小波变换理论与方法

小波变换是一种信号处理技术，其基本原理是将一个信号分解成多个小波函数的线性组合。

这些小波函数具有有限的时间支持，即在有限的时间段内有非零值，这使得小波变换能够有效地分析信号的局部特征。

小波变换的公式如下：
(y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{i\omega t} d\omega)
其中，(X(\omega)) 是小波变换系数，(y(t)) 是小波函数。

小波变换的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理、语音处理、模式识别等领域。

具体来说，小波变换可以用于信号的降噪、压缩、特征提取等任务。

在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、图像增强、图像融合等方面。

在语音处理中，小波变换可以用于语音识别、语音合成等方面。

此外，小波变换还可以用于模式识别领域，例如文本分类、人脸识别、手势识别等。

在CSDN上，有许多关于小波变换的博客和教程可供参考。

例如，有一篇博客详细介绍了小波变换的基本原理和在图像处理中的应用，以及如何使用Python实现小波变换。

此外，还可以通过搜索相关教程和资料来深入了解小波变换的原理和应用。

小波变换的原理小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

小波变换的原理传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。

小波变换的应用小波是多分辨率理论的分析基础。

而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关，其优势很明显--某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。

从多分辨率的角度来审视小波变换，虽然解释小波变换的方式有很多，但这种方式能简化数学和物理的解释过程。

对于小波的应用很多，我学习的的方向主要是图像处理，所以这里用图像的应用来举例。

对于图像，要知道量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像越是清晰，图像的分辨率就高。

1 小波变换的基本理论信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。

小波变换（DWT ）是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。

傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。

与傅立叶变换不同，小波变换能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT 压缩普遍具有的方块效应。

通过缩放母小波（Mother wavelet ）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。

对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。

小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。

它是以局部化函数所形成的小波基作为基底展开的，具有许多特殊的性能和优点，小波分析是一种更合理的进频表示和子带多分辨分析。

2小波包变换的基本理论和原理概论：由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。

与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。

小波包的定义：正交小波包的一般解释 仅考虑实系数滤波器.{}n n Z h ∈{}n n Zg ∈()11nn ng h -=-()()()()22k k Z kk Z t h t k t g t k φφψφ∈∈⎧=-⎪⎨=-⎪⎩为便于表示小波包函数，引入以下新的记号：通过,,h,g 在固定尺度下可定义一组成为小波包的函数。

