3.差分与等距节点的插值公式解析

§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。

本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。

等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式 给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近 节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近 节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近 节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。

第四节差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值是数值计算中常用的一种插值方法，它使用离散的节点以及节点处的函数值，通过差分运算得到函数的近似值。

在本节中，将介绍差分和等距节点插值的基本思想和公式，并给出一些具体的例子和应用。

差分与等距节点插值的基本思想是利用函数在节点上的值来近似函数在其他点上的值，而节点之间的间隔是相等的。

具体来说，我们可以通过计算函数在节点上的导数来近似函数在其他点上的导数，进而得到函数在其他点上的近似值。

一维差分插值的基本公式是拉格朗日插值公式。

设函数f(x)在等距节点x0, x1, ..., xn上的值分别为y0, y1, ..., yn，则拉格朗日插值公式可以表示为：f(x) ≈ P(x) = ∑[(x - xi) / (xj - xi)] * yj其中，i ≠ j，∑表示对j的求和，xi表示节点的值，xj表示其他任意点的值，yj表示其他节点处函数的值。

多维差分插值的基本公式也是类似的。

设函数f(x1, x2, ..., xn)在等距节点(xi1, xi2, ..., xin)上的值分别为yij，则多维拉格朗日插值公式可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) ≈ P(x1, x2, ..., xn) = ∑[∏(xk - xik) / (xjk - xik)] * yij其中，∏表示对k的连乘，i ≠ j，xi1, xi2, ..., xin表示节点的值，xj1, xj2, ..., xjn表示其他任意点的值，yij表示其他节点处函数的值。

差分与等距节点插值在实际应用中有广泛的用途。

例如，在数值微分中，我们可以使用差分公式来近似计算函数在特定点上的导数。

其中，常用的差分公式有中心差分公式、向前差分公式和向后差分公式。

中心差分公式通过函数在相邻两个节点上的值来近似计算函数在中间点的导数。

向前差分公式通过函数在当前节点和下一个节点上的值来近似计算函数在当前点的导数。

§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。

而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。

一、 差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。

一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。

1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。

见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。

该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。

性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。

数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。

插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。

插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。

插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。

二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。

1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。

常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。

4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。

1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。

题目：探究matlab中牛顿差分及等距节点插值公式的实现在计算数学问题时，插值是一种常见的数值分析方法，它常常用于估计在已知数据点之间的数值。

而牛顿差分及等距节点插值公式，则是其中的一种重要方法。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨matlab 中牛顿差分及等距节点插值公式的实现方法，以便读者更深入地理解这一主题。

1. 牛顿插值方法牛顿插值是一种使用多项式进行插值的数值方法，利用了拉格朗日插值多项式的一般形式，其在实际应用中具有良好的稳定性和精确度。

在matlab中，我们可以通过编写函数来实现牛顿插值方法，并根据所给定的数据点计算出插值多项式。

2. 差分及等距节点插值公式差分及等距节点插值公式是牛顿插值的一种具体形式，它通过相邻节点的差分来递推计算插值多项式的系数，从而实现对给定数据点的插值。

在matlab中，我们可以编写代码来实现这一方法，通过对数据点的差分计算来得到插值多项式的系数，并最终得到插值结果。

3. matlab中的实现步骤在matlab中，实现牛顿差分及等距节点插值公式主要包括以下几个步骤：3.1 准备数据点：首先需要准备好给定的数据点，这些数据点将作为插值的依据。

3.2 计算差商：利用给定的数据点，我们可以计算出插值多项式的系数，即差商。

这一步骤可以通过递推计算来实现。

3.3 构建插值多项式：根据得到的插值多项式的系数，我们可以构建出完整的插值多项式。

3.4 计算插值结果：我们可以利用构建好的插值多项式来计算任意点的插值结果。

4. 个人观点和理解在我看来，牛顿差分及等距节点插值公式是一种非常实用和有效的插值方法，在实际工程和科学计算中都有着广泛的应用。

在matlab中，通过编写相应的代码，我们可以很方便地实现这一方法，并得到高质量的插值结果。

掌握牛顿插值及其在matlab中的实现方法对我们来说是非常重要的。

总结回顾本文从简到繁，由浅入深地探讨了matlab中牛顿差分及等距节点插值公式的实现方法。