小波变换h5双正交小波

证明：利用双正交基本条件
{hk }和{h%k}的长度 L 和 L~ 之间的关系
（1）L 2K 1; L~ 2K~ 1 • 两者长度均为奇数，并且长度相差２的
奇数倍，因而两者不可能等长。
~~ hk hk ; hk hk
gk g2k g%k g%2k
• 小波 和 ~ 是一对偶对称双正交小波。
符或者数字转换为字符。
• for i= 1:n • t(i+1) = t(i) *(n+1-i) /i; • end • for i=1:n • t=t/2; • end • y= sym(0) ; • syms z; • n2= floor(n/2) ;%朝负无穷方式舍入 • for i= -n2:n-n2 • y= y+t(n2+i+1)*z^i; • end
若令 H%() H () 则 H () 2 H ( ) 2 1
gk (1)1k h%1k ; g%k (1)1k h1k
正交基本条件
5.2.3{h紧k }和支{撑h~k}之线间性的相长位度双关正系交小波的
定理5.3 序列{ pn }，除 p0 1之外，所有 下标为偶数的元素取值为0。
pn : hk h%kn k
（2） L 2K ；L~ 2K~
• 两者长度均为偶数，并且长度相差２的 偶数倍，两者等长是可能的 。
~~ hk h1k ; hk h1k
gk g1k g%k g%1k
• 小波 和 ~ 是一对反对称双正交小波。
（3）L为奇数, L~ 为偶数或为L偶数, L~ 为 奇数
序列 {pn }的终点下标和起点下标关于奇 偶性出现矛盾，故此种情况不存在
• function y= biofilter2(n,m)
• k=(n+m)/2;
• t(1) = sym(1) ;
• for p= 2:k
• t(p) = sym(1) ;
• for j= 1:p-1
e2 j 1
所以实脉冲响函数具有线性相位的必要 与充分条件是
h( x) h( x)
任何实值脉冲响应的数字滤波器具有线 性相位的必充条件是
hn h2n0 n n 0 Z / 2, n Z
正交小波：紧支撑＋线性相位？
• 定理5.2 紧支撑正交小波，除Haar小波 之外，不可能是线性相位的。
Step4 H
()
e
j 2
cos 2 N
1
P(cos )
H () cos2N P(cos)
①
H~ ( )
j
e2
cos
2 N~ 12(
)P~(cos
②
)
H%() cos2N% P%(cos)
2
2
• function [y,t] = biofilter1(n) • t(1) = sym(1) ;%syms是定义符号变量 ；sym则是将字
(x l ),%(x m) lm %(x l ), (x m) 0
(
x
l
),%(x
m)
l
m
(x l ),%(x m) 0
那么这两对函数称为互为对偶的双正交小波。
Vj V%j ; Wj W%j V%j Wj ; Vj W%j
5.2.2 双正交小波的二尺度关系
• 二尺度关系
(x)
(x) ~( x) ~( x)
2 hk (2x
k)
2 g k (2x k )
2
~ hkБайду номын сангаас
~(2
x
k
)
2
g~k ~ (2 x
k )
ˆ ( ) ˆ ( ) ~ˆ ( )
H( 2
G(
2
H ~
(
))) ˆ~ ˆˆ((( 22 )))
2
2
~ˆ ( )
G ~(
)~ˆ (
)
第五章 双正交小波
正交小波的性质
• 对称性（√），紧支撑（×）
• 对称性 （×），紧支撑（√）
• 对称性 （√），紧支撑（√）
光滑性（×）→Harr小波
紧支撑且线性相位(对称性)？ 双正交小波！
5.1滤波器的相位特性
• 在线性系统理论中, 滤波器的传递函数可表达为
H() H() e j () H() 为幅频特性， () 为相频特性。
完全一致
线性相位， 振幅畸变
非线性相位， 振幅无畸变
当滤波器具有线性相位特性时, 输出信号将不产 生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因 为视觉对于相位畸变非常敏感
滤波器如何具有线性相位特性？
定理5.1 滤波器 H () 具有线性相位的必 要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如
下关于 的共轭对称性：
e j h( x) e j h ( x)
证明：必要性：
e j h( x) ?
……
充分性：
e j h ( x) ?
e j H()e j e j H()e j
H() H() e j()
推论5.1 如果限定脉冲响应 h(x) 为实
函数，那么由式 (5.1.3) 可知，这时 e2 j
必为实数, 即
• 如果 () 可以表示为
()
式中α和β为常数，那么称为 (具) 有线性相位特
性
gˆ () H () fˆ () H () e j e j fˆ () H () e j ( f (x ))ˆ
f(x)
g(x)
h
• 输出信号的相位特性，除了常数β外，与 延时为α的输入信号 f (x 的)相位特性
5.3 构造双正交小波的CDF方法
Step1
给定2M，根据下式计算
Q(s in 2
)
2
Q(x)
M 1 M m0 m
m
1 x m
Step2
Q(sin2 ) P(cos)P%(cos)
2
Step3 当 L和 L~ 均为偶数，2M (2N 1) (2N~ 1) ①
当 L 和 L~ 均为奇数，2M 2N 2N~ ②
2
2
H ()H~ () H ( )H~ ( ) 1
G()G~() G( )G~( ) 1
H
(
)G~(
)
H
(
)G~(
)
0
H~
(
)G(
)
H~
(
)G(
)
0
令 G() e j H~ ( )
G~( )
e
j
H
(
)
则 H()H~() H( )H~( ) 1
双正交基本条件
5.2 双正交小波的基本性质
• 如果有两对函数 (%,%) 与 (, ) ，其中，尺度
函数 而
和 和 ~
% 分别生成MRA {V j } 和MRA {V~j} ， 则分别张成在下述意义上的补空间
{W j } 和 {W~j} ： Vj1 Vj Wj ;V%j1 V%j W%j
并且它们之间还满足如下正交关系：