呈现出明显的分段特性时，可以使用分段插值法来拓展牛顿插值公式的使用，如Hermite插值法和三次样条插值法。
Hermite插值法在每个节点处使用函数值和导数值来构造插值多项式，以更好地逼近函数的局部特性。
三次样条插值法则将整个函数区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式来逼近函数。
三、基于最小二乘拟合的插值在一些实际问题中，给定数据点可能存在噪声或随机误差，此时使用传统的牛顿插值公式可能造成较大的误差。
为了解决这个问题，可以使用最小二乘拟合的插值方法，如多项式拟合和样条拟合。
多项式拟合通过选择最佳的多项式次数来拟合给定数据点，并使得拟合函数尽量逼近原始函数。
样条拟合则将区间划分为许多小段，每段内使用低次多项式拟合数据点，并使得各段之间的连接光滑。
四、非均匀节点插值在一些情况下，使用非均匀节点可以提高插值精度，特别是在边界值附近或函数变化突然的位置。
非均匀节点插值方法主要有切比雪夫节点插值法和拉格朗日节点插值法。
切比雪夫节点插值法在给定插值区间内通过选择合适的节点来优化插值效果。
拉格朗日节点插值法则通过定义插值多项式的基函数，将插值问题转化为求解系数的问题。
综上所述，牛顿插值公式的拓展使用主要包括改进的等距节点插值公式、分段插值、基于最小二乘拟合的插值和非均匀节点插值。
五种插值法的对⽐研究毕业论⽂题⽬：五种插值法的对⽐研究xxx⼤学本科⽣毕业论⽂开题报告表论⽂（设计）类型：A—理论研究；B—应⽤研究；C—软件设计等；五种插值法的对⽐研究 (3)⼀插值法的历史背景 (5)⼆五种插值法的基本思想 (5)（⼀）拉格朗⽇插值 (5)（⼆）⽜顿插值 (6)（三）埃尔⽶特插值 (7)（四）分段线性插值 (7)（五）样条插值 (8)三五种插值法的对⽐研究 (9)四插值法在matlab中的应⽤ (15)五参考⽂献 (17)五种插值法的对⽐研究摘要：插值法是数值分析中最基本的⽅法之⼀。
在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚⾄给不出表达式，只提供了⼀些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按⼀定关系把相邻的数加以修正，从⽽找出要找的数，这种修正关系实际上就是⼀种插值。
在实际应⽤中选⽤不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。
本⽂详细介绍了拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段插值、埃尔⽶特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例⼊⼿，探讨了五种插值法的优缺点和适⽤范围。
.通过对五种插值法的对⽐研究及实际应⽤的总结，从⽽使我们在以后的应⽤中能够更好、更快的解决问题。
关键词：插值法对⽐实际应⽤Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.引⾔在许多实际问题中，常常需要根据⼀张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的⼀些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
matlab 拉格朗日插值法和牛顿插值法题目：MATLAB中的拉格朗日插值法和牛顿插值法引言在实际问题中，我们常常需要通过一系列已知数据点来估计未知数据点的值。
这种问题很常见，例如用温度测量数据来预测未来某一天的温度。
为了解决这种插值问题，拉格朗日插值法和牛顿插值法是常用的方法之一。
在本文中，我们将介绍这两种插值方法并详细解释如何在MATLAB中使用它们。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是基于拉格朗日多项式的一种插值方法。
该方法使用已知数据点的值和位置来构造一个多项式，进而估计未知数据点的值。
其基本思想是通过多项式与每个数据点相等，并利用拉格朗日插值公式来得到插值多项式。
1. 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式可以表示为：P(x) = Σ(yi * li(x))其中P(x)是插值多项式，yi是第i个数据点的值，li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数li(x)定义为：li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)) (j ≠i)2. MATLAB实现要在MATLAB中实现拉格朗日插值法，我们可以按照以下步骤进行：（1）首先定义数据点的横坐标x和纵坐标y；（2）使用for循环遍历每个数据点，并计算插值多项式的每一项；（3）将每个数据点的插值多项式项相加，得到最终的插值多项式；（4）通过给定的x值，计算插值多项式的值。
该过程可以通过以下MATLAB代码实现：matlab定义已知数据点的横坐标和纵坐标x = [1, 2, 3, 4];y = [2, 4, 1, 6];计算插值多项式的每一项n = length(x); 数据点数量P = 0; 初始化插值多项式for i = 1:n计算每一项的拉格朗日基函数li = ones(size(x));for j = 1:nif j ~= ili = li .* (xs - x(j)) / (x(i) - x(j));endend计算每一项的插值多项式项Pi = yi * li;将每一项相加得到最终的插值多项式P = P + Pi;end给定x值，计算插值多项式的值x_val = 2.5;y_val = polyval(P, x_val);二、牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商的插值方法。
课程设计课程名称：数值分析设计题目：学号：姓名：完成时间：2014.11.18题目一： 解线性方程组的直接法 设方程组Ax b =，其中250002511125555111x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 矩阵中10.1(0,1,,5)k x k k =+=，b 由相应的矩阵元素计算，使解向量(1,1,,1)T x =。
(1) A 不变，对b 的元素6b 加一个扰动410-，求解方程组；(2) b 不变，对A 的元素22a 和66a 分别加一个扰动610-，求解方程组； (3) 对上述两种扰动方程组的解做误差分析。
一.数学原理：本计算采用直接法中的列主元高斯消元法，高斯列主元消元法原理如下： 1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1nx x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝1nb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2、第一步：如果a11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1 a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2 b (1)2 . . . . . . . = . a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1 b (1)n-1 a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x n b (1)n简记为：A (2) x = b (2) 其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb (2)I = b (1)I – l i1 * b (1)1 , I = 2,3,...,n 第二步：如果a (2)22 != 0,令l i2= a （2）i2/a （2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11 a(1)12. . . a(1)1nx1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2nx2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n xn-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn xnb(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：Xn = b(n) / a(n)nnXi = ( b(k)k- ∑ a(k)kj x j ) / a(k)kk二．解题过程：1.由题中所给条件可求出b。