基于小波变换的信号降噪研究2 小波分析基本理论设Ψt ∈L 2 R L 2 R 表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间 , 其傅立叶变换为Ψt;当Ψt 满足条件4,7：2()Rt dw wCψψ=<∞⎰1时,我们称Ψt 为一个基本小波或母小波,将母小波函数Ψt 经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列：,()()a bt bt aψ-=,,0a b R a ∈≠ 2 其中a 为伸缩因子,b 为平移因子;对于任意的函数ft ∈L 2 R 的连续小波变换为：,(,),()()f a b Rt bW a b f f t dt aψψ-=<>=3 其逆变换为：211()(,)()fR R t b f t W a b dadb C a aψψ+-=⎰⎰ 4 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的,平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置,而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状;小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的,在低频时,小波变换的时间分辨率较低,频率分辨率较高：在高频时,小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低;使用小波变换处理信号时,首先选取适当的小波函数对信号进行分解,其次对分解出的参数进行阈值处理,选取合适的阈值进行分析,最后利用处理后的参数进行逆小波变换,对信号进行重构;3 小波降噪的原理和方法小波降噪原理从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题;尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器;由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示6：小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：(k)()()S f k e k ε=+* k=…….n-1其中 ,f k 为有用信号,sk 为含噪声信号,ek 为噪声,ε为噪声系数的标准偏差;假设ek 为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 sk 信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的;降噪方法一般来说, 一维信号的降噪过程可以分为 3个步骤进行5,6：1一维信号的小波分解,选择一个小波并确定一个小波分解的层次N,然后对信号进行N 层小波分解计算;2） 小波分解高频系数的阈值量化,对第1层到第N 层的每一层高频系数, 选择一个阈值进行软阈值量化处理．3） 一维小波的重构;根据小波分解的第 N 层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N 层的高频系数,进行一维信号的小波重构;在这 3个步骤中,最核心的就是如何选取阈值并对阈值进行量化,在某种程度上它关系到信号降噪的质量．在小波变换中,对各层系数所需的阈值一般根据原始信号的信号噪声比来选取,也即通过小波各层分解系数的标准差来求取,在得到信号噪声强度后,可以确定各层的阈值;这里着重讨论了信号在两种不同小波恢复后信号质量的不同和对信号中的信号与噪声进行分离;4．仿真实验本文采用Mtalab 本身程序提供的noissin 信号函数及初设原始信号fx 为例进行Matlab 分析1,3,其中：()sin(0.03)f x t =e = noissin + randnsizee1;首先对noissin 函数上叠加上随机噪声信号得到e,分别对比采用db10小波和sym8小波对信号e 进行5层分解,并且细节系数选用minimaxi 阈值模式和尺度噪声db10以及选用sure阈值模式和尺度噪声sym8;在进行噪声消除后,还对原信号进行进一步分析,将原始信号和噪声信号分离开来,仿真结果如图所示：图1图2图3图1-1为原始信号图形,1-2为叠加随机噪声后的图形,而1-3和1-4为利用db10和sym8小波默认阈值降噪后的信号图形;从图1-3和1-4可以看出利用db10和sym8小波降噪后的信号基本上恢复了原始信号,去噪效果明显;但是滤波后的信号与原始信号也有不同,从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少无法准确还原原始信号这是由于为降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致,如需要更好的恢复信号,还可以采用其它种类小波对其进行分析,通过选取不同的阈值,分析结果,得到一个合适的阈值;从图2和图3中看出,在经过用db10对信号进行5层分解,然后分别对分解的第5层到第1层的低频系数和高频系数进行重构;可以得出其主要基波函数和高频噪声函数的图形,其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的,而正弦信号可以在图2中的近似信号a5得到;因为在这一层的影响已经可以忽略了,所以获得的信号就是初始信号的波形,从而把淹没在噪声中的有用信号有效地分离出来;5 总结小波变换对平稳信号的去噪声,要比传统的滤波去噪声得到的效果好．用小波变换进行信号降噪处理, 既降低了噪声同时又提高了信噪比,这说明小波降噪方法是切实可行的方案, 但是由于小波函数很多,采用不同的小波进行分解, 得到的结果可能相差很大, 而变换前并不能预知哪一种小波降噪效果更好,需反复试验比较才能得到良好的效果,这也是小波变换的困难之处之一;另外信号降噪过程中阀值的选取是十分重要的;本文利用两个小波sym8 ,db 10 以及将信号中的信噪分离开来,更加直观可行,通过分别进行信号降噪处理对所得结果与原始信号进行比较可以得出Sym8小波以及默认阈值处理后的重构信号与原始信号最为接近,与分离的结果相同;小波分析是一种信号的视频分析方法,它具有多分辨率分析的特点 ,很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,有效区分信号中的突变部分和噪声;通过MATLAB编制程序进行给定信号的噪声抑制和非平稳信号的噪声消除实验表明:基于小波分析的消噪方法是一种提取有用信号、展示噪声和突变信号的优越方法 ,具有广阔的实用价值;在这个越来月信息化的社会中,基于小波分析的应用前景必将越来越广泛;N=10;t=1:10;f=sint.expt+20sint.expt+5sint.expt;plott,f;f=sint.expt+20sint.expt+5sint.expt;输出数据fid=fopen'E:','wt';>> fprintffid,'%f\n',L;C,L=wavedecf,5,'db10';>> fid=fopen'E:','wt';>> fprintffid,'%f\n',L;>> fprintffid,'%f\n',C;>> C,L=wavedecf,1,'db10';>> fid=fopen'E:','wt';>> fprintffid,'%f\n',C;>> C,L=dwtf,'db10';>> fid=fopen'E:','wt';>> fprintffid,'%f\n',C;>> fprintffid,'%f\n',L;参考文献1徐明远,邵玉斌.MATALAB仿真在通信与电子工程中的应用M.西安：西安电子科技大学出版社,2010.2张志涌,杨祖樱等编著.MATLAB教程R2006a-R2007aM.北京：北京航空航天出版社,2006. 3张德丰.详解MATLAB数字信号处理M北京：电子工业出版社,2010.4杨建国.小波分析及其工程应用M北京：机械工业出版社,2005.5冯毅,王香华.小波变换降噪处理及其MATLAB实现J.数字采集与处理,2006,,2112：37-39. 6禹海兰,李天云.基于小波理论的噪声信号分析J.东北电力学院学报.3:36-40.7潘泉,张磊,孟晋丽,张洪才著,小波滤波方法及应用M.北京：清华大学出版社,2005.附仿真源码如下：N=1000;t=1:1000;f=sint;load noissin;e1=noissin;init=66;randn'seed',init;e = e1 + randnsizee1;subplot2,2,1;plott,f;xlabel'1 样本序列'; //x轴标记ylabel'原始信号幅值'; //y轴标记grid ;subplot2,2,2;plote ;xlabel'2 测试样本序列' ;ylabel'含有已加噪声的信号幅值' ;grid ;s1=wdene,'minimaxi','s','one',5,'db12'; subplot2,2,3;plots1;xlabel'3 db10降噪后信号' ;ylabel 'db10小波降噪后的信号幅值';grid;s2=wdene,'heursure','s','one',5,'sym8'; subplot2,2,4;plots2;xlabel'4 sym降噪后信号';ylabel'sym8小波降噪后的信号幅值';grid;figure;subplot6,1,1;plote;ylabel'e';C,L=wavedece,5,'db10';for i=1:5a=wrcoef'a',C,L,'db10',6-i;subplot6,1,i+1; plota;ylabel'a',num2str6-i;endfigure;subplot6,1,1;plote;ylabel'e';for i=1:5d=wrcoef'd',C,L,'db10',6-i;subplot6,1,i+1;plotd;ylabel'd',num2str6-i;end。

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

小波变换理论及应用ABSTRACT ：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。

但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。

正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。

在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。

第一章 小波变换理论这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。

1.1. 从傅里叶变换到小波变换一、 傅里叶变换在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform ），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。

图1.1给出了傅里叶分析的示意图。

图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：⎰∞∞--=dt e t x X t j ωω)()(............................................. (1)X(ω)的傅里叶反变换x(t)：⎰∞∞-=ωωπωd e X t x t j )(21)( (2)对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。

因为它能给出信号中包含的各种频率成分。

但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。

而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。

这些特性是信号的重要部分。

因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。

傅里叶变换二、短时傅里叶变换为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。

哈尔小波变换的原理及其实现(Haar)一、引言小波变换是近年来迅速发展并得到广泛应用的一个新学科。

它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。

小波变换具有多分辨分析的特点，利用小波变换可以检测出数据中的突变和奇异点，这使得它在信号处理、图像处理、语音识别等领域取得了重要的应用。

在众多的小波变换中，Haar小波变换是最简单的一种，也是最容易理解的一种。

本篇文章将对Haar小波变换的原理及其实现进行详细的讨论。

二、Haar小波变换的原理Haar小波变换是一种离散小波变换，其基本思想是通过对输入信号进行逐级近似，逐步将信号分解为不同频率的子信号。

Haar小波变换的基本单位是Haar小波，它是一种简单的、具有正负交替的波形。

Haar小波的形状类似于一个阶梯函数，其时间分辨率固定，但频率分辨率可变。

Haar小波变换通过对输入信号进行逐级二分，实现了对信号的多尺度分析。

在Haar小波变换中，信号的分解过程可以形象地理解为对信号进行"拆分"。

具体来说，对于长度为2^n的输入信号，Haar小波变换将其拆分为2^n/2个子信号，其中每个子信号的长度为2^(n-1)。

每个子信号都由原信号中的一段连续信号组成，这些子信号构成了原信号的不同频率成分。

通过这种方式，Haar小波变换实现了对信号的多尺度分析。

此外，Haar小波变换还具有快速算法的特点。

由于Haar小波的特性，其变换矩阵是一个稀疏矩阵，因此其计算量较小，非常适合于快速计算。

这使得Haar小波变换在实时信号处理等领域得到了广泛的应用。

三、Haar小波变换的实现Haar小波变换的实现主要包括以下几个步骤：1.定义Haar小波：首先需要定义Haar小波的波形和参数。

Haar小波通常由一组正负交替的波形组成，其参数决定了小波的形状和频率分辨率。

2.计算Haar系数：Haar系数是小波变换的关键参数，它决定了Haar小波的形状和性质。

计算Haar系数的方法有很多种，常用的方法有递归法和离散傅里叶变换法等。